Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 7129 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

§ 2]

ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

277

Тогда если

(7.14)

(7.15)

то

Р-л. н.

(Ю= м

exp

ßt d \ t

ßft d t

(7.16)

J t u bt

Т е о р е м а

7.4.

Пусть

%—

— п-мерный

процесс Ито,

%t =

. . . ,

£n(t)),

с дифференциалом

d \t = $t d t - \ - d W t,

£o — 0»

$ $,

t d t <

ooj=l.

Т огда

p^ <

p^,.

§ 2. Процессы диффузионного типа. Абсолютная

непрерывность их мер относительно винеровской

Пусть

W = {Wt,£Tt),

O s ^ s ^ r , — винеровский

процесс,

заданный

на

вероятностном пространстве

(Q, У , Р)

выде

ленным в нем семейством о-подалгебр

(|(,

0 ^ t ^ Т.

диф

Рассмотрим случайный процесс | =

t), 0 ^ . t ^ T ,

фузионного

типа *)

с дифференциалом

dlt =

at (l)dt + dWu

Іо — 0,

(7.17)

где неупреждающий процесс а = {щ (х), Tßt+)> заданный

на (С^,

J r), таков,

что

p ( j K ( i ) l ^ < o o j

(7.18)

Согласно

теореме

7.2 условие

а] (g) d t < ооj=

1 обе

спечивает абсолютную непрерывность меры р^ по винеровской

*) См. определение 7 в § 2 гл. 4

278

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 7

мере pw. Оказывается, что для процесса диффузионного типа это условие не только достаточно, но и необходимо.

Т е о р е м а 7.5. Пусть %= {%, ЗГt), 0 < t < Т, — процесс диф фузионного типа с дифференциалом (7.17). Тогда

Р ( j a2t (l)dt< 00] = 1 &		(7.19)
'0	/
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Утверждение «гф »	следует из тео

ремы 7.2. Для доказательства обратного утверждения обозна-

d\i.

х), 0 < Д г^Г .

Покажем,

что

процесс

$ —

чим йДх) = -т—:~{t,

= (5ДЦ7), @~У),

0 < * < Г ,

является мартингалом.

Пусть s < t

и l ( W ) — ограниченная

17~Г-измеримая случай

ная величина. Тогда

M l (W) ы (W) =

I Я, (X)

(t, X) d p w (X) =

л(x) dpt' g (x) =

J l

(x) dys l (x) =

j l

(x)

(x) d\is w (x),

откуда

получаем M (д {W)\ @~J) — ls {W)

(P-п. h.),

t > s.

Применим к мартингалу

^ =

(^(\F),

тео

рему 5.7. Согласно этой теореме найдется процесс

Y =

(Vf

(co),PJ),

< 7

| ѵ ? ( о ) Л

< o

такой,

что для

каждого

Р-п. н.

h(W)=\

Jys{ei)dWs.

При этом

процесс

fo(W),

0 ^ / ^ Г ,

является

непрерывным

с вероятностью

Рассмотрим теперь на вероятностном пространстве (Q, £Г, Р) с dp (со) = іт(со)dP (со) случайный процесс W = (Wt, 5r f))

< / < 7 \ с

t
w t = \Vt — J Bs(w)ds,	(7.21)

§ 21

ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

279

где Д.(со) = (ф(Ц7) Ys (®)- По теореме 6.2 этот процесс является

винеровским. При доказательстве этой теоремы было показано также, что

Р I I B2S(м) ds < оо j = 1.

(7.22)

Согласно лемме 4.9	найдется такой функционал ß = (ßs (;e), â$s+),
что для почти всех	(Р-п. и.)

