книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf§ 6] |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
227 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность условия (5.131) следует из свойства стохастических интегралов (по винеровскому про цессу (см. (4.49)). Для доказательства необходимости положим для п = 1 , 2 , ...
|
in f ^ s ^ r : I f2$d s ' ^ n ^ , |
|
|
“Xfl |
|
1 |
|
|
Т, |
если Сf2d s < п. |
|
|
|
о |
|
В силу непрерывности |
траекторий мартингала X = {xt, @~t) |
||
и теоремы 3.6 Р-п. н. |
|
|
|
I |
= |
= М [ * ,|; г |
]. |
О |
|
|
|
Поскольку к тому же мартингал X = {xt,3~t) является квадра тично интегрируемым, то в силу неравенства йенсена
МЧ = м[М(*rI г,д,я)]!« М4 < «о.
Г Л І „
С другой стороны, поскольку М |
J |
fl (со) ds ^ п < ОО, то |
|
о |
|
\ |
2 |
Т Л Х п |
М 4 ЛТп = М |
{ f ' W d w A = М |
|
п |
\ 0 |
! |
Следовательно, для |
любого п = 1, |
2, ... |
г Л хп
{ f » d s .
о
М J |
Ң (со) ds < Ы\х\, |
|
о |
|
|
и, значит, |
|
|
т |
г лг„ |
|
что и доказывает лемму. |
|
— квадратично |
З а м е ч а н и е . Если X — (xt,3Tf), |
||
интегрируемый мартингал |
с ' |
|
t
Xt = Х0+ I Д (со) dWs,
Q
8*
228 |
|
|
|
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
||||||
|
|
т |
|
|
|
= |
1 , то |
|
|
|
|
где |
Р |
I |
fl (со) ds < |
оо |
|
|
|
||||
|
|
о |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М J f l |
(со)ds ^ |
М \хт— х0]2 =- |
|
— Мхд ^ Ых2. < оо. |
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
В |
следующей |
теореме |
ослабляется условие |
(5.120), вхо |
||||
дящее в формулировку предшествующей теоремы. |
|
||||||||||
за |
Те о р е ма 5.18. Пу сть выполнены предположения теоремы 5.17, |
||||||||||
исключением условия |
(5.120), |
которое заменяется |
требова |
||||||||
нием, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.132) |
|
Тогда |
утверждения |
теоремы |
5.17 |
также остаются справед |
||||||
ливыми. |
|
|
|
|
|
Условие |
(5.120) обеспечивало |
эквива |
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||||
лентность P5 ~ |
р.п. При условии же (5.132) согласно теореме 7.20 |
||||||||||
лишь |
|
< |
рп. |
2, ... |
и Qn) = (Qtn), |
^ — процесс, являющийся |
|||||
|
Пусть |
п = 1, |
|||||||||
(сильным) решением уравнения |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
l(tn) — I t |
|
|
+ f [1 - |
X<r'] bs (!<»)) dWs, |
(5.133) |
||
|
|
|
|
|
J %1П) |
d s |
0 |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу сделанных предположений коэффициент bs (x) удовлет воряет условиям (4.110) и (4.111). Поэтому из теоремы 4.8 сле дует, что сильное решение уравнения (5.133) действительно существует.
