Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5291 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
27.10.2023
Размер:
20.66 Mб
Скачать
☆

§ и УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 457

Для того чтобы воспользоваться результатом этой теоремы, надо найти условия, при которых выполнены предположения (8.6) — (8.8), входящие в ее формулировку (остальные предпо­ ложения выполнены в силу (11.4) — (11.11)). В рассматриваемом

нами случае эти условия (8.6) — (8.8) сводятся

к следующим:

 

sup

МѲ? < оо,

 

 

(12.12)

 

о<г <г

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

J

M[ß0(s> ?) +

fli(s, i)0 s]2ä?s<

оо,

 

(12.13)

о

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

J М {20s [flo (s,

l) + щ (s, |) Ѳ,] +

[b] (s, l) + bl (s,

£)] )2 äs <

oo,

°

 

 

 

 

 

(12.14)

T

 

 

 

 

 

 

J М{Л0(з, g) +

Л,

(s, |)e,}2rfS < oo .

(12.15)

0

 

 

 

 

 

 

Для выполнения этих условий, а также

чтобы иметь воз­

можность утверждать, что X = (xt, 5F,) и X =

(xt, STt),

 

являются квадратично интегрируемыми мартингалами, потре-

буем выполнения следующих условий:

 

для всех X е

Сг,

 

 

т

\a l ( t , x ) \ ^ L ,

I Л, (*, *) К L;

(12.16)

+

+

 

J

(12.17)

о

 

 

 

 

МѲо <

оо.

(12.18)

Для доказательства достаточности этих условий установим предварительно справедливость следующей леммы.

Л е м м а 12.1. В предположениях (12.16) — (12.18)

М[ sup Ѳ/]<оо.

(12.19)

О<f <г

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

Tjv = inf {^: sup6s^iv},

458

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

считая

Тд[ =

Т,

если sup 0S <

N.

Гёльдера

 

s< r

 

 

 

 

 

 

 

t Л

т до

 

Л

Тд, =

Ѳ0+ J

a0(s, Q d s +

J

 

2

1Л Тд/

0

 

0

 

 

 

 

+

2

j

bi {s,l)dW i {s)

 

 

1=1

о

 

 

 

Тогда

в

силу

неравенства

 

^ Л

 

 

 

 

a, (s,

|) О* ds +

 

 

 

/* A x N

\

4

Ѳо +

^ J

a0(s>

+

 

( t / \ X N

 

H

 

2 / * A X N

 

 

 

\4 -

 

+

(

J

«1 (s, i) Ѳ, dsJ

+

V] [

j

bt (s, g) dWi (s)J

<

 

 

 

 

t A x N

 

 

 

 

t л х N

 

 

125

o +

(t A rNf

J

at (s,

l) ds +

{t A xNf

J

a\ (s, g) 0« ds +

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

/ { A xN

 

 

 

\

4-

 

 

 

 

 

 

+

S

I

bt (s, DdWds))

.

(1 2 .20)

 

 

 

 

 

 

i=l Vo

 

 

 

j

-

 

Согласно

лемме 4.12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ t A X N

 

 

\

4

T

 

 

 

 

 

M l

J

 

bi(s, l)dWi(s)

< 3 6 Г j

M r f ( s , g)ds,

/ =

1,2.

\

0

 

 

 

/

 

0

 

 

 

 

 

 

Поэтому,

поскольку

0S =

0S д Тд, для

S < ( A

Тдг,

 

 

МѲ4Л % <

125 МѲо + Г3 J Мао (s, g) ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

2

Г

 

 

 

 

 

+

 

t

 

 

 

 

 

I) ds

 

 

 

r 3L4 J

M0s л X N ds +

36Г 2

J М6І (s,

г. e.

 

 

М0?лтл < С !

+ 2СJ

 

 

i=l 0

 

12.21( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

\ ^ Nds,

 

 

где C),

C2 — некоторые константы. Значит, no

лемме 4.13

M0tAT „ < C ,e Clt< C i e c*r

и по лемме Фату

lim М0?Л % < С 1еСгГ.

ІѴ-»оо

§ 1]

 

 

 

 

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

459

Итак,

 

 

 

 

 

 

sup

МѲ4 <

оо.

 

( 12.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<г

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что и

М [ sup

0?J < оо. Из (12.20)

с за-

меной

t А Тдг на t

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

т

 

 

sup

O j^

125 Q o + T ^

al (s, g) ds +

f L AJ Bids +

 

0<*<Г

 

 

 

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ У

sup

f bt (s, QdWiis)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( X T t X I T

j

 

 

Согласно

неравенству

(3.8) и лемме

4.12

 

 

 

М

sup

 

 

bt (s, \)dW t (s)

 

4_\4

T I Mö!(s, $ ds, / = 1 , 2 .