ßsN = ßs(^H ),

а следовательно,
Wt = W t ~	j ßs(W)äs,	Р-п.	и.
В силу (7.22)
Р J ß l ( W ) d s < 00 = 1.
Из этого равенства и предположения		-С	следует, что
p ( j ß	s2 ( Z ) d s < o o )	= l.	(7.23)

Действительно,

Р ( J ß^(g)rfs < °°) = Ц| \х: I ß](x)dt < оо I =

= j Xf г	(х)dnl (x) = j		%, Т		,(x)iT(x)d[iw (x)
J	ßj М dt < оо j.	J	IJ	^ ( x ) d t <	оо
іи
	MXf т	(W)lT(W) = P j			ß2(r)ds < OO = 1 .
	j (?t ( W ) d t	< OO
	lo	i
Определим теперь на вероятностном пространстве (Q, £Г, Р)
процесс	W = (Wt (l),	0 < П ^ Г ,		полагая

Wt (х) = x t - \ ß, (х) ds, X «= Ст.

(7.24)

280	АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР	[ГЛ. I
280

Этот процесс при х = £ является винеровским. В самом деле, пусть X = h(l) — ограниченная ^-измеримая случайная вели

чина. Тогда

М	Ч		і	= I К{х)еіг^ і (х)~ ® ^				dH (x) =
	=	I X{x)eiz^ ‘ix)- ^			{x\ ( x ) d i i w {x) =
	=		k(W) еіг if r f s]jr (W) dP =				МЛ{W) eiz I			=
		М{Л(W) M \eiz			I g -s] } =		МЛ (W) e~T (i~a) =
	— J				I g -s] } =		МЛ (W) e~T (i~a) =
				= e ' ~ (t~S) Л (Г) t			(W) dP =		e~T	(' “в)МЯ (\|).
		стороны,
С другой		МЛ(I) еіг [<-*] == M I(Л(I) М [ei						z	\| ^ l]} ,
и,	следовательно,
				Mleiz(Wt-$s)\3rl] =		e ~ ^ it~s\
Из	(7.18)	и (7.24)		получаем	t
					t
			w t (i) ~ w t =		j [а, (I) -	ßs(%)]ds,				(7.25)
					о
где {Wt, F fj и (Wt, ^ f),					— два винеровских процесса.
Значит, с		одной		стороны,	процесс	(Wt — Wt, £Ff),				0 t ^ T ,

является квадратично интегрируемым мартингалом, с другой стороны, он имеет специальный вид (7.25). Из приводимой

ниже леммы вытекает, что в таком случае Wt — Wt = 0 (Р-п. н.)

для всех t,	0
Л е м м а	7.1. Пусть т\ = (ЦиЗГі)>					— квадратично
интегрируемый мартингал,			допускающий		представление
			t
		% = j	f s d s ,	Р-п. и.,		(7.26)
		о
где неупреждающий процесс f — ( f s , @~s),					0 ^	s ^ T , таков, что
P^Jl/s4s<°°j		= l- Тогда с вероятностью 1 ^ — 0 для почти
		= l- Тогда с вероятностью 1 ^ — 0 для почти
всех t, 0 ^ t	Т,

§ %		ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА							281
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	тЛ =	іп{ ^	<	Г:	j \ f s \d s ^ s N j
		т
и Тдг =	Т, если	11 fs I ds < N. Обозначим				= х		и	=
t	о						*
t
= j X{sN)fsds-
Процесс « > ,		g-W), 0 < f < 7 \		с	=			будет квад
ратично	интегрируемым		мартингалом		(теорема		3.6), и поэтому

где 0 =	t0< ...	< tn — t		и ша’х\| tJ+l — tj (—> 0, п->оо.
Поскольку					‘/•и
					‘/•и
			— < >==J
то
	я - 1 / * І + і
М (тf >)2 = Jim S		М ^	J	4'V,/S	j <
			^/+1		и—1(/+1
<	ііш М	.max	J		J x f > \| M rfs
	П -> оо		t,		/=о tj
				4 +1	r

--Hm М

«- » О О

J	X<w)\| / S \| d s J x < w \| f s <\|r fs

^+i

			<	W lim М		max	f	x f ’ l / s l ^
				«-»00	/<«- І		У
	‘/+1
Но max	J	%[^\fs \ d s ^ . N и		при п-»оо с			вероятностью 1
стремится	*і		Следовательно,		t			и п о лемме
стремится			Следовательно,		t
Фату	к	нулю.			M( ])W))2 =		0
		Мт)\| = М ( Пт тір)2 < lim			М hftN)f =		0.
			ІѴ-»оо			'

282

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 1

Лемма доказана.