Как показано при доказательстве теоремы 7.19, процесс l(n) = \ ZTt) допускает дифференциал
d l f = a f (|W) dt + bt |
dWt, |
(5.134) |
где
af) (x) = at (x) %
d s < n
§ 6] |
|
|
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
|
229 |
||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n,(g(n)) |
dt *Сп\ — 1 , |
|
|
||||||||
|
|
|
] |
( ■bt(l(n)) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то по теореме 7.18 р^(/г) ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Положим теперь x f = |
М \хт| |
|
|
Тогда в силу теоремы 5.17 |
|||||||||||
для |
мартингала |
Х[п) — (х\п\ |
#"*(п)) |
справедливо |
представление |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x f |
= Х(п) + I |
f f |
(cöw) dWs> |
|
(5.135) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
где |
процесс ( f f |
(а), |
f n)) |
|
таков, |
что |
|
|
|
|
|||||
l{,n) = Éo (Р-п. н.), |
то ^ |
|
(®)]2 |
< |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P |
J [ f f |
|
ds |
|
o o |
|
= . |
|
|
|||
Заметим, что |
x f = x0 |
(P-п. н.). |
Действительно, поскольку |
||||||||||||
|
x f = M j x Tj |
|
|
= |
M[xr j6І-»] = |
|
M [xt J у |
: :X0. |
|
||||||
Пусть |
|
|
|
Гг |
1‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
\2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
( |
|
|
* |
> |
» |
||
|
|
|
|
inf |
|
t: |
(x) № |
|
|||||||
|
xn (x) : |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
7\ |
|
если |
|
|
|
(*) |
ds< n. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
bs (X) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
построения |
процесса | (rt) |
следует, |
что I f — g |
для t ^ |
t (£). |
Поэтому тп (£) = тп (£,''п)) (Р-п. н.). Отсюда нетрудно вывести, что
для любого |
0 ^ |
t ^ Т, |
|
|
|
|
|
|
|
är M .„ra = er "„< 5 » 4 . |
|
|
(5.136) |
||
Из (5.135) |
вытекает, что мартингал |
Xw = {х\п), P t |
*) |
имеет |
|||
непрерывные траектории. |
Поэтому по теореме 3.6 и |
|
|
||||
|
t At„(g(n)) |
|
<Лт„(І) |
|
|
||
= *o + |
J |
f'n)M |
dU7s = *0 + |
J |
f f ( f d w |
s, |
(5.137) |
поскольку Xn(I) = |
( |<rt)) (P -п. H.) и При s < |
xn (g) l9= |
(P -п. H.), |
230 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
Заметим |
теперь, |
что |
x f ]= |
М {хт| SFfn)'}. |
Тогда согласно |
теореме 3.6 и соотношению (5.136) |
|
||||
** Л т„ (?<”>) = М |
[ Х Т \ 3 ~ lt h x n (?<«>)) " ^ (-^ГІ ^ 1 л т „ ( ? ) ) > |
||||
что вместе |
с (5.137) |
дает |
при |
равенство |
|
|
|
|
t Л т„ (5) |
|
|
м ( х т \ & ~ } л х п < ь ) = = х о + |
j |
??4®)dWs |
(Р-п. н.). (5.138) |
Обозначим для краткости правую часть в (5.138) х[п) и положим
^F<n) = |
Процесс Х(п) = {х\п), £Г\п)) является мартингалом, |
|||||
поскольку |
М| х\п) I ^ М I хтI < |
оо и при ^ |
s |
|
|
|
М (*« I #•«) = М [М (хг I іГ Ц <it ,вI Г \ |
лѵ ІВ)] - |
|
|
|||
|
|
S Л т„(?) |
|
|
|
|
“ М (хг | Г | л,іі,Е1) _ х 0+ |
/ ( " ( . ) < » , - ! » |
(Р-П.Н.). |
||||
|
|
О |
|
|
|
|
Пусть |
п г ^ п . Тогда тт (£)^т„(£) |
и по теореме |
3.6 |
(Р-п. н.) |
||
|
|
|
t Лxm (?) |
|
|
|
М ( х » | ; Г « , щ(в) = х М , т ,и = х 0 + |
/ |
/«'(«>) iw . . |
(5.139) |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
С другой стороны, поскольку |
|
|
|
|
||
|
Л хт (?) = 3 ~ \ і\ т„ (?) Лхт (?) = |
&~t Л Хт (?), |
|
|
||
то Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
