Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7144 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

§ 3]	УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)	427
		427

Установим теперь справедливость равенства (10.85). По

скольку	DS{E — DtDs) = Ds — DsDtDs = 0				(Р-п. н.), то в силу
( 10. 86)		t	t		3
		t	t
	I	D„ dWs=	J DsDtBs dWs		(Р-п. h).
Далее,	о		0
Далее,	t			t
	t			t
	J DsDtBs dWs =		J BsdWs -	J (£ -	DsDt) BsdWs.
	о		о	0
Положим xt =		J [В ~ D tD s] BsdWs. Тогда
	t	о
	t
m tx) =	M J (E - DsDt) BsB*s(E — DsDty ds =
	о
			t
		=	M J {E — DsDt) DsDs(E — DsDt) ds = 0,
			0

поскольку (E — DsDt) Ds = 0. Следовательно, xt= 0 (Р-п. н.), и ,

значит,	t	t				t
	t	t				t
	J Ds dWs=	j	DsD tB sdWs= j			BsdWs.
	0	0			0
Лемма доказана.		т е о р е м ы 10.3.				Покажем,	что най-
Д о к а з а т е л ь с т в о		т е о р е м ы 10.3.				Покажем,	что най-
дется такая	блочная матрица
			/4 (0	d2(0\
			\ 0	D2(t)J
размеры блоков которой		совпадают с размерами соответствую
щих блоков	матрицы		( Ь х (0	Ь 2 (0 \
	,	_	( Ь х (0	Ь 2 (0 \
и при этом	7“		U ( 0	B2{t)l
и при этом		DtD*t =		BtBt.			(10.87)
		DtD*t =		BtBt.			(10.87)
Ясно, что (10.87) эквивалентно системе матричных уравнений
	dx {t)d]{t) +		d2(t)dW) =		(b°b)(t),
			<0(0 D*2(t) =		(boB) (0,		( 10.88)

Dz(t) Dl(t) = (BoB)(t).

428	ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 10
Матрицы	Dt, 0 ^ - t ^ T , с требуемыми свойствами	строятся

следующим образом. Положим (опуская для простоты индекс t)

D2 = DI = {BoB)1'2.

(10.89)

Тогда,

поскольку

матрица В ° В

не

вырождена,

из

второго

равенства

в (10.88)

получаем

Далее,

d2 = {boB){BoB)-{12.

(10.90)

did* = (b°b) — {boB)(B° В Г 1(b о В)\

(10.91)

По лемме

13.2 матрица

(Ь ° Ь) — (Ь ° В) (В ° В)~1(Ь ° В)

является

неотрицательно

определенной, и

в качестве d x

можно

взять

матрицу

di =

d\ = {(b ob)— {bo В) (В о В Г 1(Ь о В)*\Щ.

(10.92)

Итак, блочная

матрица

Dt =

di ІО

d2(t)

D2{t)

обладающая

свойством (10.87), построена. '

(10.63)

имеет

По лемме

10.4 для системы уравнений (10.62),

место также

представление

dQt =

[flo(/)+fli (/)0t+fl2 it) l t \ d t + d x( t ) d W i ( t ) + d 2( t ) d W 2(t),

(10.93)

dh =

[Ao Ю +

Л, (t) Ѳ, +

A2 (t) Ы dt + D 2 {t) dW2 {t),

(10.94)

где

W2— новые

винеровские

процессы,

независимые

между собой.

0 < Д < 7 \

Определим теперь случайный процесс v — {yt,

являющийся решением линейного стохастического дифферен циального уравнения

dvt = {[«о (0 — ^2 W D2 1(*) Ао(О] + [«1 (t)—d2 (t) D~l (t) Ai (*)] v, +

+ [a2{t) - d 2{ t) D - \t) A 2{t)\lt\ d t + d 2{t)D;l {t)div v0= 0 . (10.95)

В силу сделанных в п. 1 предположений, формул (10.89), (10.90) и (10.92) и замечания к теореме 4.10 уравнение (10.95) имеет, и притом единственное, непрерывное решение ѵ = (yt, tFf).

Положим

Ѳ< = Ѳ, — ѵ„ It = It — J [Л0 (s) + Ai (s) vs + A2 (s) У ds. (10.96)

§ 3]

УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ (МНОГОМЕРНЫЙ

СЛУЧАЙ)

429

В силу (10.94)

и невырожденности

матриц D2{t)

W2 (t) =

J Б ; ' (s ) [dgs -

(A0 (s) + A{(s) 0s +

A2 (s ) у ds]

(10.97)

(cp. с доказательством теоремы 5.12).

