Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 7122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

§ 4]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

207

По предположению процесс

A, — At (со), 7 > 0 ,

непрерывен

Р-п. н. Поэтому

из свойства (2) леммы 5.6

следует,

что если

ТО

Aßa(U) — u

(5.80)

и ßö (гг) <= (а, Ь\.

Следовательно,

если

Ла (со) < и <

Л (со),

то

ф * (ß « ( “ ). ®)Ъа= , Ь] (Рш ( « ) )f n (

(В). ®I)n =( « .

®)-

Тогда согласно пункту (4) леммы 5.6

М J

I / (/,

со) — <р„ (/, со) I2 dAt =

JЧ I / (ß«(а), со) — фя (ß№гг), со) I2 du =

I / (ßa (гг),

со) — f n (и,

со) I2 с/гг <

м J

I / (ßa (гг),

со) — f„ (и,

со) I2 du =

= М Jоо I f (и, со) — f„ (гг, со) I2 с/гг < е,

Итак,

простая

стохастическая функция

fl—1

ф„« , “>) = ä

f (T»’ “ ) v 4<

« ' l+,iw ’

где

Tk — ßo (гг*),

является

е-аппроксимацией

функции

((/, со)

вТл(Фг). Поэтому, если установить, что простая стохастическая функция

Х(*. ®) = W < T ( 0 ^ Т 2л (Ф2)

(Р(т^/^С < о о ) = 1), может быть сколь угодно точно аппрокси мирована простыми функциями, то лемма 5.4 будет доказана.

Пусть %n(t, со) — простая функция, определенная следующим образом: для k/2n < t ^ ( k + l)/2n

I 1, если x (a>)^ k/2n,

Xn (/> ®)

I g, ^с л и т (и,) < k !2 n.

208 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

Тогда

М J [х(*. <*>) — ха (!, ©)]2dAt М[Лт+2_„ — Лх] - > 0, п-> оо.

Этим лемма 5.4 доказана для ограниченных функций f(t, со) е е Іл (Фг), обращающихся в нуль вне некоторого конечного

интервала. Общий случай функций							f (t, <Х) ^	L2A (Ф2) легко сво
дится к		рассмотренному.
4 .	Леммы		5.3 — 5.5 позволяют				определить стохастические
				оо
интегралы / (/) =				J f (t, со) dxt	по	мартингалу		X = (xt, STt) е Л
для	некоторых			о		f~f(t,(£>),		удовлетворяющих
для	некоторых			классов функций		f~f(t,(£>),		удовлетворяющих
		оо
условию		М \|	f2(t, (ä)dAt < о о ,		как	пределы в среднем			квадра-
		о			оо
					оо
тическом		интегралов / (fn) = \|			f„(t,		ю)dxt от	простых	функций
fn — fn{t,a>),				о			f(t,<a) в	том смысле, что
fn — fn{t,a>),			аппроксимирующих f =				f(t,<a) в	том смысле, что
			оо
		М J		I /(/,©) — /„ (t,	со) I2 dА( -> О,			п -> оо
			о

(ср. с соответствующей конструкцией для винеровского про цесса; § 2 гл. 4).

Точный результат формулируется следующим образом.

Т е о р е м а		5.10. Пусть		X — (xt,n~t), t ^ O ,	— квадратично
интегрируемый		мартингал из Ж и At — {x)t,			0, — соответ
ствующий ему натуральный возрастающий процесс.
Пусть выполнено одно из трех условий:
I.	Функция		f е La (Фз).
II.	Функция		f ^ L A(Ф2),	и процесс At,	0, Р-п. н. непре
рывен.
II I. Функция			f ^ L A (Фі),	и процесс At,	0, абсолютно
непрерывен (Р-п.			н.).

Тогда однозначно определена (с точностью до стохастической эквивалентности) случайная величина 1(f), совпадающая в слу чае простых функций f с введенным выше стохастическим

интегралом и такая, что
M/(f) = 0,	(5.81)
00
М [/(/)]2= М J f2(t, со) dAt.	(5.82)
о

§ 4] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 209

Значение случайной величины 1(f) не зависит (Р-п. н.) от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций.

