Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 7146 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

§3]	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ						44?
Тогда из (11.17) находим, что
4x §-[Q<(0O) W lt	l ) - r n t m	=
					t
=	gi (t, І) +	e0g2 (t, i) +			(t, I) J g 3 (s, I) d w x(s).
					0
В силу (11.34) это позволяет 1пр,(Ѳ0, Wh g) записать в сле
дующем виде:
1пр,(Ѳ0, U7„g)=	jg,(s,\|H-ft(s»E) Ѳо+ g3(u,l)dWl(u)						dWs-
g i(s , S) +	g2(s. E) 00+		J	£з(и>E) dWi {и)		ds.	(11.40)
			о
По формуле (11.28)
dWt = dW2(t) +		4	^	- [Ѳ, -	mt (i)] dt,

где винеровский процесс W2 не зависит от винеровского про цесса Wx. Используя это обстоятельство, легко с помощью фор мулы Ито установить, что

в з ( “ .	äWiЕ) (и)
X J g3 (s, £) dW, (s) -	J g 3(s, 1) J g2(и, DdWu) dW, (s) (11.41)
0
Аналогично,

X J £ з (« , E)	(s) ~ J £ 3 (5,	5	(11.42)
		J gg(u, g) du dWx(s).
0	0	0

44â

Ѵс Л о в Мо -ГАу с с о в с к и е

с л у ч а й н ы е

Пр о ц е с с ы

(гл. и

Пусть при

каждом

At (t,

х),

А2(t, х) и A3{t,

х)

такие ^-измеримые

функционалы,

что

А, (t,

І) =

gi (s,

dWs -

[g, (s,

I)]2ds,

A2 (t,

І) =

S2 (s,

l) d w s — J g, (s,

l) g2 (s,

I) ds,

(

1/2

A3(*,

i) =

( J

[ft(s. D f d s j .

Пусть, далее, Д4(^, x)

и Д5(/, х) — функционалы, измеримые

по паре переменных, ^

+-измеримые при каждом

такие,

что при

почти всех

0 ^

t ^

д4(и

I) d w s,

I) *= j g2 (s,

As (t,

I) = J g2 (S,

l) ds.

Обозначим,

наконец,

для каждого t A6(t, х, у) и A7(t, х, у)

функционалы,

являющиеся

X ^ г ИзмеРимыми и такими,

что

Аб (І,

Г „ І ) =

А 4 (/,

а / g3(s,

Z)dW, ( s ) - f

g3(s, І) A 4 (s , Dd Wd s),

А7(t,

W lf y =

A5(t,

g) J g3 (S>

Qd Wt ( s ) - j

g3(s, E)A5(s, D dW A s).

Из

(11.40) — (11.42) и лемм

4.10,

11.2

с учетом

этих

обо

значений находим, что для

а е

Inpt (a,

W u I)=

Ai (t,

І)+

aA2(t,

I)-

A32 (/,

I)+

A6 (t,

W „

!) -

g3(u, I)dW X(и)

- a A 7( f , r „ I ) - 4 - J

ds.

(11.43)

Из

определения величин A6(;, Wu |)> А7(i, Wu |)> лемм 4.10

И 11.2

и независимости процессов

Wx и |

вытекает, что услов

ное распределение этих величин (при заданных |) является гауссовским.

§ 3]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы

449

Пусть 0 — toN) <

t\N>< ... <

t ^ ] — t — разбиение отрезка [0, t]

такое,

что

шах | /(Д\ — t\N) | -* О, N -> оо.

Положим ^ (s) = t{.N),

если t\N) < s

< 4+1.

Ясно,

что

грлг (s)

N->oo, и

V я»

& (и,

I) dWt (и) -* J

s 3 (и, I) dWt (и)

(Р-п. н.).

Более

того,

lim

sup

v*>

I J

S3 (и,

i) dW, (u)

= 0

А-»°О 0 <

s < r

(c m . (4.47) и гл.

§ 2, п. 6),

/ V

(и) U , -

lim f [g2(s,

s 3 («, I)

“ o

[& (s>

I)]2

I S3 («,

1 ) ^ 1 (и)

й?5.

(11.44)

Образуем теперь последовательность

функций р[N) (а, Wh |),

положив

1прР(а,

W u |) =

А,(/, І) + аА2(/, I)

І) + Ав(/,

І) + аД7(/, Г ,, !)■

ДА)

РА)

A -l 1/+1

l{u,i)dW1{u)ds.