Из

(10.95) — (10.97) находим

dQt =

fa, (0 — d2 {t) DJ' (t) Ay (0l 0t di +

dy (t) dWy (t),

(10.98)

d\t =

At (/) 0, dt + D2 it) dW2 (t).

(10.99)

Из

построения

процесса

| = (|<), 0 < ^ < Г

(см.

(10.96)),

следует, что

9~\ э

9~\.

Покажем,

что

действительности

a-алгебры

$Г\

совпадают при

всех t,

0 < n s ^ 7 \

Для доказательства рассмотрим линейную систему уравнений

d%t — [А0 (t) +

Ay (t) vt +

А2 (t) Id dt + d%t,

go =

SQ,

(10.100)

dvt =

f«o( 0

+ ay( 0

v( + a 2 ( 0 £<]dt + d2 (t) D~l (t) d\t, vo= 0, (10.101)

получающуюся из (10.95), (10.96).

У этой линейной системы уравнений существует, и притом единственное, сильное решение (см. теорему 4.10 и замечание

к ней), что влечет за		собой	включение 9Г\ З’ .ѲГ\, О ^ И ^ Г .
Там самым,	=	0 < ^	^ Г , и

'й, = М (Ѳ,[;Г!)=М (Ѳ1|Г «).

Поэтому

mt = М (0t | У |) = М [Ѳ, + v( I T \ \ = tht + vt (10.102)

Qt — fht — (Ѳ, — vt) — {mt — vt) = Ѳ, — mf.

Отсюда

— (10.103)

Согласно теореме 10.3

dmt — [a, (t) — d2(t) D2 }(t) A{(^)| mt dt +

	+ y X	((0D 2 (t) D \ (t))"‘ (d\t -	Al (t) m t dt),		(10.104)
= [a, V ) - d2(0D 2 X(0A (0] Yt + Yt [a, W~ d2(0				(0A (*)]’ -
	- y tA\(t){D2(t)D'2(t))~{ A {{t)yt + d x{t)d\if).				(10.105)
Отсюда	с учетом	того, что m , = rht -\- v t	и y t — y t,	после про
стых преобразований приходим к искомым уравнениям					(10.81)
и (10.82)	для Щ( и y t.

430	ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 10
430

Единственность решения уравнения (10.82) следует из спра ведливости аналогичного факта для уравнения (10.105) и тео ремы 10.2. Единственность решения уравнения (10.81) вытекает из его линейности, теоремы 4.10 и замечания к ней.

§ 4.	Уравнения для почти оптимального					линейного фильтра
		в случае вырождения матриц Во В
1.	Снова	рассмотрим	k + /-мерный			гауссовский процесс
(Ѳ„ It) = [(0, (0, • •., Ѳ* (і)),			(£, (/), . . . , h		(/))],	0 < t <	Т, описывае
мый уравнениями (10.62), (10.63).					(ß ° В) (t) =		В\ (t) В\ (t) -f-
Предположим теперь,			что	матрицы
Bi(t) Blit)		вырождаются*).		В этом случае уравнения (10.81),

(10.82), с помощью которых определялись условное математи

ческое ожидание		=	и матрица	yt = М [(Ѳ, —	X
Х(Ѳ, — rn,Y\ в		случае	положительно определенных матриц
(ß о В) (і),	теряют	смысл,	поскольку входящая в правую		часть
этих уравнений матрица [(ß°ß)(^)]-1 не существует.
Если	коэффициенты		уравнений (10.62),	(10.63) разрывны,

то пг, и у/ ПРИ вырожденных матрицах (B°B)(t) не обязательно непрерывные функции времени и, следовательно, они не опре деляются уравнениями типа (10.81), (10.82).

В ряде частных случаев можно вывести уравнения для mt и yt при вырожденных матрицах (Boß)(t) (например, когда коэффициенты уравнений (10.62), (10.63) являются постоянными или достаточно гладкими функциями времени).

С прикладной точки зрения эти уравнения для mt и yt при вырождении (BoB)(t) не представляют ценности, потому что, как правило, содержат производные по времени от реализаций компонент наблюдаемого процесса или же от их линейных комбинаций**), которые нельзя вычислить без больших по

грешностей в реальной ситуации.						процессы nft
Ниже	для	каждого	е Ф 0	будут построены
и у?>		которые	в определенном		смысле	близки к mt
и yt. Эти	процессы определяются из уравнений типа (10.81)
и (10.82)	для	неотрицательно		определенных матриц (B°B)(t),
0 < / < 7 \	и	задают фильтр,		который,	следуя терминологии,

принятой у специалистов по некорректным задачам, можно

было	бы назвать «регуляризованным» фильтром.
2.	Пусть а2(/) = 0, А2 (t) = 0.		Наряду с	процессами Of,
введем процесс £8 ==		0 ^ t ^ Т, с
	l) =	l t + t W t,	8^=0,	(10.106)

*) Этот случай возникает, напрчмер, в задачах линейной фильтрации стационарных процессов дробно-рациональным спектром (§ 3 гл. 15).

**) См. [43], [ПО], [172].

§ 4]

ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ

ФИЛЬТР

431

где

Wt = \W\І0,

•••.

^ііО],

f < 7 \ — винеровский

процесс,

не

зависящий от (Ѳ0, | 0)

и процессов Wu W2.

Поскольку а2(/) =

О, Л2(0 = 0, то из (10.61), (10.62) и (10.106)

следует, что процесс (О,,

O ^ t ^ T ,

удовлетворяет системе

уравнений

dQt =

[а0 it) +

а, (1) Ѳ,] df +

Ьхit) dW, it) -f b2 (t) dW2 it),

(10.107)

dl] =

[ A 0 it) +

A i it) 0t] + B, (t) dW{ (t) +

B2 it) dW2 it) +

sdWt,

решаемых при начальных условиях Ѳ0 и ?о = Io-

(10.108)

Обозначим н®= М (в; I T f ) , у] =

М [(Ѳ, — /г®) (Ѳ, — nf) *].

По

лемме

10.4 и теореме

10.3 п®и у] определяются из уравнений

dn® =

[а0 it) + а, it) /г®] dt +

+ [(* ° В (0+ѵМ І W] [(5 о В) it) + е2Е Г '

\dft- { A , (/)+Л, it) /ф dt],

Y? — a \(0 Y? + YK it) +

ib°b) it) —

(10.109)

[(* о В) it) + у\A\

(/)] [(В о В) it) +

e2£]_I [ib ° В) Ц) +

y»tA\

І Ю Л Ю )

пе =

т о=М (Ѳ 0| | 0),

Yo= Yo = M[(00- / n 0)(00 — m0)*],

где

E = E(ixi) — единичная

матрица.

Зададим процессы А?=А®(|), А? =

At (IF), О ^ / ^ Г ,

с А/ =

==[Аі (0 ........ А| (/)], А/ =

[А?(/), .... А* (О] с помощью следую

щих дифференциальных уравнений:

d%t== \&о it) -f- ßi it) А;] dt -f-

+ [(* ° В) it) + у]А\ (0] l(ß ° В) (/)+ е 2^ ]“ 1

—(Л0(0-h-41(0

dt],

А1 =

т0,

(ЮЛИ)

dA/ =

öi it) А? dt +

[ib о В) it) +

y]A] it)] [(В о В) it) +

вгЕ\~' [е dWt -

АхЦ) А*dt],

Ао = 0.

(10.112)

Нетрудно проверить, в силу (10.108),

(10.111) и (10.112),

что

для

каждого O s^ H ^ r

л? =

„?(£*)= A?(É) +

A?(IF).

(10.113)

Определим матрицу ö®=

[|öf/ (0|l(fe x k) = Nl[(0t — А*)(Ѳ/ — At) j.

432		ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ				[ГЛ. 10
Л е м м а		10.5.	Пусть	выполнены	условия (10.64) — (10.67).
Тогда для		любого	t, O ^ t ^ T ,
1)	МЯ,‘ =МѲ<,
2)	Y „ ( 0 < 6^.(0 < Y h (0,			*■=!> ....	k,
3)	Y* = lim6® =		lim Y#>
	e-»0		e->-0

4) lim M [тД О — X) (Of — 0, i = 1, . ... k.

E->0

Имеем

(см.

10.106):

(s) =

| г (s)-f-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

+ e#'i (s). Для каждого

M [g£(s) J

является

оптималь

ной, в среднеквадратическом смысле,

оценкой

для

| {(s) по

{|„, 0 < ы < ф

Поэтому

М % (s) -

М (I,

(s) I F f ) ] 2< М [ |f (s) -

(s)]2 =

е2М ( # t (s)f = e2s -> 0,

е-*0.

Отсюда нетрудно вывести, что для всякой случайной вели

чины е . являющейся линейной

функцией

от L , L ,

. ... |

іп

Далее,

если последовательность

(еп,

п — 1,

2, . . . )

случайных

величин

еп, определенных выше, имеет

предел

среднем

квадратическом

(е = l.i.m. еп),

то

ПшМ \ е — M (e|5r f ) l 2 =

(10.114)

е - м )

/ J

поскольку

М [е — М (е I P f ) ] 2<

< 3 (М [е -

e„Y + М Р„ -

М (е. | S™')]2 +

М [М {е

e ^ f ) f ) «

< 6М [е -

e,Y +

ЗМ [*„ -

М (е„ I ГГ)]'.

