Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 7130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

§ 2)	ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА	287
	До к а з а т е л ь с т в о . В силу условия Р I J as2{W)ds <	оо )= {
	Р (т (W ) = оо) = 1.

Условие же Р И a2(\|)ds < оо I = 1, вообще				говоря,
полнено, а потому Р(т(£) = оо) ^		1. Из условия Р (т„ (\|) >
п — 1, 2, . . . , следует лишь,	что Р (т(\|) >		0) =	1.
Обозначим
X(tB>(*) =	X,	<	,
	j*:	I a2(jc)ds<n

«(в)(х) = at {х) х(/*> (х).

Положим также

а<») (|)ds + r t.

Поскольку = l t (Р-п. н.) при 0 < / < Тп (I), то

не вы

0) = 1,

р ^ J (і) ds = j ’ < > (!<«)) rfs, 0 < / < r j = 1,

и, следовательно,

d |(tn) = а<») (|W) <Д + <ИГг, g(*> = 0.

Ясно, что

	/ 7	(aW(ir))2ds <	X	l,
	Р	(aW(ir))2ds <	ooj =	l,
	Р ( J (a<,rt) (£M))2ds <		oo^ =	1.
Поэтому по теореме 7.7 ц£(П)~ ц ^ и
d\i 5<">	(*. l (n)) = exp j — /	«Г (\|(в) d£<B) +	4 {	(а<»> (\|W))2 ds [. (7.	41)
	Ц> £Ѵ'Ц схр )				41)

Обозначим

P(tn) (x) : dp Z_ (*» *)•

288 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

Тогда, если	то
Цѵр (А) = lim p w {А Л (т(п) (х) = оо)} =
= lim ЛП(тпJ(х)=оо)	(.v) = lim Л Л ( т л J(х )= о о ) pW (x)

[ГЛ. 7

(x) =

= 1іш

(a) /W (x ) d p . (*).

Покажем,

что

условие

P ^ J u ; ( W ) d s <

ooJj =

обеспечивает

равномерную интегрируемость

семейства

величин {p^ (s) Xj*(s)>

n =

1, 2, ...}.

Для всякого N >

1 имеем

p f i W t f (l)dP (а>) =

Х^)(і)>а}

Prt)(*)X?’WrfpJrt)(x)<i

(ш;

Я)J

(x:

p f (X) Xj?) (X) > A’j

{*: pW (л:)i f

(x) >

N} <

p v {x:

p f (x) > N } =

= P

■j aW (Г)

-i J («w (r ))2Js >

ln iV

< P

ln N

+ 2Р j J (aw

«w (1Г)

+ p

(aW (U7))2ds > lnI N \ <

(r))2rfs >

ln N

ln4оN ~h 2P JJ* aj(W)ds >

ln./vj ,

(7.42)

где

использована оценка

f aW ( W ) d W s

+ P

J (aW (W))2 d s > ln N

(см. лемму 4.6).

§ 2]	ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИНА	289
	ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИНА

Поскольку р| J a2s (W) ds <

ooj =

то

из

(7.42)

вытекает,

что

последовательность

величин

{р<?> (|)

1(I),

п =

1, 2,

...}

равномерно интегрируема.

Рассмотрим

величины

г ,

) ехр

“

№ d w *

i j

(“Г Щ 2 d l

|ja^(l)ds<n|

Из результатов

п. 9

§ 2

гл.

следует,

что существует

Гт (<* (і)) =

Р-Hm X ft

f a(sn)(І) dWs.

{ / а , 2 ( 6 ) Л < »

Поэтому согласно замечанию 1 к теореме 1.3

lim

[ pW (x)

(x) du . (x) —

9 f (I) %t ]' (I)dP (®)

Pr (a (£)) dP (w),

— lim

{»: I (oo) <= A)

(m: £ (и) s A]

где

pr (I) =

exp

Следовательно,

1 V < ІД И

(£) = exp

- r

( a ( | ) ) -

(l)ds

(7.43)

Докажем

теперь

утверждение

«Ф=».

Пусть

Рассмотрим

производную pt (|) =

(t,

l),

t ^ . T .

Поскольку a-алгебры

совпадают, то существует

^■f-измеримая функция pt {W) такая,

что pt(117) =

р( (|)

(Р-п. н.),

f < Г .

является

неотрицательным мар

Процесс (рД|), ^ |) , t ^ T ,

тингалом.