(11.45)

Г^2(5,

!)]2

2 /=ЮрА)

Тогда

в силу (11.44) для

всех

a ^ R 1

lim ln pW (а,

Wlt |) = lnpt (a, Wlt

§).

(11.46)

W-» oo

Правая часть в (11.45) является неположительно определен

ной квадратичной формой (с коэффициентами,

зависящими от

а,

І, t,

4W)

величин

Ae (t,

I), A7(t, Wu

I),

g3(u, l)dWl («),/ =

1,2,..., N

15 P. Ш. Липдер, А. Н. Ширяев

450

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ІГЛ. 11

совместное распределение которых (при заданных |) является гауссовским.

Точно так же

In exp	20а + % z kWx{tk)
	ß—1

является неположительно определенной квадратичной формой величин

Wy{tk), k = \,	п\ Д6(*. Wit I);	М *. Wlt ІУ,
	tm
	J	l) dWi (и), j = 1 , . . . , N
	о

с(условным) гауссовским совместным распределением.

Сучетом этого обстоятельства вычислим

ІЦ V, а, і) = J exp i	zQa +	П	z.c		9 \N]{a,c,l)d\iw{c), (11.47)
ІЦ V, а, і) = J exp i	zQa +	2	z.c	th	9 \N]{a,c,l)d\iw{c), (11.47)
		2	k	th
CT		fe=i
CT

используя следующее предложение, справедливость которого

устанавливается				прямым	подсчетом.			£т ) — гауссовский		вектор
с	Л е м м а		11.6.	Пусть	£ =	(£,,	. .. ,
	М£ =	а,	М (£ ■— а) (£ — а)* =			Г,	del Г > 0. Пусть		d = dl Jr id2,
d\	(^iii	• •	• > dim), d2		(^2і,	• • •,	d2m),	dij ед R и	D	неотри

цательно определенная симметрическая матрица порядка пгУ^пг. Тогда

М ехр Щ - £’Я£] = ( det[2Dd+ ^ ~ 1] ‘ ) W/2 X

X expj 1 [ - а Т “ ‘а + fa, +	а Т _1) (2D + Г ~ Т ’(<А + а Т “ 1)*] +
+ і \d2(2D + Г-1)	[^(2Ö -h Г_ 0 ‘ da]]}- (11.48)

Для дальнейшего анализа нам нужен не явный вид правой части (11.48), а лишь только то, что М exp {dt, — можно представить в следующем виде:

М е х р № - № } =

= eexpjt/jö + у dfldi + id2yd\ + id26 — ^ d 2yd2^, (11.49)

§ 3]				ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ							451
где
е — ^ dei:.			- 1--— j		e x p jy l —а*Г“ 'а +
							+ аТ~'(2£> + Г ~ Т 'г “ 'а]},
б =	{2D +	Г-1)' 'г -1 а,
y =	(2D +	r ~ r l.
	З а м е ч а н и е .			Если rang Г = г < т ,				то	тогда	найдутся га
уссовский		вектор		£ = (£і,		I )	с М£ =	0,	=	Е(гхг)	и мат
рица С(тхг) такие, что					(Р-п. н.)
	В этом	случае			£ =	а +	ct>-
	В этом	случае
	М exp {dt, -		?DQ = М exp {d (а + С~1) -					(а +	СІУ D (а +		CQ},
что с учетом (11.49) можно переписать снова в виде
М exp {dt, — l*DQ =				е exp jdiè +		у d\yd\ +		id2yd* + id2b — ^ d 2ydl j
с некоторыми			ë,	б, у,	явный	вид которых			может быть легко

найден. Применяя эту лемму к вычислению интеграла (11.47), находим, что

h {U а. І) =	е(ІѴ) (t, I)exp{[/z0 + А2{t, \|) + öoN) (t, I) +
	fl	ZkyoV(t, I)] а — Y [A3 (t, І) — Yoo* (C I)]4*
+	i ^	ZkyoV(t, I)] а — Y [A3 (t, І) — Yoo* (C I)]4*
	k=\
		+ 1	S z kb T (t> I)	S 2<Л(*. I) .
			ft=i	i, fc=i
где \\y($ ( t,	x) I,	N = 1, 2, . . .	симметрические неотрицательно
определенные матрицы.
Заметим теперь, что величины р\N){a, Wv \|)					мажорируются
интегрируемыми (по мере d\iw) величинами
ехр{ А, (t, I) + аА2(/, І) -			АІ (t, \|) + А6{t, Г „	£) -	аА7(t, Wu І) }.

Поэтому в силу (11.46) и теоремы Лебега о мажорируемой схо

димости* (теорема 1.4)			существует	предел
I {t, а, І ) =	lim IN(t, а,		\|) =
	N-+ °о
=	[ exp I і		z0a + 2 zhc	Pt (fl. c>l)d\iw{c). (11.50)
	сТ	I	fe=i

15’

452

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 11

силу

произвольности

а,

величины

s(N)(t,Q,

(t,

и yj^ (t,

І)

стремятся при

N -> °о к некоторым

преде

лам

б; (/, І),

Yft/(*.!)•

При

этом

матрица

|| Yfe/

I)II

является

неотрицательно

определенной,

как предел

таких же

матриц. Ясно также, что

ехр

ZqQqЧ~ ’\

j z jW 1(fy)

/=і

сю

lit,

a, l)dFu (a),

(11.51)

откуда в силу эквивалентности мер

и (х?

и гауссовости услов

ного распределения / - \ 0(а) следует справедливость теоремы

1 1 .2 .

З а м е ч а н и е .

То

же

самое доказательство

показывает,

что Р-п.

н.

ехр \ і

•*

(t, I) Ѳо + 2

zfll V’ ® J

V’ ® dWl ^

l=i

■ехр

2 /6/ (t,

I) — -j

Z*Z/Y« V’ l)

\ >

(11.52)

/=0

/, fc=0

где И-у*/ (^» È) II — неотрицательно

определенная

симметрическая

матрица.

т е о р е м ы

11.1.

Пусть

0 =

/ 0 <

3. Д о к а з а т е л ь с т в о

< t{< . . .

< t k — t ^ T

— некоторое

разбиение

отрезка

[0, Г].

Тогда с учетом (11.19) имеем

М (ехр j i

2 /Ѳ(/ j

grfj =

M (exp j i 2

ZjQt .(Ѳ0, Wu g)

t .

где

согласно

лемме

1 1 . 1

Qi; (Ѳо, Wlt g) =

Фч (g)

Ѳо +

Ф« 1 (g) ä0 (s, g) ds +

ФГ'

(І) 6, (S, I) d r ,

(s) +

Ф71( g ) ^ j f

db.

§ 3]	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ				453
Поэтому
м ехР І 2	2^(00, Wi,	I)
/=0
	П—1
:	ехР I г" ^ г і	Ф /7.(I)	( J	Ф Г ' (ЮSo (s, І) rfs +
	1=0		о
	+.1			X
	о
X М ехр	П—1	ѳ0+	{	Ф ГЧ ю м *.	І)й Г і(5)
X М ехр	1=0	ѳ0+	{	Ф ГЧ ю м *.	І)й Г і(5)
	1=0

Применяя к правой части (11.52) замечание к теореме 11.2,

находим,

что

М ехр

і ^

zßtj

l=o

— exp

/=0

£)— i

zkziVki(t,i)

(11.53)

ft, /=0

где II Yft/ (^> I) II — некоторая

неотрицательно

определенная

сим

метрическая

матрица.

zn из

(11.53) следует, что

В силу произвольности г0, z h

условное

распределение

Р (Ѳ<0 ^

ßo, .. •,

0<п< а „ |

3~\)

является

для

любых t0 < tx< ...

< t n^ . t

и п = 1 , 2 ,

...

гаус

совским.

Теорема доказана.

s ^

tQ< ...

< tn^ t .

З а м е ч а н и е .

Пусть

Тогда

условное

распределение

Р (ѳіо< а 0........ e,n <

a „ i ^

s’5)

также является (Р-п. н.)

гауссовским,

что

вытекает

из гауссо-

вости распределений Р(Ѳ5^ а , Ѳ/о^ а о ^

. . .

a tn ^

a n \

454

УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. 11

4. Для нужд задач фильтрации, интерполяции и экстрапо ляции условно-гауссовских процессов особый интерес предста

вляют параметры т < =	М ( Ѳ і І @ ~t)	и Y / = М [ ( Ѳ , — m lf \ & r \\ услов
ного распределения	(а) — Р (Ѳ,	а\ &~\). Их можно было бы

найти, отыскав явный вид входящих в (11.53) элементов бt (t, £)

иуk{(t, I).