7.5.

Поскольку

Вернемся теперь к доказательству теоремы

Wt — Wt =

(Р-п. н.) для всех t,

0 ^ . t ^ . T ,

то из

представле

ния

(7.25)

леммы

7.1 следует,

что as (£) =

ßÄ(|)

Р-п. н. для

почти всех s, Q ^ s ^ T . Но согласно (7.23) Р I J

(£) ds <

оо J = 1.

Поэтому и Р ^ J*

a?(l)ds< ooj =

что

завершает

доказа

тельство теоремы 7.5.

Согласно теореме 7.5

в случае процессов диффузионного

/ г

типа

условие

P|^J a1iQdt <

00J = 1

является

необходи мым и

достаточным для

абсолютной непрерывности меры

по мере p w.

Займемся теперь

изучением

процессов

itЛ)

k (W):

it, W).

dfx

Т е о р е м а

7.6. Пусть g =

@~t),

0 ^

t ^

T, — процесс диф

фузионного

типа с

dlt = at Ü)dt + dWt,

|о =

(7.27)

Тогда, если P ^ J с^(£)dt < ooj == 1, то процесс %t iW),

является единственным решением уравнения

	а*0П=1 + JSsWasiW)dWs,									(7.28)
dH	it,	W) — exp Г((a (W))	2	оJ	a2(W)rfs		P-п. H.,			(7.29)
d]iw			2	оJ		" s '		h .	,
	i t ,					a2s H)ds \|	Р-п.			(7.30)
d ^w		i) = exp\| ^ as(£)tf\|s —		-j	I
t							t
P I I	a2(W)ds < oo j = Mexp( -			\|	a3(l)dWs —		a2sil)ds ).
ü				0			0			(7.31)
										(7.31)

§ 2]

ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

283

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

первого

утвер

ждения прежде всего покажем,

что процесс lt (W),

t ^ T ,

таков,

что Р

' ^

= 1.

этой

целью,

используя

($ Д Г К (Г ))2^ < о о |

обозначения, принятые при доказательстве

теоремы

7.5,

уста

новим

сначала,

что Р-п.

н.

для почти

каждого

(7.32)

Заметим, во-первых,

что,

как

показано

теореме

7.5,

Р (txs(£,)=7^=ßs Ш )=0 Для почти всех s<T . Во-вторых, Р

(|)= 0 )= 0 ,

S ^ r ,

поскольку

Р (*, (£) = 0) = ü6 (*:

(X) -

0) =

M(s (W) %[ism=0} = 0.

Следовательно,

0 =

(8s(*)[aÄM

ßs (*)] ^

0) =

2C^s(U7) [as (Г)-Р5(\Г)]^=0}>

что и доказывает (7.32).

(W) ys(W).

Далее, по

определению

ßs(№) =

Поэтому

%s(W)as (W7) = ^ ( W7) ^ ( W7)VS (Ю (Р-п- н.)

для почти всех

Р ( J(]s(W)as(W W ds< оо ] =

\о

= Р

{i3(W)i+(W)ys { W )fd s< ° ° ) > Р

( j Y ? W ^ < o o j

Итак, Р J {is {W)as(W))2ds < оо = 1 и, следовательно, опре

делен стохастический		интеграл j $s(W) as (W) dWs
Покажем, что Р-п.		н.
	t			(7.33)
1 + I	5s (W) as (W) dWs = 1 + J		Y, (W) dWs	(7.33)
Согласно (7.20)	1 +	J \ s ( W ) ds — l t { W ) .	Поскольку	процесс

(sf(W7)> ^~f). 0 ^ ^ ^ 7 ’, является неотрицательным мартингалом,

284 АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР [ГЛ. 7

то Р-п.	н.	it (W) = 0 при			т,	где
			г	inf ( / < Г :		it =	0),
		т	j	оо,	inf	it >	0.
			I		t < T
По определению					t
		1			t	Js (IF) j+ (IF) ys OF) dWs,
1	+	J is (Ю as(IF) dWs = 1 +			/	Js (IF) j+ (IF) ys OF) dWs,
	6				о
и, следовательно, при			T '^ x '^ - t равенство (7.33) выполнено
Р-п. н.	и,	в частности,	при х ^ Т
			Т

1 + { a , ( ^ K ( w w , = o .