оо

Случайная величина 1(f) обозначается также J f( t ,a ) d x t

и называется стохастическим интегралом от функции f = f(t, и) по мартингалу X = (xt,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование 1(f) вытекает непо средственно из лемм 5.3—5.5. Свойства (5.81) и (5.82) следуют из соответствующих свойств для интегралов от простых функ

ций fn — fn(t> и) и того факта,				что /(/) = І.і.ш ./(/„).
5.	Под интегралом		Т
			Т
			/	f ( s’
			о
будет	пониматься интеграл
	оо
	J /( s>^ X {s<x)(s)dxs.
	о
Т е о р е м а 5.11. Если		мартингал X =				(xt, @~t) е Ж0 (имеет
непрерывные траектории Р-п.			н.),		а / е і д ( Ф 2), то у интегралов
	t
	Г
lt(f)= J f(s,®)dxs существует непрерывная модификация.
	о					f ^ La (Ф2) простая,
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если			функция	f ^ La (Ф2) простая,
то непрерывность /,(/) очевидна.					В общем случае доказатель
ство проводится так же, как			и для винеровского процесса (см.
§ 2 гл. 4).
6.	Если X = (xt, 9~t)<^Jt,		а /еЕ л (Ф з),			то процесс (/Д/), t)

будет квадратично интегрируемым мартингалом. Согласно тео

реме 3.1 //(f) имеет непрерывную справа модификацию.							0,
7. В случае, когда натуральный				процесс At = (x)t,			0,
отвечающий		мартингалу	Х — (х1,&г 1) ^ Ж ,		является	непрерыв
ным,	можно	однозначно	определить	стохастический		интеграл
/ ( / ) =	Jооf(t, a)dxt для функций [ е Ф 2, удовлетворяющих лишь
	0
предположению
		оо		\
		( J f( t , со)dAt <		00J =	1.

210

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

8. Используем теорему 5.10 для доказательства следующег результата, обобщающего теорему (Леви) 4.1.

Т е о р е м а 5.12 (Дуб). Пусть мартингал X — {xt, t) е Мт {имеет непрерывные траектории) и

At == (x)t — J а2(s, а) ds,

где неупреждающая функция a2(s, а) > 0 почти всюду относи тельно меры dt dP на ([0, Г ) Хй , $іо, t\ X # ”)■ Тогда на про странстве (Q, SF, Р) существует винеровский процесс W = {Wt, t), t ^ . Т , такой, что с вероятностью 1

		t
xt — хо +		J a(s, a>)dWs.						(5.83)
		о
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Определим			процесс
		t
	г <=	/ т д	і д	.				<5-84)
	о
полагая a~I(s, а) — 0 при a(s, а) =			0.	Интеграл (5.84) определен
в силу теоремы 5.10 (пункт		III),	поскольку			процесс	At,	0,
абсолютно непрерывен (Р-п. н.) и
т
М J а~2 is, a) dAs =				Т <	оо.
о
Согласно теореме 5.11 процесс			Wt, t ^ . T ,			имеет	непрерыв
ную Р-п. н. модификацию.
Далее, в силу (5.81), (5.82)
W[Wt\ T s] = Ws,
М [ ( Г ,- Ws)2\ $-s] =		t — S,		f ^ s	(Р-п. Н.).
Поэтому по теореме 4.1	процесс W =			{Wt, @~t), t ^ T ,			является
винеровским.
Заметим теперь, что для		любых		неупреждающих			функций
т
Ф = Ф {t, а) с М J ф2{t, <ü)ds <		оо
о		t
t		t
\| ф
о		о

§ 5]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ

211

поскольку это равенство справедливо для простых функций.

В частности, полагая qp( s, ш) = a(s, со), получаем равенство t

J a(s, (ü)dWs — xt — xQ (P-п. h.), t ^ T ,

из которого следует (5.83).

§ 5. