книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

388

ФИЛЬТРАЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. 9

Следовательно,

t

M(<p(OIAß( f , S ) I X j

2 Я¥р(s) M (Ф(s) IЛѵ(s, 6)

Dflfs

0

Y Ф ß

И

< {

S

£

4

ß(s)M(cp(s)|AY(S, | ) | ) r f s <

0

ß e £

Y Ф ß

t

<

[

У M (<p (s)I Ay(s, І) I) У I 4 ß (s)

O

y e £

t

ß e £

<

2 ^cJ

21

M(<p(s)| Ap(s, |)|d s),

(9.39)

0 ß e £

где мы воспользовались тем, что

2 l 4 e ( s ) l =

2

l y&(s) +

\ l yy{s)\ =

2 \ l vy( s ) \ ^ 2 K .

ß e £

VP

ß^Y

P

Из (9.39) следует,

что

t

2 ] M{cp(/)|Ap( M ) | } < 2 / c J

2 ] M{<p(s)| A0 (s, l)\}ds.

ß <= £

0

ß<=E

Согласно лемме 4.13 отсюда вытекает, что 2

M{qp(OI Лр(^, |) (}=0.

Но Р {ф(/) >

0} = 1,

значит, Р { |

Др(*, |) | >

0} = 0.

§ и

УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

389

Р [it е= В,

(/) е Лр, ß е= Е

| Ft} =

=

Я р(0^

Л р, ß e ^ ] | s, Яр(s), ß e £ } . (9.41)

«У (U s) =

Р (Ѳ, = ß i F \,

Ѳ, = а),

(9.42)

где

Ясно,

что если ра(0 )= 1 , то caßa(^, 0) =

яр(0,

причем яа(0) =

ра(0) = 1

и Яр(0)==0 при всех ß Ф а.

Т е о р е м а

9.3. Пусть

выполнены

условия леммы

9.1 и

у исходного процесса Ѳ,

и удовлетворяющий условию

0“ = а.

Поэтому, в частности,

P{Ot =

ß | 0 s =

ct} = P { 0 “ =

ß},

t > s .

(9.46)

Пусть,

далее,

0 ^

и ^

Т, — случайный

процесс

такой,

что

и при

и >

S

1{и ' Ч) = 1и>

« < s-

(9-47)

Ч)

= h +

I А0 К

Ь{а’*S)) dv + ! Вѵ

Ч)) dWv. (9.48)

S

S

Р {І, < У IѲ, = а, $ = Р jgje*^ < у).

(9.49)

St = Qt fé . ѲІ. О

(Р-п. И.).

(9.50)

‘ lSe,6“) =

Q<f e

(0“t

Wi]-

(9-51)

Из (9.49), (9.50), независимости процессов 0 и If, марко­

вости процесса 0 и (9.46) следует, что

р (!«< 4 К =«. Й= * 8 = Р (Q,(С

о

< *| Ѳ,= а, sS=*2] -

- р (<з,«

. в;,

к ) < ц

<>,=«,

е = < ] =

=

Р [Q, (4 . в;,

< ) <

* I е, -

а] =

Р (Q, 05, ( e t .

ІЦ) < X).

Вместе

с (9.51) это и доказывает

(9.49).

§2]

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

393

§ 21

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

395

Пусть R (s, t) — II paß (s,

t) II,

Матрица R (s, t) является

фундаментальной: R(s,

s) — единичная матрица, и

dR (s, t)

R(s,

t)C(t,

со),

(9.71)

dt

где C (t,

со) — матрица

с элементами

^aa (о

(t)

—

2

^YO (t) Яѵ (О

Пт У, И) =

----------

у е £

5ta (0

>-aß(0 ла (0

caß (^. w) —

«b(0

являющимися Р-п. н.

непрерывными

функциями,

поскольку

лѵ(0, Лѵа(^) (у, а(=Е)

непрерывны по /, а множество Е конечно.

Если

s < и < t, то

в силу свойств фундаментальных матриц

R(s,

t) =

R(s,

и) R (и,

t).

Поскольку матрица R(s, и) (Р-п. н.) невырождена,

R(u,

t) = R~l (s,

и) R(s,

t).

(9.72)

Из (9.71) и очевидного тождества

° =

-^ -U (s ,

u)R-'(s,

и))

следует,

что

д R 1(s,

и )=

~

С (и,

а>) R

1(s, и).

Поэтому

ди

___ д_

u)R(s, О —

ди R {и, t) — ~ R ~ l {s,

— С (и, со) R

1(s,

и) R (s, t) — С (и,

со) R (и, t)

и, следовательно (при

s <

t),

уравнения (9.65).

Если

в (9.1) коэффициенты At (Qt, I)

не за­

З а м е ч а н и е .

висят от Ѳ*, то рар (5, t) =

Р (Ѳ5

= a IѲ/ =

ß, &~})=P (0s= a 10 f= ß )=

= paß (s, t). При

этом если

множество Е конечно и Pß(0)>0,

ß e £ , то

дРаЪ(«. *) = Ра (S) Й

Pa ß i s ’ О

Paßt3’ V и Pais)-

(9.73)

ds

Ра (s)

Ра Н)

396

ФИЛЬТРАЦИЯ

МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ.

9

§ 3. Уравнения оптимальной нелинейной экстраполяции

1. Для

обозначим

Яр(/, s) =

p(0/ =

ß |0 l) ,

Знание этих вероятностей позволяет решать разнообразные

задачи,

связанные с прогнозированием значений Ѳ( по наблю­

дениям

^ = = { |ц,

Так,

если

МѲ, < оо,

то

2

ßnß(/,

s)

является

оптимальной (в среднеквадратическом

ß^E

оцен­

смысле)

кой Ѳ, по I*.

яр(£, s)

Для

вероятностей

можно

получать уравнения как

по t (при фиксированном s), так и по s (при фиксированном /).

Первые

из

этих

уравнений (которые естественно назвать пря­

мыми уравнениями) дают возможность понять, как ухудшается

прогноз

значений

Ѳг

по

когда t растет. Из уравнений

по

s

(t

фиксировано)

можно судить о степени улучшения

прогноза

значений 0* с ростом «числа наблюдений» (т. е. при

s f t).

9.1

2.

Т е о р е м а

9.6.

Пусть

выполнены

условия

леммы

и предположения

(9.2) — (9.6).

Тогда для каждого фиксирован­

ного s условные

вероятности {яр(?, s),

t ^ s ,

ß е

Е) удовлетво­

ряют (прямым) уравнениям

t

Яр(Т s) =

Hp(s)+

I

й*Яр(«, s)du,

(9.74)

где

S

2*яR(u,

s)—

2

XY|3 (ü) яѵ (и,

s)

(в

Система

уравнений

(9.74)

имеет

единственное

решение

классе

неотрицательных

непрерывных

решений)

xß(t,

s)

С SUp 2

Хп (t, s)

< оо (Р-п. н.).

ß

1

s),

s ^ . t ,

ß е

При фиксированном t условные вероятности {яр(/,

Е} допускают представление

t

яр(*’ s) =

Яр (t, 0 ) + І

Д73(g){>]

pßY(C

и)я ѵ (и)

(y,

g) —

О

уе^Е

-

2

Аа (у, I) яѵ (и)] } \diu-

2 Аа (у,

ю Я ѵ (и) du] .

(9.75)

Y

J

J L

Y

V

J

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для вывода уравнений (9.74)

восполь­

зуемся тем, что при

t ^ s

nß(t, s) =

P(0<=

ß |5 r|) =

M[P(0, =

ß |^ 6 ) |^ 6 ] ==

= М [я„(*)|іГ|]

(9.76)