Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 7148 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 > Следующая >>>

§ 21	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ	467
1)	для любых X, г / е С г
	t
	I g(t, x) — g {t, у) I2 < Lx J (xs — ysf dK (s) +	L2(Xt — г/г)2;
	о
2)	g* (t, ) < L, J (1 + xl) dK (s) + L2(1 + X),
	6

где К (s) — некоторая неубывающая непрерывная справа функ ция, 0 ^ K { s ) ^ l , Ly, L2— константы,

3)		I üy(t, x ) \^ L y ,			I Ay (t,		x) I< L2;
4)	M (0Qrt +	lg”) <	oo для некоторого				целого		n ^	1.
Тогда система уравнений {12.1), (12.2)ылгеег непрерывное силь
ное решение. Это решение единственно,							и	sup	М (Ѳгп + \|<") < оо.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Утверждение				о < г < г		доказывается
								теоремы
так же, как и в одномерном случае (теорема 4.9).
3.	Рассмотрим теперь			вопрос		о	совпадении			а-алгебр
и SF\°‘w,			где	W = {Wi,		£Гг)— винеровский					процесс
с дифференциалом (см. 11.27))
dWt — B~l (t,				l) +	Ay(t,		l) m t)dt), r			0 = 0.	(12.47)
Согласно (12.29),			(12.30) и		(12.47)			процессы mt,			%t, yt,

образуют слабое решение системы уравнений

				Ууду (t, l)
dmt =	[а0 {t,	g) +	ay (t, g) mt\ dt +	b2(t, l) +	в	(t, i)	dWt,
dlt =	[A0 (t,	g) +	A, (t, g) mt] dt + B (t, g) dWt,				(12.48)
Yr			b9 ( t , l )	yt + b\{t, g)		A i u i )
Yr	ayit, &		- - Щ - Ю	yt + b\{t, g)		В Ң Ц	l )
решаемой при заданных m0 = M (Ѳ01g0), g0 и y0 =					M [(Ѳ0 — m0)21У-
Изучим вопрос			о существовании	сильного	решения у этой

системы уравнений. Положительное решение этого вопроса

позволит нам установить факт	совпадения сг-алгебр ЗГ\ и	w,
что в свою очередь	будет говорить о том, что (обно

вляющий) процесс W и g0 содержат в себе ту же самую «ин

формацию», что и наблюдаемый процесс g.				х),
Т е о р е м а	12.5.	Пусть	функционалы ау(і, х), Ai(t,	х),
bj(t, х), B ( t , х),	і — 0,	1; j —	1, 2, удовлетворяют условиям	1)

4S8	ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ									[ГЛ. 12
и 2)	теоремы	12.4.	Пусть		также	у0 — у0(х),		at {t,	х),	At {t, х),
bj(t,	X) и В~] (t,	х)	{і — 0, 1;		/ = 1 ,	2)	равномерно		ограничены.
Тогда система уравнений (12.48)						имеет, и притом единствен
ное,	сильное (т. е. SFntl" ъ’				w-измеримое при			каждом		і) реше
ние.	При этом
			=		0 < f < 7 \					(12.49)
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть х е С г			Рассмотрим		уравнение,
которому удовлетворяет				yt = yt(x):
		t					Â\ (s, x)
							Â\ (s, x)
\ t (x) = YoW +		2ä[ (s, x) ys( x ) b ] ( s ,					x ) ~ B2 (s, X) YI (x) ds.
										(12.50)

Уравнение (12.50) является уравнением Риккати, причем его (неотрицательное непрерывное) решение существует и един ственно для каждого х <= Ст(ср. с доказательством теоремы 12.3).