и, следовательно,

lim М [е — М (е I ^*f)]2 ^

6М \е — еп]2 -»0,

п-> оо.

Заметим теперь, что компоненты mi(t),

і =

1, . . . ,

k, слу

чайного

вектора mt =

М (Ѳ, |

являются пределом

в среднем

квадратическом последовательности случайных величин типа еп,

п =	1, 2, ...	Действительно, если	^ га = а{©:	£0, \| 2_„, ...
... ,	^ .г л, -	£,}, то по теореме о	нормальной	корреляции

§ 4]		ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР					433
(см. гл.	13) компоненты		т\п)(і), і — 1,	... , k,	вектора		m'tn} =
= М (Ѳ, I	n)	линейно	выражаются	через		\|	...
• ••.	• ••,	i r При этом согласно теореме 1.5 т[п) (t)-+ mi (t)
с вероятностью		единица.	Но М [/л<«)(^4<МѲ^(/)			равномерно
по всем п. Поэтому по теореме 1.8 lim				М\т. (t) — m{V (*)]2 = 0.
Итак, в силу (10.114)			имеем
	lim М [mi (t) — М (mi (t) \| P f ) ] 2=				0.		(10.115)

Из определения процесса f (см. (10.106)) следует, что для любого 0< Д=^ Г совпадают сг-алгебры Р \ ^ е и Р \ ^ , откуда,

используя независимость процессов (Ѳг, £,) и (Wt), 0 < П ^ Г , находи-м, что Р-п. н.

М (Ѳ, I П		£') = М (ѳ, Isrt- ») = М (0 ,1srt) = m„
откуда в силу свойства условного						математического ожидания
получаем
	М (mt I P f ) =			М [М (Ѳ, I Р \ l°) I P f ] =				я*.	(10.116)
Но тогда	в силу (10.115)			и (10.116)
		1ітМ [П;(0 — т,{Щг — (к							(10.117)
		Ё->0		L		J
Из (10.117) легко выводится,					что
				limy?=Yf*					(10.118)
				е->0
Установим теперь утверждение 1) леммы. Для этого рас
смотрим	процесс	[Ѳ*— А?],			определяемый,		в	соответствии
с (10.107)	и (10.111),		уравнением
			t
[б/ —1Я/] =	[Ѳо — то] +		J (öi (s) — D (s) A{(s)) [0S — As] ds -p
			o		2	t
					2	t
					+ 5 j	1 [bt(s) + D{s)Bl (s)]dWl (s),
					i= 1 0
где D(s) = [b°ö(s) +			Y ^*(s)](ßoß(s) + 62£)_1,				согласно кото
рому, очевидно,		t
M[б* — А?] =		t
M[б* — А?] =		J (ax (s) — D (s) Лі (s)) M[Oj — A®] ds,							(10.119)
		0

и, следовательно, M[б/ — A/] s= 0.

434

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

[ГЛ. 10

Итак, утверждение 1) леммы доказано.

Из

несмещенности Я®(МА® = МѲг)

и (10.113)

вытекает,

что

Ѵи (0 =

М [Ѳ, (/) — п,

(Z)]2 =

= М[Ѳ, (t) - Я?(t)]2 + М [А! it)}2>

М [0, (/) -

Я®(Z)]2 =

бгг (t),

что вместе с (10.118) доказывает

утверждения 2)

и 3) леммы.

Наконец,

mt (О]2 = м [(Ѳг (t) -

Уи (!) =

М [Ѳ, (t) -

А? (/)) +

(Я?(0 -

« г (*))]2 =

поскольку

= б ! , ( 0 - М [ Я г ( 0 - т , ( 0 ] 2,

М[(0г (*)-Аг (/ ))(я ?(/)- тг (/))] =

М fМ (Ѳг (t) -

Я* (0 I T lt) (я! (0 -

отг (f))] =

M [ЯІ (t) - пи tf)]2,

что

доказывает

утверждение 4),

так

как

6®г (t) -> уг. (t),

е->0.

Из леммы

10.5 вытекает,

что

при

а2(0 = 0,

Л2(0 = 0

в качестве почти оптимальной оценки Qt по

можно

вы

брать Я®, где процесс Я® вместе с

у®

определяется

из уравне

ний (10.111) и (10.110).