Следовательно,

таким же

свойством

обладает

Ю Р . Ш. Липцер, А. Н. Ширяев

290 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЁР [ГЛ. 7

процесс (pt(H7), SFJ),

t ^ . T .

По

теореме

5.7 найдется процесс

Y ~ (ъ (W), @~Y), t <

Т,

f t (W)dt < ™ j =

такой, что

Р-п. н.

P , W = 1

\ y s(W)dWs.

(7.44)

Согласно теореме

6.2 процесс

W — (Wt->

t ^

Т,

w t =

Wt -

J ßs(IT) ds,

ßs (W) =

ps+ (Г) Ys(Г),

(7.45)

рассматриваемый

на

(Q, P),

P (da>) = pT {W (со)) P (da>), является

винеровским.

При этом

ß2(H7)rfs< ooj =

(7.46)

Положим

ßs (g) =

p +

(g) Ys (E),

Ys (£) ^

Ys W -

Тогда

Р-п. h .

ßs (І) = ßs ІЮ,

s ^ T .

Поэтому из (7.45) и уравнения

h =

J4(É )ds-H F ,

(7.47)

следует, что

i t =

J [as (£)

ßä (£)] ds.

(7.48)

Процесс (lt, @~Y),

t ^ T ,

рассматриваемый на (Q,

P),

также

является винеровским,

поскольку SF\ = 5FY и

Р ( ^ Г ) =

Pr (I (©)) dP (со) =

J ^

(Г, л:) d ^ (х ) =

n w (Г).

{и: І ( ю ) е = Г }

Следовательно,

процесс (Wt — %t,

@~f), t ^ T ,

является квад

ратично интегрируемым мартингалом и в силу (7.48) и леммы 7.1

щ (g) = — ßs (g)		Р-п. н. при почти всех s<[7\ Поэтому
Р	a \ { W ) d t <	ooj==P	а*(\|)й /< 0 о^=.

= p (J ß ? ® ^ < ° ° ) = p ( j Р ? ( Г ) Л < « ^ = 1,

что и доказывает утверждение «#= ».

§ 2]

ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

291

5. Т е о р е м а

7.9. Пусть

l =

3Ft),

t ^ T ,

— процесс

д и ф

фузионного

типа

d l ^ a ^ D d t

+ dWt,

£0 =

О,

(7.49)

где Р ^ J I a t (l) \dt

° о j =

Р ^ J a ) { W ) d t

< о о j =

1, и

в ы п о л

нены

пр едло ж ен и я

теоремы

7.8.

Тогда процесс

р, (£) =

du,у.

it, Q,

t ^ T ,

является

единствен-

-,—

а Р і

ным

р е ш е н и е м

у р а в н е н и я

P t ( i ) = l -

Jps (S K (S W

(Р-п. н.),

(7.50)

dp w (t,

Г) =

ехр^~ j

as(W)dWs +

J a2(r )d sj

(Р-п. h .),

(7.51)

dp. I

(t,

g) =

exp(

— ГДа(|))— g- j

as ( l ) d s

]

(Р-п. h .),

(7.52)

J а2(Юd s <

oo') =

Mexp|,|

as ( W ) d W s -

j a0- ( W )d s ^ j .

(7.53)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Представление

(7.52)

было доказано

в предшествующей теореме (см. (7.43)). Формула (7.51)

следует

из (7.52) и леммы 4.10,

если только заметить,

что

P-lim г ,

} ехр1~

(S)

( a f

(I))2 d s j

I С 2(1) ds < °°1

' 0

/ 1 t

exp I	d s
j J <*$(5) äs < ooj
что в предположении P ^J a?s ( W ) d s <	ooj== 1
t

T t { a { W ) ) ^ \ a s { W ) d W r

10*


	АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР			(ГЛ. 7
292 Равенство (7.53) устанавливается точно так же,				как и (7.30)
в теореме 7.6. Справедливость			уравнения (7.50) доказывается
так же, как и в лемме 6.3.		в	дальнейшем задачах последова
6.	В рассматриваемых
тельного	оценивания (гл. 17,	§§	5, 6) возникает вопрос об абсо

лютной непрерывности мер, отвечающих процессам диффузион ного типа в случае, когда длительность наблюдения (Т) является

случайной величиной.

непрерывных

на [0, оо) функ

Пусть

(С, 38) — пространство

ций x — (xt),

t ^ O ,

х0 — 0,

tSt — a{x:

xs>

и a = ax — мар

ковский момент относительно системы (38J),

t ^ O .

имеет диф

Будем предполагать,

что процесс g =

(g/),

ференциал

dtt =

at(l)dt + dWt,

Іо =

(7.54)

причем РІ J

I а, (|) | dt

оо I =

Через

Ц0і ^

обозначим

сужения

■о

мер щ и

на ст-алгебре $ а.

Т е о р е м а 7.10.

Если Р ^

Ш ds <

ооj =

1, то р0 ? <С

< На. U7 “

a2(W)dt < оо

M exp

- J

а]{l)dt

где

aw—•<%(ffl)> °l —

(7.55)

2) Если

°6

a2( l ) d t < o o

U p M

a ) { W ) d t <

==l,

Vo, l ~

W U К

W'n - H-)

°lwV

(

% ( W ) d V ~ X j

a U V ] d s \ (7.56)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

5 ,( * ) =

a , ( * ) x {t< 0 ^ ,

(7.57)

§ 21 ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА 293

и пусть

I	It, t < Ol,		(7.58)
l , = j	Ц + І ^ - ^ І .	‘ > o v

T. e. I<=JtAal M i) d s + W t.

Нетрудно заметить, что

d l t = щ (!) dt + rfWV

(7.59)

Согласно сделанному предположению

и,	следовательно,
			P^Jä*( I ) ds<ooj ==l .								(7.60)
	Поэтому по теореме 7.5 (с				Т = оо)		р\| <с n w и
	ОО		\	/		ОО				оо
	(J ä){W )dt < оо I =			МехрІ	—	[		—		ö.]{Qdt
	0		J	\		о				о	(7.61)
											(7.61)
	Но (іа_6(Л) =		р,\|(Л) и ]iatW(A) =			\iw {Ä) на множествах					,
Значит,		£ <	IV w и (7.55) следует из (7.61)						и	(7.57).
	Аналогичным образом из теоремы 7.7 выводится утвержде
ние об эквивалентности мер р.а £ и							ѵ ,		а	также	и фор
мула (7.56).			U7 — (Wt, SFt),		0 < Л ^ 7 \ — n-мерный винеровский
	7.	Пусть	U7 — (Wt, SFt),		0 < Л ^ 7 \ — n-мерный винеровский
процесс,		Wt = {Wx(t)........ Wn (t)),			и	g, =	(gi(*)........... \|„(0) — про
цесс с дифференциалом
			d l t = at {l)dt + dW t,				Іо =	0,
где	щ (X) — (a, (t , х), .. . ,			ап (t , я)) — вектор				из	неупреждающих

функционалов.

Теоремы 7.5—7.10 допускают обобщение и на рассматри ваемый многомерный случай. Все формулировки остаются преж^ ними, с заменой лиши o?t {x) на a*f (x)at (x). Так, например,

294	АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР	(ГЛ. 7

многомерный аналог утверждения (7.19) теоремы 7.5 формули руется следующим образом:

p ( j at {l)at {l)dt < ooj = 14фц£ < nw.

(7.62)

§ 3. Структура процессов, мера которых абсолютно непрерывна относительно винеровской меры

Если l — dt,	3~і),	есть процесс		диффузионного
типа с дифференциалом
	d l t = at (l)dt +	dW t,	\|о = °.	(7.63)
то согласно теореме 7.5 условие Р ^J аJ(£) dt <				oo^J = 1 является
необходимым и	достаточным для того,		чтобы ц* <С p w. В на

стоящем параграфе будет установлено, что если некоторый случайный процесс £ = (£*, &~t), 0<Д г^7\ таков, что его мера щ

абсолютно непрерывна относительно винеровской меры ц^, то

этот процесс		есть	процесс диффузионного типа.						Более точно,
имеет место следующее утверждение.
Т е о р е ма		7.11.	Пусть на полном вероятностном простран
стве (Q, Н~, Р) заданы неубывающее семейство а-подалгебр
	случайный процесс i = (g<,						t)	м винеровский процесс
W = (Wt,@~t),					такие, что щ -С ц^.
Тогда	найдутся		винеровский процесс W = {Wt,						и неупре
ждающий	процесс		а — (at (x),			3ât+),		такие, что
			t
			{ öi(i)rfs+ Wt				(P-п. H .),		(7.64)
			0
			P	^	aJ] { \ ) d s < o o j=			1.	(7.65)
Если, кроме		того, щ ~			ц^,	то и
			'	т
			Р	J	(W) ds < оо		=	1.	(7.66)
				о
Д о к а з а т е л ь с т в о .					По предположению Ц\| <				n w. Обозна-
/ ■		s (t ,	х).	Процесс $ = (it (W),				@~f') является неотри
чим ^ (х)	=	s (t ,	х).	Процесс $ = (it (W),				@~f') является неотри
цательным мартингалом					с	(И?') = 1,	и согласно теореме 5.7