Из (12.50) нетрудно		вывести,		что
	t
Iо		х) ds		Yo(*)+
J 2ä, (s,		х) ds		Yo(*)+
				S			bi (s,	x) ds
				2 J â, (и,	x) du		bi (s,	x) ds
				о
В силу сделанных предположений отсюда					вытекает, что				yt (х)
равномерно ограничены по х.									Лип
Покажем,	что функция		yt (x) удовлетворяет условию						Лип
шица:			t
			t
I Yt (х) — Уі(у) I2 < L J \xs — ys I2 dK (s),						x0= y0,
		о
с некоторой неубывающей непрерывной справа функцией									К (s),
0 < ^ ( s ) < 1.
Из (12.50)	получаем
	t
Vt(x) — y t (y) =	j {2[«! (s, x)ys (x) — äl (s, y ) y s (y)] +
	0
		A]{s,	X)	Ä\ (s, у)
+ [ ^ ( s>x)—b\ (s, г/)]—_B2(s,			x)	Ys (x) ■ B2(s,y)		Vl(y)b	j ds.	(12.51)

§ 2]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ		469
В силу условия	1) теоремы	12.4
I Ö, (/, х) уt (X) — й, (t,	у) уt (у) р <
< 2у2 (х) I й, (t, X) — й, (t, у) I2 +		2 I й, ( і л-) I21у, (*) — Yf (у) \|2 <
t
< d 0 J I xs — ys fdK(s) + d,\| x, — yt p + d2\| y, (x)—yf (y) p,			(12.52)
о

где d0, d, и d2 — некоторые постоянные, существование которых

гарантируется		равномерной ограниченностью величин			äi (t, х) и
у , (х),	X <= Ст.
Аналогично,			t
			t
I ь\ (t,	х) — ь\ (t, у) Г < d3 J I xs — ys \2 dK (s) + d4\| xt — yt \|2				(12.53)
Л?('. *) ,.9 /.Л		A]{t,y)	_лг л	<
	t
< d5 J \| xs— ys \2dK(s) + d61X, — yt f + d7\| Y/W —Y/(d) I2-					(12.54)
Из	(12.51) — (12.54)		находим
		t Г	S
I V/ M — V/ (d) I2< di J			J(„ — du)2d («) ds +
		0 Lo		*
	f			*
	+ d9J	(xs — ys)2 ds +		d10 j I ys (x) — ys (d) I2ds <
	о		t	0
	t		t	t

< d sT J (xs- y sfd K ( s ) + d 9 J (xs—ys)2d s+ di0J1 ys {x) —ys (y) |2 ds.

о		0
Поэтому по лемме 4.13
	t
I Y<(*) — Y/(d) l2< daT J		(xs—ysf dK (s) + d9 j (xs— ys)2ds
		< d n J (xs — ysfdK{s), (12.55)
где *(s)	К (s) + s , а	du = ed"T[d J + d9)(K(T)+T).

K ( T ) + T

470	ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ			[ГЛ. 12
Рассмотрим теперь		первые два	уравнения системы	(12.48),
в которые	подставлено	yf = yt (l),	являющееся, как показано

выше, непрерывным равномерно ограниченным решением третьего уравнения этой системы:

dmt = [aQ{t, Ю+аДБ l)m,]dt + [&,(f, g)+ д1^ ’Jy У, (В dW„

(12.56)

dl, = [А0 (t, l) + Л, (t, I) mt] dt + B (t, |) dWt.


Согласно предположениям				теоремы и установленным свой
ствам функционала yt {x) система уравнений (12.56)						обладает
единственным сильным (т. е.				5о’ ^-измеримым при каждом t)
решением	(см.	замечание к		теореме 4.6).	Но /п0 =	М(Ѳ0\| \| 0)
£Го-измеримо.		Поэтому	tF?°'1о’ w = STf’ w,		O ^ t ^ T .	Следова
тельно, l,	при каждом t		3~\" ^-измеримы.

Итак, $f \ £ ST)"’W■ Справедливость же обратного включе ния, w, следует из конструкции обновляющего про

цесса W (см. (12.47)).
Теорема доказана.				что	в схеме Калмана—Бьюси
З а м е ч а н и е 1.		Отметим,		что	в схеме Калмана—Бьюси
a0(t,	x) =	a0(() -f	a2(t) xt,		a, (t, x) =		a, (/),
A0(t,	x) =	A0(t) +	A2(t)x„		Ai (t,	x) =	Л, {t),	(12.57)
В {t,	x) — B {t),		bi (t,	x) =	bt (t),	i =	1, 2.