Если же а2{і) Ф 0, А2(£)Ф^, то по аналогии с уравнением (10.111) определим Ьг] как решение уравнения

dm] = [а0 (і) + а, (t) т] +	а2 (t) \|,] dt +
+ [{Ьо В) it) + у?Л; (Щ [(В о В) (і) +		г Щ - 1X
X [dlt -	(Л0 (/) + Л, (/) т? +	Л2 (/) у Ä], (10.120)

где т® = от0, а у® по-прежнему находится из уравнений (10.110).

Т е о р е м а	10.4. Пусть выполнены условия (10.64) — (10.67).
Тогда процесс (т]),		0 < ^ ^ Г ,	определяемый из			уравнений
(10.120) и (10.110), задает оценку вектора Ѳг по						обладаю
щую следующими свойствами:
		М т' =	МѲг,
lim	М \m](t) — m, (<)\|2 =		0,	i =	1, . . . , &,	(10.121)
E-»0	L	J
Уu (t) < M [Ѳ, (t) -		m* (t)f < y*, (0,		/ =	1..........k.

Матрица среднеквадратичных ошибок Г® = М [(Ѳг — mt) (Ѳ< — rtitf]

определяется из	уравнения
І1 =	аѣ(t) Г? + Г] (ае (t)J + S (Ь) {{)) (b\ ())	(10.122)

§	4]	ПОЧТИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР				435
с	Го = Ѵо U
О®(0 = «, (0 -		[(& ° ß) (0 + ѵИІ (0] [(ß 0 В) (t) +			е2£ ]-’ Л, (0,
b ] ( i ) - b l (t)~[(boB)(t)+^A](t)][(BoB)(t)+e2E r X						1= 1, 2.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	a2(t)=z О,	Л2(/) =	0, то, оче
видно, т< =		Хи 0 ^ . t ^ . T ,	и в	силу леммы 10.5		выполнены

свойства (10.121) оценки тгѵ Чтобы в рассматриваемом случае

вывести уравнение

(10.122),

положим V \= Q t — ku Тогда

dV*t = а

(/) V* dt +

b) (/) d r , (0

и в силу формулы Ито

I/?(к?)*=

Ео(Ио)* +

а (s) VS (Ѵ£У +

К (НУ (а*ЫГ +

У 61 (s)(&? (»))'

ds +

і—1

2 öi(s) dr, (s)

J ]£(tf(s)dr,(s))(Vl)\

t=!

(=1

Отсюда после усреднения получаем для Г, = МЕ?(у?)

уравне

ние (10.122).

а2( і ) ф 0 ,

A2(t) Ф 0.

Введем в рассмотрение

Пусть

теперь

процессы

v =

(v(),

= (!,), 0

V/ =

J [а1 (s) vs -f а2 (s) У ds,

(10.123)

[/M SK

H2(S)gs]rfs,

(10.124)

и положим

Ѳ, — Ѳ,— vt. Тогда

из

(10.62), (10.63)

(10.123),

(10.124)

найдем

ddt =

[ с (t) +

а, (t) Ѳ,] dt +

bx(t) dWi (t) +

b2(t) dW2(f),

(10.125)

d l =

[A0(t) +

Ai (t) 0,1dt +

ß, (0 rfr, (0 +

ß2 (0

(10.126)

c 0o — 00, | q— Io-

436	ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ	[ГЛ. 10
Если оценивать Qt по Ц, то согласно (10.120) (при а2(/)==0,
Л2(/) = 0) соответствующая оценка т] задается уравнением
dm] = [а0 (t) +	а, (/) т]J dt +
+ [»£() + yM; W] (В oB(t) + e2E)~l [dl - (A0(t) +		Al (t) m’) dt],
ml = mo-		(10.127)


Из	(10.123)	и (10.124) нетрудно			вывести (ср. с доказатель
ством	теоремы	10.3), что сг-алгебры			и <Г\|, 0 ^ / < 7 \ совпа
дают.	Поэтому, обозначая		mt = М (Ѳ( \| £Г&), находим,			что
mt =	M(Ot \|^ f) = M(§t +		v<\| ^ )	=	M(0t \|^ f ) + vt =	mt + vt.
Положим m] = m]-\-vt.			Тогда	mt — m] — m t — т]		и, следо

вательно, оценка mt обладает указанными свойствами (10.121).

Искомое уравнение (10.120) следует из равенства			т] — т]~\|- ѵ(
и	(10.127), (10.123) и (10.124). Уравнение (10.122)		справедливо
и	для	случая a2(t) Ф 0 , Л2 (/) Ф 0 , поскольку	0t — т] —
— Qt — mt = V) и нетрудно проверить, что МУ(У®) =
0 < t <		Т.

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7144 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