М (г ? 'І ^ л . „ . в ) ” М Iм ( ^ | ^ д , „ , | , ) [ ^ л , „ , а ] = ‘л «„(И
J |
(5.140) |
Сравнивая формулы (5.139) и (5.140), убеждаемся в том, что
§ б] |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
231 |
|
|
Из (5.141) |
с помощью |
формулы Ито находим, что |
|
||||||||
/ГАТт (I) |
|
|
|
|
,2 |
Тдтт (!) |
|
|
|||
0 = ( |
J [ f f ( a ) - f W( « >) } d W |
) |
= |
J |
[/W(co)-/M(co)]2ds + |
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тлхт (I) |
( t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
J |
j |
|
|
H ] dWs |
{ f f |
(со) - f f ) (со)} dWt |
||||
|
о |
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J |
[/‘га)(® )-/< т)И ] 2^ , |
||
поскольку на |
множестве {со: t ^ r m(!)} |
|
|
|
|||||||
|
|
|
J [ff(<»)-ff4v>)]dWa==0. |
|
|
||||||
Итак, для |
п ^ т |
на множестве {тт (|) = 7'} |
|
|
|||||||
|
|
|
j |
[ f f ( « ) - / f ) |
(со)]2 ds = 0 . |
|
(5.142) |
||||
Отсюда следует, что для |
почти |
всех |
t, 0 ^ t <1 Г, |
|
|
||||||
|
Г Н |
= |
Г И |
({ти (|) = |
Г}, |
Р-П.Н.). |
|
|
|||
Определим теперь функцию ^(со): |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f(‘>(со), |
если |
|
|
J |
а2 (!) ds < |
1 , |
||
|
|
|
/12) |
(со), |
если |
|
1 |
< |
а2 (!) ds < |
2 , |
|
|
/г («О = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.143) |
|
|
|
|
/<") (со), |
если |
п — 1 О j |
а2 (!) ds < п, |
|
||||
Из определения ясно, что функция |
ft (со), |
|
является |
||||||||
&№, л X ^"г-измеримой и lFf-измеримой при каждом |
фиксиро |
||||||||||
ванном |
t, 0 ^ |
t ^ |
Т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
232 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
Далее,
Г |
оо |
Хп+1 ^ |
оо |
^ п + 1 |
^ |
|
|
|
[ / ? ( ® ) л = У |
|
f m ® ) d t = y |
|
f |
|
|
||
0 |
n = 0 |
Tn |
(5) |
Я = 0 |
т „ |
(I) |
|
|
|
|
W |
ТП + 1 ^ |
|
|
ОО |
ТП + 1 |
® |
|
= |
S |
J |
[/? +,)И ] 8 Л + S |
I |
[ / Г ‘>М]2 ^ . |
||
|
|
п = 0 |
т „ (?) |
|
|
п = М + 1 |
т „ ( |) |
|
На |
множестве {ю: |
(^) = 7^} |
|
|
|
гN %п + 1 (5)
J[ff+,)(®)j2^ < ОО.
Д=0 Tn (I)
Значит, для любого N
т
{со: |
J f*(<a)dt = |
ao } s {о: xN+l (%) < Г}. |
I |
о |
' |
Но Tw( | ) f r (Р-п. н.) при N - + 0 0 , Поэтому
Р I J f) (а) dt < оо I = 1 .
Аналогичным образом легко устанавливается также вклю чение
j ©: J [ft (®) — f{tn) Щ 2dt > 0 j <= {со: тп{£) < Т).
Поэтому при п —>ОО
|
т |
|
|
|
|
J |
[M “ ) - / 5 rt)(®)]2^ - > о, |
|
|
|
о |
|
|
|
и, следовательно, |
t |
t |
|
|
|
|
|
||
Р" lim |
f /(sn) (со) dWs — |
f fs (®)dWs. |
(5.144) |
|
|
n+°°o |
о |
|
|
Ясно также, |
что |
|
|
|
<Л'„® |
/ |
|
|
|
j' |
/ « м ^ , = } х |
. / г м л ^ . |
|
§ 6] |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
|
2 3 3 |
и для любого t, 0 ^ |
t ^ |
Т, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ''lm I |
¥ |
, <6)>°А П) И dWs= |
J /. (®) |
|
|
(5-145) |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p { |
J |
[ fsИ |
- |
f f И Хря (I)> s}]2 > е } == |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- Р { |
J |
[ f M - f f N |
% |
( E ) > s } J 2 ^ > 8 , |
T B ( g ) = |
r } |
+ |
||||||||
|
|
+ |
P { J |
[/s N~ |
f f |
(со) %{Xn №)> s]j2 rfs > e, |
t„ (l) < |
T j< |
|||||||||
|
< |
P J |
{ [fs И — f f |
(<o)]2ds > e J+ |
P [xn(£) < |
T) |
0, |
|
n -> oo. |
||||||||
|
Пусть t < |
T. Перейдем к пределу при п -> оо в (5.138). |
Левая |
||||||||||||||
часть равенства в силу теоремы 1.5 стремится к М [хт| |
= xt, |
||||||||||||||||
а |
правая |
согласно |
|
(5.145) сходится по вероятности к х0+ |
|||||||||||||
+ |
J |
fs (<i>)dWs. Таким |
образом, при t < |
Т |
|
|
|
|
|||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt = xo~\~ J |
fs(®)dWs |
(Р-п. н.). |
|
|
(5.146) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
же t = |
T, то |
Sfr лхп Ч) t |
3~\- |
и, значит, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Ы П -)= = * о + |
І |
|
|
|
|
|
|||||
Но процесс £— (Іt), |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Г, имеет Р-п. н. непрерывные траек |
||||||||||||||
тории, |
и поэтому |
|
= &~} (ср. с доказательством |
теоремы 4.3). |
|||||||||||||
|
Теорема |
5.18 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5. |
|
В теореме |
4.3 было показано, что (пополненные) сг-ал- |
|||||||||||||
гебры |
|
t , порожденные значениями винеровского процесса Ws, |
|||||||||||||||
s ^ t , |
непрерывны, |
т. е. &~Т~ — |
|
|
Установим анало |
||||||||||||
гичный результат и для процессов диффузионного типа. |
|
||||||||||||||||
|
Т е о р е м а |
5.19. |
Пусть |
выполнены |
условия |
теоремы 5.18. |
|||||||||||
Тогда |
(пополненные) о-алгебры |
непрерывны. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
- |
= |
0 І = |
0 І +. |
|
|
|
|
234 |
КВАДРАТИЧНО |
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как уже отмечалось выше, |
соотноше |
ние |
== Зг \ доказывается аналогично случаю винеровского |
процесса (см. теорему 4.3). Установим непрерывность а-ал-
гебр |
справа. |
|
|
|
|
величина, |
| г| |
с. |
Тогда |
||||
Пусть т) — ограниченная случайная |
|||||||||||||
по теореме 5.18 у мартингала |
X = |
(xt, ЗГ\) |
с |
xt = |
М (г| | 5^) |
||||||||
существует непрерывная |
модификация. Покажем, что |
|
|||||||||||
|
М (ті|^1) = |
М (ті|0І+) |
|
(Р-п. н.). |
|
(5.147) |
|||||||
Для |
всякого е > О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м (чI П О = М(М (Ч ! 5Ще)I9Щ) = |
М(*,„ I ІГ$+). (5.148) |
|||||||||||
Но случайные |
величины |
л:^ = |
М (rj I ^ f ) |
ограничены, |
j лг# j ^ с, и |
||||||||
в силу непрерывности процесса xt из |
(5.148), переходя |
к пре |
|||||||||||
делу при е I 0, |
находим, |
что Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
м (л I ЗГ}+) = М (*, I п |
+) = |
xt = |
м (л I П ) - |
|
|
|||||||
Этим соотношением (5.147) установлено. |
|
|
|
|
|||||||||
Возьмем теперь в нем в качестве л £Г?+-измеримую |
огра |
||||||||||||
ниченную случайную величину. |
Тогда М (л|Зг |+) = гі и, значит, |
||||||||||||
Л = М (л I # І). |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Следовательно, случайная величина л ^-изм ерим а, что дока |
|||||||||||||
зывает включение &~}+ Е (Ft- |
Обратное |
включение |
ЗГ) Е @~}+ |
||||||||||
очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 5.19 доказана. |
|
выделения частный |
случай теоре |
||||||||||
6 . |
Заслуживает |
особого |
|||||||||||
5.17, |
5.18, когда коэффициент fr,(x)== 1 |
(или |
bt (x) == с Ф 0). |
||||||||||
Т е о р е м а |
5.20. |
Пусть |
£ = (|г, &~t), |
0 ^ |
t |
Г, |
— процесс |
||||||
диффузионного |
типа с дифференциалом |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dh = at (l)dt + dWu |
|
|
|
|
(5.149) |
где а — (аДх), 3&t) — неупреждающий функционал с
p ( j а]{І) d f < o o j = l .