Вследующей главе будет показано, однако, что для оты скания параметров т„ у, (а также других характеристик условно-гауссовских процессов) проще поступить иначе, вос пользовавшись общими уравнениями фильтрации, интерполяции

иэкстраполяции, выведенными в восьмой главе.

Г Л А В А 12

ОПТИМАЛЬНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ КОМПОНЕНТ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

§1. Уравнения оптимальной фильтрации

1.Пусть (Ѳ, £) = (Ѳ,, g1), 0 ^ . t ^ T , — непрерывный случайный процесс диффузионного типа с

dQt = [а0 (t, g) + a, (t, |) Ѳ,] dt + bx(t, g) dWx(0 + b2 (t, g) dW2(t),

	( 12. 1)
dlt = [A0(t, g) + A, (t, g) et]dt + В (t, I) dW2(t).	(12.2)

Будем предполагать выполненными условия (11.4) — (11.11), сформулированные в предыдущей главе. Тогда, если условное


распределение			(а) =		Р (Ѳ0	ö\| g0)	является (Р-п. н.)			гауссов
ским,	N (т0, у0),		то	в	соответствии		с теоремой		11.1	условное
распределение			(а) =		Р (Ѳг ^	а\	также будет гауссовским,
N{mt,yt)- Поэтому, если МѲ< < оо,								то один из пара
метров	этого	распределения — апостериорное							среднее nit —
= М(Ѳ(I ^*!) — будет					оптимальной		(в	среднеквадратическом
смысле) оценкой			по \|o = fe,				Знание второго^параметра
этого распределения				— у, =		М([Ѳ,— mtf		\&~\) — дает		возмож
ность находить		величину ошибки фильтрации
			Д ,=	М (Ѳ ,-т ,)2			(=М у,).			(12.3)

В приводимой ниже теореме 12.1 находятся уравнения, ко торым удовлетворяют mt и yt. В силу условной гауссовости процесса (Ѳ, g) эти уравнения оказываются замкнутыми.

Важно подчеркнуть, что теорема 12.1 содержит как частный случай уравнения фильтрации, выведенные в случае схемы Калмана — Бьюси в десятой главе. При этом, если в схеме Калмана — Бьюси процесс (Ѳ, g) был гауссовским и, как след ствие этого, оптимальная фильтрация оказалась линейной, то

456

ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНО-ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 12

в рассматриваемом нами условно-гауссовском случае опти мальный «фильтр», вообще говоря, является нелинейным.

2.Вывод уравнений для mt и yt, основанный на использо

вании	основной	теоремы фильтрации (теоремы 8.1), проходит
по следующей схеме.
Согласно (12.1)
				t
	Ѳ/ —	Ѳо +		J" [flo (s >I) +a\ (s >S) ö s]ds + xt,				(1 2
где			о
где		t
		t
	xt =	l	[ö, (s, g)		(s) + 62 (ä, g)		(s)].	(12.5)
		6
Из	(12.4), (12.5)		с помощью формулы Ито находим,					что
	t
Ѳг = Ѳо + j (20s[его (s, \|) + °i (s> I) 0S] +
	о			+ [b\ (s, l) +		bl (s,	I)]) ds + jc(f	(12.6)
где				+ [b\ (s, l) +		bl (s,	I)]) ds + jc(f	(12.6)
где		t
		t
	X, = J' 20s [b, (s, \|) dW, (s) +					b2 (s, l) dW2(s)].		(12.7)
	о
Обозначим
	ht =		Bt,	Ht =	a0(t,l) + al (t,l)Qt			(12.8)

ht = Ѳ?, Ht = 2Bt [ao (t, l) + ax (t, l) Ot] + [b\ (t, l) + bl (t, g)]. (12.9)

Тогда уравнения (12.4) и (12.6) запишутся в следующем виде:

t
h( = h0+ I Hsds + xt,	(12.10)
О
t
£/ = £о + J Hsds + xt.	(12.11)
О

Таким	образом,	ненаблюдаемые процессы h t и h t имеют
именно ту	форму,	которая предполагалась в теореме 8.1.

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 7146 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