В этом случае коэффициенты в уравнении, определяющем у(, являются детерминированными функциями, а уравнения для mt и %, имеют следующий вид:

dl, = [Л0 (t) + А { (t) т, + А2 (t) | (]dt + В (t) dWt.

Эта система имеет единственное сильное решение в тех же самых предположениях, при которых были выведены уравне ния фильтрации Калмана —Быоси (см. (10.10), (10.11)). Поэтому

в этом случае 3~\ =		5F\"W, О ^ ^ ^ Г .
З а м е ч а н и е	2.	Равенство 3~\ = SFV w остается справедли
вым и в случае	многомерных процессов Ѳ и £ (с очевидными

изменениями в условиях теоремы 12.5, вызванными много мерностью процессов Ѳ и |), рассматриваемых в следующем параграфе.

§ 3]

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

471

§3. Уравнения оптимальной фильтрации

вмногомерном случае

Обобщим результаты предшествующих параграфов на тот случай, когда каждый из процессов Ѳ и £ является векторным.

1.Снова предполагается, что задано некоторое (полное)

вероятностное пространство (П,						, Р)	с неубывающим			непре
рывным справа семейством сг-подалгебр								0< Ѵ < І7\		Пусть
W{=(Wi(t), STf)				и W2 = (W2(t),		() — два независимых				между
собой	винеровских				процесса,	(t) =	[Wn (t), . . . ,		Wlk{t)] и
W2{t) =	[Wn (t),		. . . , W2l(t)].
Частично наблюдаемый случайный процесс										t<< T,
( ѳ , I )	=	[ ((t),Ѳ	. . . ,		ѳ * ( /) ) ,1, (t), ...,h( /) ) ,			g-t],	о	t<< T,
будет предполагаться процессом диффузионного типа										с диф
ференциалом						2
						2
dQ, =		[fl0 (t,		l) +	ai (t, \|) 0*] d t + ^ b t (t,			l) dWt (t),		(12.59)
						1=1
						2
dl, =		,rАо (/,		l) +	A, (t, l) 0,] d t + Ъ		B, (t,	g) dWi (t).		(12.60)

Здесь элементы вектор-функций (столбцов)

«о (*,

Х ) =

(а01(/,

х ) ,

... ,

a ok (t,

х ) ) ,

A0(t,

х ) — (Л01 (t,

х ) ,

. . . ,

A0i(t, х))

и матриц

a{(t, x) ==I aW (t, x) I

Л, (t, х) =

\II A4) (*, *) 1

II */ v

4l(feXfc)’

bi (t,

x) =

4 v

’ H(/x*>

b\ (t, x) =-1

b\j

(t, x) \[kxk),

1I bij (t, л;)||(А,хг),

ßj (*, x)

'cq

*$»

B2(t,

x) = flß//(^

*)ll(;x/)

предполагаются

измеримыми неупреждающими функционалами

на {[0,

Т] X СГ1,

^ 10Т1Х ^ Т1),

х = (хѵ . . . ,

х , ) ^ С 1г.

Следующие условия (I) — (VII) являются многомерными ана

логами

предположений

(11.4) — (11.11),

существенно

использо

ванных

при

доказательствах

теорем

11.1

12.1

(г е

Cj,,

индексы і и /

принимают все допустимые значения):

(I)

х ) I + I а«1/ (/, х )

I +

J [ I a 0l

(t,

(b'tl (t,

x)f +

(bfl (t, x)f

(ßf/ (t,

x)f

{Bf} (t, X))2] dt <

oo.