Тогда у всякого мартингала Х = (хр П~^ существует непре рывная модификация, для которой имеет место представление
xt — xo~\~ Jt fs(®)dWs,
о
§ 6] |
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ |
235 |
|
|
|
где процесс (fs (ю), |
таков, что |
|
|
Р J fl (©) ds < ооj = 1 . |
|
Если X — (xt, — квадратично интегрируемый мартингал,
|
|
т |
|
|
|
|
то к тому же |
М J f2s ((ü)ds< оо. |
|
|
|
|
|
7. |
|
о |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь структуру функционалов от процессов |
||||||
диффузионного типа в гауссовском случае. |
Будем предполагать, |
|||||
что случайный процесс £ = (£,, ЗГ{), 0 < |
^ |
Т, |
имеет диффе |
|||
ренциал |
|
dlt = at {l)dt + b{t)dWt, |
|
Іо = |
0, |
(5.150) |
|
|
|
||||
где W=(Wt, ^ ) —винеровский процесс, а b(t), |
0 ^ |
t ^ J , —детер |
||||
минированная |
функция с Ь2(0 ^ с > 0 |
J &2 (^)c^<oo^J. |
||||
Т е о р е м а |
5.21. Пустъ X = (xt, |
0 ^ t ^ Г, —гауссовский |
||||
мартингал. Если процесс (W, |, X) — {Wt, l t, xt), 0 |
Г, обра |
|||||
зует гауссовскую систему и |
|
|
|
|
||
|
|
p ( j a ? t è ) < f t < o ° ) |
= |
I, |
|
(5-151) |
то у мартингала X — [xt, ST^ существует непрерывная моди фикация и
xt = x0 + j f ( s ) d W s, |
|
|
(5.152) |
|
о |
|
|
|
|
где измеримая детерминированная функция f = |
f(f) такова, что |
|||
т |
|
|
|
|
\ f 2(t)dt<oo. |
|
|
(5.153) |
|
о |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Гауссовский |
мартингал |
X является |
||
квадратично интегрируемым. |
Поэтому |
согласно |
теореме 5.18 |
|
|
|
|
г |
|
найдется процесс g = (gt ((>>), |
O ^ t ^ T , с |
j Mg2 (co)d/< оо |
||
такой, что |
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt = xa+ |
J gs(®)dWs. |
|
(5.154) |
|
|
о |
|
|
|
236 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 5 |
Из (5.150) следует, что при каждом t случайные величины Wt £Г|-измеримы. Следовательно, не только процесс (W,, 3Tt), но и
{Wt, также является мартингалом, и, значит, — (Р-п. н.), t ^ s . Отсюда вытекает, что выражение
M [ ( x , - * s) ( r , - r s) | ^ S | =
= |
М [(X, - |
М (X, I П » (W, - М (V , IГ $)) I П ] |
(5.155) |
|||
есть не что |
иное, как |
условная |
ковариация соѵ(л^, |
|
||
(см. обозначения в § |
1 гл. 13). |
|
|
|
||
Покажем, что в силу гауссовости процесса (W, |
X) |
|
||||
соѵ (х„ W, I Г*) = М |(х, - |
X) (07, - |
Ws) I згу = |
|
|
||
|
= |
М \ ( x , - x , ) ( W , - V , ) \ (Р-п. н.). |
(5.156) |
|||
Для доказательства этого заметим сначала, что |
|
|||||
м \{xt - О (Wt - |
W') I Г I] = |
М[xtWt I <Г|] - |
xsWs. |
|
Пусть теперь |
j со: |
£0> ё_*_. |
|
I |
2П |
, • • •. Is I . т огда
2П
$Г\ |
п \ |
И, следовательно, по теореме 1.5 (Р-п. н) |
|||
|
|
П . J - * М [х,Г , I !Гу, |
М \х ,Ѵ , I Г |. „1 - x , W , |
||
Значит, |
|
|
|
|
|
м |
[(*« |
- (VЫ, - W. ) I« 4 1 |
= |
Иг[x,W,а МІ П |
*, 1.W-. = |
|
= |
lim {M [х,1Г, IП . „I - |
M [x, IП . »I M I ^ , IП , »II + |
+ iim (M |x ,|n .JM |iri | n . J ) - x sr,.
Поскольку П — П , то М [д:,|П .»1 = |
м |М И ,|П ) |П * .» | — |
|||||
— M (xt | n , „)—х, и, апалогично, M |
J — M [IFS| П , n|-*»V |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
||
|
- l i r a |M |
[x,W, I П . . І - M [X, I П , „J M\V , | n . J ) |
= |
|||
|
|
- H m |
M {[X, - M(X, IП . »)]l“7, - |
M (Г , IП . „)[ IП , »]• |
||
Но |
по теореме |
о нормальной корреляции (теорема 13.1) |
||||
м |
[[X, - |
м (X, I п . |
„)] [г , - м (W, Iп . „)| І П „) = |
|
||
|
- |
м ||х , |
- |
м (X, I п , „)];і(', - м (ir, I n . Л) |
(Р-п. н.). |