При T '^ t'^ - x обе части (7.33) равны нулю.

Из (7.33) и (7.20) вытекает теперь справедливость уравне ния (7.28).

Для доказательства утверждений (7.29) и (7.30) восполь зуемся леммой 6.2, согласно которой процесс g*(lF), t ^ T , рассматриваемый как решение уравнения (7.28), может быть представлен в виде (7.29). Формула (7.30) следует из (7.29) и

леммы 4.10, если заметить, что Р ^ J а\ (|) ds < ооj = 1.

Чтобы теперь доказать (7.31), заметим, что в силу (7.27)

С другой стороны,

M tf-ш = ItJ (х)It (X) dpw (х) =

= Vw{х: It (х) > 0} = Р (W) > 0). (7.35)

Ңо согласно (7.29)
/	*
Р(5Д Г )> 0 ) = Р (J	a?s(W )ds<

§ 21 ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА 285

что вместе с (7.34) и (7.35) приводит к доказательству требуе

мого равенства (7.31).
Теорема доказана.	— процесс
3. Т е о р е м а 7.7. Пусть \| = (£„ t),	— процесс
диффузионного типа с дифференциалом

d l t = at (l)dt +	d W f,		£о = 0,
Тогда
т
Р I J a ] ( l ) d t <		оо] = 1,
\о			/
			ir
Р I j аl(W) d t <		oo"j = l
При этом Р-п. н.
/	*		1

%Г(І. W)=expl f as(W)dWs- { f a * ( W ) d s

(7.36)

(7.37)

dls +

(t,

Ю=

ехр

<*’ (!) ds

(7.38)

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

«=^». По теореме 7.5

из

условия Р

d t

j*с» =(І)

1 получаем,

что

цр.

Из

теоремы

7.6

следует

представление

(7.37),

поскольку

Р (J

a ] ( W ) d t < ooj =

и, значит,

1^(0(117)) =

<хДW )dW r

В силу условия Р I

(Ц7) ds < оо J=

O.AW) dW s

< оо

(см. замечание 7 в п. 3

гл. 4),

поэтому из (7.37)

вытекает,

что

( г-

ѵ\

n 1

Тогда

по лемме

6.8 n w <C

M'W'jV w [ x : Turfjn-

(*)=

0 [ =

производная

т-i

(X)

(x)

d\i w

что вместе с (7.37) и леммой 4.10 дает представление (7.38),

286

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР

[ГЛ. 1

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

«4=»- Если р^^р^,

то по теореме 7.5 р |

J с^(|) dt <

оо j = l .

Но поскольку р ^ р ^,,

то тогда,

очевидно,

и Р |

а] ( W) dt <

о о

= 1 .

Теорема доказана.

обеспеч

В настоящем пункте будут изучаться условия,

вающие абсолютную непрерывность меры р^

по мере р..

Предварительно

введем

следующее

обозначение.

Пусть

а = (аДх), &t),

2, ...

— неупреждающий

процесс

для

каждого п — 1,

inf

/ <

Г: J а* (х) ds ^

Tn (х) =

•оо, j

если

Jта\ (%) <

п,

х{х) — lim т„ (х).

/7 -> оо

Т е о р е ма

7.8. Пусть

| =

(g„

STt),

t ^ T

, — процесс

диффу

зионного

типа

с дифференциалом

dlt =

Щ (I) dt + dW t,

go =

О,

причем

P ( J | a , f è ) | d * < ° °

Р (т„(|) >

0) =

/і = 1 , 2 , . . . .

и на множестве

(т (|) ^ Т)

хп Ъ

lim

оf

a](l)dt =

оо.

Тогда

= l=^pw < p 6

(7.39)

a ] (W )d t< o o

\о

и если 9"\ = П~Т,	0 < / < Г, то
Р М	а?( ГМ/<оо]==1ф=рг < рг.	(7.40)

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 7129 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