(II)

J [(Ло< {t, x )f +

(ЛІѴ (t,

x)f\dt

< oo;

472	ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ	[ГЛ.	12
(III)	матрица В ° В (t, х) = Bi (t, х) В \(t, х) + _ß2 (t, х) Bl (t,		х)

равномерно не вырождена, т. е. элементы обратной к ней

матрицы равномерно ограничены,						элементов матриц
(IV)	если g (t,	х) обозначает любой из				элементов матриц
В{ (t, X)	и В2 (t, х),	то для		X,	у е СГ1
				t
I g{t, x) — g(t, у)				J \xs — ys f d K { s )		+	L2\ xt — yt f,
				о
				t
	g2{t, x ) < L ,			j	( l + \ x s \z)dK(s) +		L2( l + \ x t \2),
				0
где I xt \|2 = x\ (t) +		...	+ x}(t),		К (s)—неубывающая непрерывная
справа функция,		0 ^	(s) ^		1;
		т			g) Ѳ7 (О I dt <<*> -,
(V)		j М \|Л //(/,			g) Ѳ7 (О I dt <<*> -,
		О
(VI)		М\| Ѳ, (/ ) К«>.
(VII)	Р j j UV (t, l) nij (t)f dt < ooj =						1,

где ntj (t) = M [Ѳу. (t) 13~\\-

2.Обобщением теоремы 11.1 на многомерный случай является


с	Т е о р е м а 12.6. Пусть выполнены условия				(I) — (VII)		и
с	вероятностью	единица	условное	распределение *)		(а0) —
=	Р (Ѳ<Х IЫ	является	(Р-п. н.)	гауссовским,	N {пг0, у0),		где

вектор m0= М (Ѳ0 \!ГІ) и матрица у0 — М [(Ѳ0 — m0) (Ѳ0 — m0)* | П~1]

такова, что Spy0< c » (Р-п. н.)

Тогда случайный процесс (Ѳ, £) = [(0j (/),				. , . ,	Qk (t)),	(^	(/), • • •
. .. , і/(0)]>	удовлетворяющий системе уравнений (12.59),						(12.60),
является условно-гауссовским,			т. е. для	любых tj,		0 <Д0 <
< іі < ...	< t n^ t ,	условное распределение
F^(a0, . . . ,		а„) = Р {Ѳ,о ^	а0, . . . ,	^	ап \|

является (Р-п. н.) гауссовским.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству

теоремы 11.1. Поэтому остановимся лишь			на отдельных мо
ментах	в доказательстве,	которые могут вызвать затруднение
в связи	с многомерностью	рассматриваемых	процессов.

*) Для Ѳ0 = { Ѳ, (0),	...,	Ѳ* (0) } и а0 = (а01........	а0ф под {Ѳ0 < аа } пони
мается событие {0! (0)^	а0ь	..., Ѳ&( О Х ец}.

§ 3]	УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ			В МНОГОМЕРНОМ			СЛУЧАЕ	4 7 3
Прежде всего заметим, что в (12.60) можно считать ß, (t, х)=0,
B2(t, x) =	B(t,	х), поскольку в силу леммы 10.4 найдутся такие
независимые между собой винеровские процессы
WAt) = [Wn (t), . . . .				W2(t) = [W2l(t),			. . . . W2l(t)],
что	t				^2
	t			J
	{ Уі bi (S,		ю dWi (s) =	J		dt (s, l) dWt (s),
	0	i—l		0	i=l			(12.61)
	t	2		t				(12.61)
	t	2		t
	j	V Bt (s,	l) dWi (s) =	J D (s, I) dW2 (s),
	0	i=l		0
где
D (t , X) =	V(B°B)(t, X),
d2 (t, *) =	(&<> B) (t, x) (В о ß)~I/2 (t,			x),				(12.62)
d, (t, x) =	[{b о b)(t, x)-(b о ß) (t, X)(ß о ß )-1(f, x) (b о В)* (t, x W 2

c ß о ß = ß,ß( + ß 2ß|, * о ß = éiß* + b2BI, bob = bibt + fetè.