§ 3] СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ 295

существует процесс у — (yt (со),	с
такой, что Р-п. н.
t
о	О< t < Т.	(7.67)
о
Рассмотрим новое вероятностное	пространство (ü,	, Р)

с dP (со) = $т(W (со))dP (со) и определим на нем случайный про

цесс W = { W u	F T )	с	t
			t
		Wt = W t -	J aAW) ds ,
			о
где функционал a =		(as(x), <%s+) таков*), что Р-п. н. для почти
всех	cxs(U7) == ^(1^)ys(co).				Согласно теореме	6.2
процесс W =	{Wt, & ~ Y ) , O ^ t ^ T ,			является винеровским,		при
чем Р ^ J as ($0 d s <		°°^ = 1	(см.	п. 3	§ 3 гл. 6).
Заметим теперь,		что щ (Л) == Р (W е Л), поскольку
Р (W е Л) =	J	iT (W (со)) dP (со) =			J іт (х) d\xw (х) = щ (А).
	{со: WezA)				А
Поэтому

= Р j CXJ (W) ds < оо = 1, (7.68)

что позволяет определить	процесс	О
	і
Wt = lt ~	I as{l)ds,

Процесс W = (Wt, рассматриваемый на (Q, Т , Р), является

винеровским, что показывается так же, как и в теореме 7.5. Итак, утверждения (7.64), (7.65) теоремы доказаны. Утвер ждение (7.66) следует из эквивалентности мер и n w и ра

венства (7.65).

*) Существование такого функционала следует из леммы 4.9.

296			АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР					[ГЛ. 7
З а м е ч а н и е			1. Из доказанной теоремы вытекает, что если
процесс	! = (£<)‘F <) таков,				что	его мера щ абсолютно непре
рывна относительно винеровской,							то этот процесс необходимо
является слабым решением уравнения типа (7.63).
З а м е ч а н и е			2. Если		щ ~	ц^, то из теорем 7.7 и 7.11
следует,	что	существует			неупреждающий функционал			а =
==(а,(х), &t+),		O	^ t ^ T ,	такой,		что плотности
			dH	(t,	W)	и	dH (t, l)
			dllw				d\xw

могут быть найдены по формулам (7.37) и (7.38).

§ 4. Представление процессов Ито в виде процессов диффузионного типа. Обновляющие (innovation) процессы. Структура функционалов от процессов Ито

1. Как		показано в § 1 (теорема 7.2),						для	процессов	Ито
£— (!*, STt),		OsS^s^r,		с дифференциалом
			dlt =	h(a>)dt + dWt,			b = 0,		(7.69)
условие P^J Р?(ю) dt <				ooj =		I обеспечивает абсолютную непре
рывность	меры		р\| по	винеровской мере \iw. Однако явную
формулу	для плотности				d\iс	получить,		вообще говоря,		не

удается.				если процесс \|			является		процессом диф
С другой стороны,
фузионного		типа (ß,(co) =			аД£ (со))), то согласно теореме 7.6					для
плотностей		d(it	можно		дать	простые выражения (см. (7.29) и
		,
		йРѵр,

(7.30)). Точно так же структура функционалов от процессов диффузионного типа исследована достаточно подробно (§ 6 гл. 5). Непосредственное же изучение функционалов от процессов Ито является весьма трудной задачей.

В связи с этим возникает вопрос: а нельзя ли представить процесс Ито в виде процесса диффузионного типа (правда, быть может, по отношению к другому винеровскому процессу)?

Положительный ответ на этот вопрос содержится в ниже следующей теореме, в которой описывается также структура функционалов от процессов Ито.

Т е о р е м а 7.12.	Пусть	=	@~t), t< ^T,	— процесс Ито
с дифференциалом	(7.69), где
	т			(7.70)
	j М ]	ßf(cd) I	< oo.	(7.70)
	о

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 7130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