 

 

<(4-Г*36

0<і<Г

 

 

 

 

 

 

3,

 

 

 

 

Поэтому

в силу (12.22)

и предположений

(12.16) — (12.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

М|

sup

 

Ѳ?]<125

МѲо +

Г3| Mßo (s, l)ds +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

‘

 

 

 

 

 

 

+

74L4

sup

МѲ4 +

(4У -36 Г У

|

Mè4(s, l)ds

•< oo.

 

 

 

 

о

 

 

 

\ d >

T* J

 

 

 

Лемма

доказана.

 

 

 

1=1о

 

 

 

 

 

(12.16) — (12.18)

вытекают условия

 

Итак,

 

из предположений

(12.12). Очевидным образом проверяется, что.эти предположе­

ния

гарантируют

справедливость неравенств

(12.13) — (12.15).

Из

явного вида

процессов х, и xt и предположений

(12.16) —

(12.18) легко выводится, что X — (xt, @~t) и X =

(xt, &~t),

 

являются квадратично интегрируемыми мартингалами. Таким образом, условия теоремы 8.1 в рассматриваемом нами случае

выполнены.

t

Учитывая, что (х, W2) = j b2(s,Qds, из (8.9) находим

і

m, = m0 + j [a0 (s, I) + a, (s, J) m,ids +

+ | ( б2(5Л) + ^ Ц Щ р Ь 4 } ж , , (12.23)

о

460 ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 12

где

 

 

 

W,■__ Г dis — (А0(S, 1) +

Лі (s, I) ms) ds

 

 

 

 

 

‘

J

 

B(s.

6)

 

 

 

 

Далее,

M (Ѳ^ | &~f) — m\ — ys. Поэтому

из

(12.23)

следует,

что

dmt =

[а0 (t, l) +

а, (t, |) mt] dt +

 

 

 

 

 

 

b2(t,

l) В (i, |) + ytA,(t,

l)

■ [ d l - ( A 0(t,

І) +

А (t, l) mt)dt}.

(12.24)

+

 

 

B2(t,

l)

 

 

Обозначаем

 

теперь

bt = M (0'^ |

 

так

что &t — m] — yt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Тогда, учитывая равенство (x, W2)t =

J

20sö2(s, Qds,

опять-

таки из

(8.9) получаем

 

 

 

 

fl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

■öfl +

J [2a0 (s, Юms +

2a, (s, |) 6S +

b] (s,

g) +

b\ (s, g)] ds +

 

t

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

J {2msö2 {s,

І) + В

1(s, g) [Ло (s, g) ös +

Лі (s,

g) M (0s | @~f) —

 

о

 

 

 

 

 

- ö s(A0(s, g) + л,(5, g) ms)]} dWs,

или

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bt =

ö0 +

J [ 4

(s, g) ms +

2a, (s, g) 6S +

b\ (s,

g) +

Щ(s, Щ ds +

 

 

 

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

g) +

 

 

 

 

 

J B~l (s,

l){2msh{s,

l)B(s,

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-b A\ (s, g ) [ M ( 0 * |^ ) - 6 sms]} dlFs.

(12.25)

Из

формулы Ито и (12.24) находим

 

 

 

 

+ b2(s, l)B(s,

l) + ysA,(s,

g )l2 ds -f-

 

 

B(sA)

 

 

(

9m

S) В (s, l) + Ys^i (s, £)

dWs, (12.26)

J

4

B(s,

l)

 

§ 11

 

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

461

 

 

 

что

вместе

с (12.25) дает

для

у, = д ,— пг\ следующее предста­

вление:

t

 

 

 

 

 

 

 

 

Уі =

Yo +

2а, (s, l) ys +

Щ(s,

g) -f- b\ (s, £) —

 

 

0

 

 

 

 

Поскольку

условное распределение P (0S а |

является

гауссовским,

то (см. (11.1))

 

Поэтому в (12.27) стохастический интеграл равен нулю, а сле­ довательно,

Уі = Ѵ0 +

J [2аі (s>I) Ys +

Ь\ (s, I) + b\ (s, l)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.28)

Итак,

доказана

Пусть (Ѳ, £)— случайный

процесс

с диф­

Т е о р е м а

12.1.