Далее,			если	/ДѲ0, IF), g)— (скалярная) $F\*' w" ^-измеримая
функция с			М\|/ДѲ0,		IF,, \| ) \| < о о ,		то	имеет	место формула
Байеса (ср. с (11.35))
М(/ДѲ0) Wb l ) \ F lt) =
			=	J j	ft {а, с, I) pt (a,		c,l) d\xw (c) dFlo(a),			(12.63)
где	a e	R k,	c e C ) ,		— винеровская			мера в (C£, Щ )		и
рДа, с,			exp	J" [Л,(5, Q(Qs(a, с, I)-m g(g))](ß(s, I) Г ' dWs-
		I) =t	(s,j	1) (Qs [a, c, g) -		ms (I))]* (ß (s, g) B ' {s, g))-1 X
					X [A\ (s, i )(Qs(a,			c, l) +	ms (l))]ds}.	(12.64)
Здесь mt (£) = M (0f \| ^ f),
	t	ß" 1(s, l) d%s -			t
Wt =	оJ	ß" 1(s, l) d%s -			0j ß ~(s,‘	g) [Ä0(s,		l) + Ai (s, l) ms (I)] ds

(12.65)

474	ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ				[ГЛ. 12
	ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ				[ГЛ. 12
винеровский процесс (относительно (ЗГ\), 0 ^ . t ^ T ) ,
		t
Qt (a, Wx,\) — Ф, (l)		а + J Ф5 1{%) й0 (s, I) ds +
+	j Ф7' Ш bx (s, £)dWi (s) + J Ф7' (£) b2 (s, l ) B~l (s,				l) dl5
	о	0
	= 5, (/, l) Ф, (£),		Фо (i) = E[kxk)
	So(U x) =	a0 {t, x) — b2 (t, x) B~l (t, x) A0 {t, x),
	5] (t, X) =	a, (t, x) — b, (t, x) B~l (t, x) Ax(t, x).
С помощью формулы (12.63), так же, как и в случае одно
мерных	процессов	Ѳ и £, сначала	проверяется гауссовость
условных распределений
	Р(9„«<Ѵ #7ift)<ä',.		»7i ( y <	» . i ; r a
пределений		а затем устанавливают		гауссовость рас
пределений

......

3. Предположим также, что наряду с (I) — (VII) выдолнены условия:

(VIII)		\|аФ(г,	* ) \| < L ,	) Л) уа , х ) ] <1;
	т
(IX)	j М [ < (t, £) + (hfl (t, £))4 + (bfl 01, g))4] dt <						oo;
	0		k
(X)			k
(X)			м Ц ѳ 1 ( 0 ) < о о .
			i=I
Следующий результат является многомерным аналогом
теорем	12.1 и	12.3.	Пусть	выполнены		условия
Т е о р е м а		12.7.	Пусть	выполнены		условия	(I) — (IV),
(VIII) — (X).		Тогда вектор		mt = М (Ѳ, \|		и матрица		yt —
— М {(Ѳ^ — mt){®t — mt) \@~t}				являются	единственными			непре
рывными, ЗГ^-измеримыми при каждом					t	решениями системы
уравнений
dmx= [а0 {t, g) + ах (t, £) mt] dt -f
	+	[(6 о В) (t,	£) + Ъ А\ (t, 1)] (В о В )-1(t, I) X
		X \dlt — (A0{t, l) +			Ax(t, l)m t)dt],			(12.66)
Yt = ai (В ЮVt + YfO[ (t,			І) + (b o- b) (t, І)—[(b о В) (t, l) + ytA\ (t, £)] X
		X (b о B)~1(t,		g) [(6 о В) (t, g) + ytA\ (t,			g)]	(12.67)

§ 3 ]	УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ	475
с	начальными условиями т0 — М (Ѳ01£0), у0 = М {(Ѳ0 — m0)X

X ( 9 o - ^ o ) * I U -

Если при этом матрица у0 положительно определена, то

таковыми же будут и	матрицы yt, 0 <	t ^	Т.
Д о к а з а т е л ь с т в	о этой теоремы	в	части, касающейся

вывода уравнений (12.66), (12.67), совпадает с соответствующим

доказательством	теоремы 12.1, проводимым для компонент
т, V) = М (Ѳ, (t) I	уц (t) = М {[Ѳ, (t) - mt (/)] [Ѳ, (t)~m/ (/)] \| Г}}.

Единственность решений системы (12.66), (12.67) доказывается, как и в теореме 12.3.

