книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

478

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ

ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

2.

При выводе уравнений для m(s, t),

у (s,

t)

будут исполь

зованы следующие две леммы.

t ^ s , является реше­

Л е м м а

12.2.

Пусть

матрица ф*(|),

нием дифференциального

уравнения

^ Г ~

= 1а У,

l ) - y { t , s)c(t,

|)]«pj(g)

(12.77)

c Ф*(|) =

£ №Х(Ц и

t

я\ it) = J

(ф“ (!))~‘ [Oo («. t) du +

{{b ° B) (u, i) + Y («,

s) Al (u, g)} X

s

X ( ß ° ß r ‘ («,

l){dlu- A

0(u,

I) du}].

(12.78)

Тогда

m®s iU

s) = ф^ (g) [0e + ql (g)]

(P-п. и.).

(12.79)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В справедливости

формулы

(12.79)

легко убедиться, применив формулу Ито.

Л е м м а

12.3.

Пусть

Тогда

mt = q>*(£)[m(s, /) +

<7*(|)]

(Р-п. н.),

(12.80)

Yf =

Y(f. 5) + ф*(І)ѵ(«,

0(ф£(£))*

(Р-п. н.).

(12.81)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку ST\ s

3 ~]s’

то

Щ = м(0t I Г )) = М [М (ѳг I &**' 1)\ Г =

Ы (m %s {t,

s)\Г |) .

Заметим, что элементы вектора

адр* (g) 0S,

где

(12.82)

X" =X{|K«)4

интегрируемы. Поэтому

%NM \m,s (t,

s) |5Г|] = M [ х Х (Ю(0, + ql (g)) | ^ f ]

=

= V Pj (І) [m (s,

t) +

q\ Ш],

что вместе с (12.82) и доказывает представление (12.80).

Далее,

поскольку

М [(О, — m&s (t,

s)) (m0s (t, s) — mt)* I

5J = 0

(Р-п. h.),

TO

Уі = M [(0, — mt) (Ѳ, — m,y I # І ] =

=

M {[(Ѳ, — mds (t, s)) +

(m0ä (/, s) — mt)\ [0, — m&s (t, s)) +

+ (mQs(t,

s ) - m t)Y \$~)} =

= M{M[(0, - m e s (f,

s))(Qt - m es(t, s))*|

%) ЦГ|) +

+

M { ( " 4

if, s) — mt) (m9s (t, s) — mt)* | ^~f} =

=

Yit,

s) + M{(mes{t,

s)-m ,)'|^ H }.

(12.83)

? щ -

= - и т У № Щ ' с <!. Е)Ф[(І)УГ'.

ѴТ' = Е.

Отсюда получаем

~ С

У~ =

- ( V 7 \ W s ( l ) ) ' c { t , і)ф * Л ) { и у \ ) ,

(12.91)

гДе UJlys =

y8.

Сравнивая (12.90) и (12.91),

находим

у ( s , t ) =

( u y \ y

что и доказывает требуемое представление (12.85).

і), по­

З а м е ч а н и е .

Вместе с (12.90) уравнение для m(s,

показывающие изменение этих

величин

при s \ t .

(I) — (IV),

Т е о р е м а

12.10.

Пусть

выполнены условия

(VIII) — (X) и

условное

распределение

Р(Ѳ0 ^ а |І о )

является

нормальным, N (пг0, у0). Пусть, кроме того,

Р {

inf det yt > 0} =

1.

0<£<Г

484

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

Но (см. (12.29))

dms = [а0(s, g) + а, (s, g) ms\ ds +

(6 ° В) (s, g) (В ° B ) 'lß (s, g) dWs +

Следовательно,

+ yH K s»S) ( В о В Г т (8, I) dWs.

dsm (s, t) =

[a0 (s, g) +

a, (s, |) ms] ds +

+ (b°B)(s, l)(B o B ) - l,2(s, l)dWs +

+ [a (s, l) +

b (s, I) V7 1] [m (s, t) — ms] ds =

=

[fl0(s,

Ю+ a, (s, g) m (s, t)] ds +

+

(b о B) (s, g) (В о В) " 1 (s, I) [dgs -

(Л0(s, g) + Л, (s, I) m (s, t)) ds] +

+

[a (s, g) +

b(s, g) Ys~‘][m (s, t) — ms\ds — a{(s, g) [m (s, t) — tns\ ds +

+ (b ° B) {s, g) (ß о ß)~' (s, g) Ai (s, I) [ms — m (s, *)] ds.

Согласно обозначениям (12.76)

[a (s, g) + b (s, g) у ;'] -

fl, (s, l ) - ( b o B) (s, g) (ß о ß ) " 1 (s, g) Л, (s, g)=

Значит,

=

b(s, I) уГ1.

dsm (s, t) =

[a0 (s, g) +

a, (s, g) m (s, t)] ds +

+

b (s, g) V7 1 \ms — m (s, /)] ds -f

+ {b°B) (s, g) (ß о ß )_1 (s, g) [dgs — (A0(s, g) +

Ai (s, g) m (s, t)) ds],

что и доказывает (12.92).

Выведем теперь уравнение (12.93) для y(s,t). Из (12.95) и

(12.90) получаем

t

У (S, t) = ys

Rs0(g) J [ <

(g) ] " 1 yuc (u, g) yu [ «

(g))* ]" 1 du (.Rs0 (g))\

(12.106)

Дифференцируя (12.106)

по s, находим с учетом (12.99) и (12.94),

что

^ 2 5 Г - = ö (s>і) Ys +

Ysß‘ (s, g) +

b (s, g) -

— ysc (s>i)

— [a (s, g) +

b (s, g) Y7 1] [y, — Y (s, 0] —

— [Ys — Y (s, Щ [a (s, g) + b (s, g) Y7']* +

ysc (s, g)Ys =

= [a (s, l) + b

(s, g) Ys_1] Y (s, t) +

+ Y (s, t) [а (s, D + b (s, D Y7 1]’ — b (s, g).

Теорема 12.10

доказана,

+

а, (и, I)т(и, t) — {b ° Ь){и, £) уи '[ т (и, t) — mu]}du,

(12.107)

Y (s,

t) =

у« -

J {[fl, (и, l) + (b о b) (и, I) y~’J Y («, t) +

+

V («, t)\ax{u, I) +

(bob) {и, l) у“ 1]* — (bob) (и, |)] du.

(12.108)

З а м е ч а н и е 3. Рассмотренная в гл. 10 схема

Калмана —

Бьюси является частным случаем задач оценивания для

условно-гауссовских процессов. Поэтому и в этой схеме также

справедливы

уравнения для

т (s, f) и у (s, /). Отметим,

что,

учитывая специфику

схемы

Калмана — Бьюси, эти

уравнения

можно вывести в тех

же допущениях, что и уравнения для mt

и У( (см. теорему 10.3), требуя при выводе обратных уравнений

дополнительно невырожденности матриц yt, 0

6.

Остановимся еще на одном виде интерполяционных оце­

нок для условно-гауссовских процессов.

а, 0;

b | #"<) при

Поскольку условные распределения Р (ѳ5

являются (Р-п.

н.) гауссовскими, то

гауссовским

будет

Т е о р е м а

12.11.

Если

выполнены

условия (I) — (IV),

(VIII) — (X) и

условное распределение Р(Ѳ0^ а | | 0)

является

(Р-п. н.) гауссовским, то

mß(s, t) =

m(s, t) + y(s, /) [qp'(|)]* y +

(ß —

(12.109)

Yß (s>t) =

y(s,

t) — y(s,

t) [ф‘ (£)]* y,+Ts(g) У(s, t),

(12.110)

(12.114)

Yß (s,

t) =

— I {[fl (и, Ъ) +

Ь (и,

l) у "1] Yß (и, 0 +

S

+ Yß(u>t)[a(u, g) +

b(u, І) Yu']’ — b (и, g)) du.

(12.115)

З а м е ч а н и е

2.

Из

(12.110) следует, что yß(s>0

на самом

деле

не

зависит

от

ß.