ференциалами

(12.1),

(12.2). Тогда, если выполнены

условия

(11.4) — (11.8),

 

(12.16) — (12.18)

и

условное

распределение

Р(Ѳ0г ^ а |£ 0) является

гауссовским, N (пг0,

уй),

то Іпі и Уt удо­

влетворяют системе уравнений

 

 

 

 

 

dm, = [a0 (t, I) +

 

ö! (t,

l) m,\ dt +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[d%t — (Л0 (t,

+

 

І) mt) dt],

(12.29)

Уі ~ 2a\ У’

і )Уі +

ЩѴ,

l) +

b22(t, W -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.30)

решаемых

при

условиях

т 0=М (Ѳ 0|£0),

Ѵо =

М[(Ѳ0 — пг0)2 ІЫ ‘

З а м е ч а н и е

1.

Из

(12.29)

и (12.30)

следует, что

апосте"

риорные моменты mt

и у, непрерывны по t (Р-п. н.).

 

З а м е ч а н и е

2.

Пусть А {(s, х) =

0, т. е.

пусть наблюдае­

мый процесс І =

(£*)>

0< П < !Г ,

имеет дифференциал

 

dlt = A0{t, l) dt + B(t, l)dW2{t),

(12.31)

462

ФИЛЬТРАЦИЯ

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

а наблюдаемый

процесс Ѳ= (0<), О

Г, по-прежнему удо­

влетворяет уравнению

 

 

 

dSt =

[а0 (t, I) +

а, (t,

I) Ѳ,] dt + bx(t,

g) d W {(t) + b2 (t,

g) dW 2 (t).

Из проведенного выше доказательства (см. (12.27)) видно, что и без предположения гауссовости условного распределения Р(Ѳ0^ а Ц 0) параметры mt и yt удовлетворяют системе урав­ нений

dmt =

[aü(t, g) + a,(f, g) m t] dt +

- щ Ң у [d\t ~

A0(*. l)dt\, (12.32)

V, =

2a i( t,l ) y t +

b](t,l)-

 

’

 

(12.33)

З а м е ч а н и е

3. Пусть

me

(/, s) =

M [O, | &~\s' 5] для

и Yes (t> s) = M I (0s — m%s (t,

s))21

Тогда

(t, s) и у^(і, s)

удовлетворяют при t> s системе уравнений (12.29), (12.30),

решаемой при условиях тѳ (s,

s) — Ѳз,

уѳ

(s, s) = 0.

Доказа­

тельство аналогично

выводу уравнений

для

mt и yt и исполь­

зует тот факт, что условное

распределение Р (О, ^

а \

 

 

является гауссовским (см.

 

замечание к теореме

11.1).

Из

урав­

нения

(12.30) и условия Ѵѳ

(s>s) = 0 вытекает,

что

на

самом

деле уѳ (t, s) не зависит

от Ѳ5.

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Остановимся

на

 

 

одном

частном случае системы

(12.1),

(12.2), для которой уравнения фильтрации (12.29) и (12.30)

допускают явное

решение.

 

 

Ѳ= Ѳ(со) — случайная

величина

Т е о р е м а

12.2.

Пусть

с МѲ4 < оо. Предположим,

 

что

наблюдаемый процеес g =

(£,),

О ^ Д ^ Г , допускает дифференциал

 

 

 

 

 

 

 

äh = [А0(/, I) +

Ai (t,

g) Q]dt + B (t,

i) dW2 (t),

 

 

 

где коэффициенты Л0, Au В

 

удовлетворяют

условиям

тео­

ремы

12.1, а условное распределение P ( 0 ^ a |g 0) является гаус­

совским. Тогда mt = М (Ѳ |

 

 

и yt — М [(Ѳ; — mty |

задаются

формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т 0 +

Yo I

-ß2

 

 

Is’ I)

 

 

 

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.34)

 

 

 

1+ T" .1 ( т ч а Д

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yг

 

 

 

 

Yo

 

 

 

 

 

 

(12.35)

 

 

 

 

Д (s,

I)

 

 

 

 

 

 

 

+ Y°J (-

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в (S,

s )

 

 

 

 

 

 

§ и УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 463

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу (12.29) и (12.30) mt и у, удо­

влетворяют уравнениям

 

 

d m t = y

^ y ’^

{äh — (A0(t, D + A ^ t, l ) m t)dt],

(12.36)

Yr

ѵД (<• I) \2

(12.37)

B(t,

l)

решения которых, как нетрудно проверить, задаются форму­ лами (12.34), (12.35).

В рассматриваемом случае формулы (12.34) и (12.35) можно было бы получить непосредственно из формулы Байеса (11.35),

не обращаясь к общим

уравнениям фильтрации

для условно­

гауссовских

случайных

процессов *).