Остановимся на доказательстве последнего утверждения


теоремы.						yt существуют обратные матрицы
Покажем,			что	у матриц
bt =	y j x,			Ясно,	что при достаточно малых значениях
t = t(со) такие			матрицы существуют				в	силу	невырожденности
матрицы уд и непрерывности (Р-п. н.)							элементов матрицы у, по t.
Пусть		T =	in f{^^7 ’:		dety<= 0},			причем	т =	оо, если
inf	defy,	> 0 .		Тогда	при	t < x / \ T		определены		матрицы
bt — y f 1- Заметим				теперь,	что для t <			т А Т

0 = - ж Е = = і т (ѵА)= у А + у А = YА + 6 Т %

Поэтому
			ö /= -ö /V A .					(12.68)
Учитывая уравнение (12.67), отсюда получаем,							что для t < т А Т
bt = - ä \ (t, i) bt -		btä{ (t, i) +		a ;(t, i) (в о в ) - 1(t,			i) Aj (t, i) -
- öt [(b о b) (t,	l) — (b° B) {t, I) (ß о ß ) - 1(t, g) (Ь° B f						{t, i)] 6„	(12.69)
где ä, (t, x) =	a, (t,	x) — (b° B) (t,			x) (ß ° ß)_1 (t, x) A, (t, x).
На множестве {cö:			x ^ T }	элементы матрицы bt должны воз
растать при	t f т.	Покажем, что на самом				деле все элементы
матриц öt ограничены.
Обозначим Gt (l)			решение		матричного	дифференциального
уравнения
	Щ Р - =		a, (t, g) G, (Ю, Go (І) =			E(k X *)•		(12.70)

Матрица Gt (l), являясь фундаментальной матрицей, как хорошо известно, невырождена.

476 ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 12

Пусть

Vt =

Gt (I) ötG*t (I).

Тогда

из

(12.69)

и (12.70)

для

t < г А Т находим

Vt =

5, (t, £) Vt + Vtä\ {t, g) +

Gt (I) {— ä\ (t, l) öt — &täl (i, I) +

/Cat, l) ( B o B ) - \ t ,

l)Aat, D -

- 6, [(b о ь) (t, i ) - ( b

b y (t ,

£) (ß о ß )-1(t, g) (6 о в у

(t,

g)] 6,} G] (l).

(12.71)

Поскольку матрица

b° b—(b° B)(B о B)~l (b° В)* симметрическая

и неотрицательно определенная, то из (12.71) получаем

S p ^ <

< S p l / 0+ j

Sp {Gs (I) A* (s,

1)( В оВ Г 1(8,

|)Л ,(5, |)Gi(I)}rfs,

что вместе

с невырожденностью

матрицы

Gt (£)

и доказывает

ограниченность

(Р-п. н.)

элементов

матриц

öt.

Значит,

р(т < Т) =

4. Приведем, наконец,

многомерный

аналог

теоремы

12.2.

Т е о р е м а

12.8.

Пусть Ѳ=

(Ѳ1; . . . , Ѳ*.)— k -мерная

случай-

пая величина с 2

МѲ* <

оо. Предположим,

что наблюдаемый

і=і

(t)),

0 ^

t ^ T,

имеет

дифференциал

процесс lt = (|j (t),

. . . ,

d\t =

[A0{t, l) +

Ax(t, i)S\dt + B{t,

l)dW2{t),

где

коэффициенты

A0,

В удовлетворяют условиям тео

ремы

12.6,

а условное

распределение

Р (Ѳ ^

а |£0)

является

гауссовским,

N ( т 0,

уо)-

Тогда

mt = М (Ѳ^ |

yt —

= М [(Ѳ — т,)(Ѳ —

задаются формулами

-1 -1

m, =

Е + уо J

AUs,

%)(B(s,

l) B* (s,

i ) r

^ , ( s ,l)ds

X то + Уо J Л!(5, ®(B(s,

|)ß*(s, I))"1( £ & - Л 0(5,

l)ds)

(12.72)

E + Yo J

Q (ß (s,

- i - 1

y t =

Al (s,

l) B’ (s, I ) ) '1Л, (s, |) ds

Yo- (12-73)

Доказательство аналогично соответствующему доказатель ству теоремы 12.2.

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 7148 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