 

Действительно,

если

у0 >

0, т0

в силу (11.35)

 

Р (е < а |9 г 5 )= М {х 1в<„| |*Н ) =

 

 

 

 

_і Г 2яу

I

 

 

 

А\ (s, І)

'dW,

 

2уо

 

0

В (s, 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Г ГА, (s, 1)

 

 

 

 

 

 

 

+2

JJ

L в (S, ё)

ds I da.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Отсюда

следует,

что

условное

 

распределение

Р ( Ѳ ^ а |5 г |)

обладает

плотностью

 

 

 

 

 

dP (ѳ< а I ѵ \ )

V 2яу0 ехр

(« - Щ)

 

 

da

 

 

2у0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Д

I ^

W

{a~ m A m d t s

 

Ai (s>I) (а — ms (%)) ds

 

В (s, l)

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.38)

С

другой

стороны,

условное

распределение

Р ( Ѳ * ^ а |^ |)

является

гауссовским:

 

 

 

 

 

 

 

dP (Ѳ<

а I Г))

 

 

 

(a~m tf

\

 

 

 

da

 

у

 

exp

(12.39)

 

 

 

 

2яу(

2yt

I ‘

*) При этом выводе уравнений для т{ и можно отказаться от пред­ положений (12.15) и (12.16).

464

 

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

[ГЛ. 12

Приравнивая

 

в (12.38)

и (12.39) члены при а и а2*,1 получаем

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ѴГ

_± Г( Д ( s, ё) \2

 

(Р-п. н.),

 

(12.40)

 

 

 

о

В (s, I)

) ds ■

 

 

 

 

 

 

 

Iі

 

 

 

 

 

 

 

т,

< А, (s, І)

 

 

2 J

V

s- l)tns (l)\2

öfs :

(Р-п. и.).

(12.41)

- 2 - 4 - ,

В (s. І)

dWs +

 

 

в (s, і)

Y0 ^

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (12.40) непосредственно следует формула (12.35). Если же

теперь учесть, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JW7

_

dls —Ио (s, I) + Aj (s, l) ms (Hl ds

 

 

 

 

äWt-------------------- в Ш )

 

-

 

 

то из (12.41) получаем требуемое представление (12.34).

(12.35)

Если

Р(уо =

 

0 ) > 0 ,

то для

вывода

формул (12.34),

следует

вместо

 

распределения

Р ( Ѳ ^ а ||0)

рассмотреть гаус­

совское

распределение

РЕ( Ѳ ^ а |£ 0) с

параметрами

т\ — тй,

Yo= Yo +

8> 8 >

 

0.

Тогда

соответствующие

величины

 

nft и у|

будут

задаваться

формулами

(12.34),

(12.35) с заменой у0 на

Yo==Yo + e> в которых затем

надо сделать предельный

переход

при е I 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§

2. Единственность решений уравнений фильтрации.

 

 

Совпадение а-алгебр £Г\

и & ~ f ' w

 

 

1. Для условно-гауссовского процесса (Ѳ, | ) апостериорные

моменты

mt — М (Ѳ, | Ѳ~\)

и

yt = М [(Ѳ, — mtf | SF\\ удовлетво­

ряют,

согласно теореме

12.1,

уравнениям (12.29), (12.30). Сле­

довательно, эта система уравнений имеет ^-согласованное

решение = O ^ t ^ T ) . В этом параграфе будет пока­ зано, что непрерывное решение этой системы единственно. Таким образом, решая эту систему уравнений, мы действи­

тельно

будем

получать

моменты mt и yt условного распреде­

ления

Qt.

12.3. Пусть выполнены условия теоремы 12.1.

Т е о р е м а

Тогда

система уравнений

dx (t) =

[aQ(t, l) 4- öi (t, l) X {t)\ dt +

b2(t,

i ) + y(t)Al (t, D

4-

 

B2 (t,

(Л) (t> І) + Ai (t> ЮX (/)) dt],

У (t) = 2at (t, g) у it) -f Ь\ 0f,

(12.42)

l) + Ы(t, l) -

b2 (t, D в (t, D + IJ^AHU D Y

(12.43)

В И D

 

§ 21

 

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

465

решаемых

с

начальными

условиями х(0) =

т0, у( 0) = уо

( | т 0| < ° ° ,

О ^Ѵ о < °°).

имеет

единственное

непрерывное,

^-измеримое

при каждом t решение,

0 ^ t <1 Т.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

у At)

и y2(t),

— два

неотрицательных непрерывных решения уравнения (12.43). Тогда

I<У2\(0 t— У2 (0 I <

 

 

s ) |) i ^ ( s) - ^ ( s ) I ds +

J О 0- ^

 

 

Г

A](s, !)

 

 

 

 

 

(12.44)

+

ß2 (S| I) [у1(s) + У2 (s)] IУi (s) — у2 (s) I ds.

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

M s , | )

 

\

лг (s, £)

 

rAs, Ю= Д і fli (s, l) | +

A, (s, l) ) +

[yx(s)+y2(s)].

Тогда неравенство (12.44) перепишется

в следующем

виде:

 

 

t

 

 

 

 

 

I Уі (t) — У2 (t) К

J ГI (s,

l) I y x(s) — y2 (s) I ds.

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Поэтому в силу леммы 4.13

 

 

 

 

 

 

P{yAt) =

yi(t)} =

\,

0

 

 

 

и в силу непрерывности

решений

у At),

У2Ц)

 

 

 

Р{ sup

I Уі (t) — y2(t) l =

0> =

1,

 

 

0<f<T

 

 

 

 

 

 

что и доказывает единственность непрерывного решения урав­ нения (12.43).

Пусть теперь

xx(t) и x2(t) — два

непрерывных решения урав­

нения

(12.42).

Тогда

 

 

 

 

 

 

x x(t) — x2 (t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

M 5>l)

 

л ,

,

УA) Ai A, l)

 

 

J

a, (s, l)

-f

 

[xx(s) — x2(s)] ds

B(s, !)

■Ai(s, I) +1

В'г (s, ! )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно,

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I * 1 (t) —

x2 (t) К

 

J r2 (s,

I) IX, (s) — x2 (s) I ds,

(12.45)

где

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

M s>l)

 

У A) A\{s,

l)

r2(s, i ) = l

aAs, £)l +

Ai (s, l) +

В (s, !)

B2(s, l)

 

466

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ 12

Поэтому, снова применяя к (12.45) лемму 4.13, находим, что Xi(t) = x2{t) (Р-п. н.) для каждого/, 0 < / < 7 \ Отсюда полу­ чаем:

Р{

sup \ х х{і) — x2(t) 1= 0} =

1.

 

 

0<*<Г

 

 

З а м е ч а н и е .

Согласно доказанному у(,

0

^ Т, является

единственным непрерывным решением уравнения (12.43). Пока­

жем, что если Р (Ѵо > 0) = 1, то и Р {inf Yf > 0} = 1.

t < т

Действительно, в силу непрерывности yt > 0 для достаточно малых t > 0. Положим T = i n f ( /^ f : yt — 0), считая т = оо, если inf yt > 0- Тогда при К т Д Г определены величины

6f = Yr’> удовлетворяющие уравнению

öt = - 2â, (t, I) bt + ( 4 д т г ) 2*-

{t’

б0 = То“ 1. (12.46)

где

 

 

йі (/, х) = а, (/, х) — д

XJ}

Ах(t, x).

На

множестве {ю: т <1 Г} lim 6,— °o (Р-п. н.). Однако согласно

(12.46)

 

 

 

t + т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

w

t

 

 

 

 

öt =

exp j — 2 J S, (s,

g) ds } I 60 +

J exp

a, («, I) du

(s,|)'

 

(

о

 

 

31

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g)) ds 1<

exp J2 J I 5, (s, g) | ds |

 

T

A\ (s, g)

— öjtf (S,

60 +

J

 

І) ds < OO.

 

 

J

 

I

0

J

L

0

 

 

Значит, Р { т ^ Т } =

0.

Иначе говоря,

 

 

 

 

 

 

inf

yt = (sup ö,)- 1> 0

(P-п. H.).

 

 

 

 

t < T

 

 

t < T

 

 

 

 

 

2. При выводе уравнений фильтрации для процесса (Ѳ, g) предполагалось, что этот процесс является решением системы уравнений (12.1), (12.2) с некоторыми винеровскими процес­

сами Wx и W2. Однако

не предполагалось, что процесс (Ѳ, g) —

— (Ѳ,, g,),

являлся

сильным

решением (т. е.

t r f ' w" ^-измеримым

для каждого /) этой

системы.

Нетрудно привести условия,

при которых эта система имеет,

ипритом единственное, непрерывное сильное решение.

Те о р е м а 12.4. Пусть g(t, х) обозначает любой из неупре­

ждающих функционалов at {t, х),

ЛД/, х), bj{t,

х), B(t, х),

і — 0, 1, / = 1, 2, 0 ^ /s S ^ r, х е С г.

Предположим,

что
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности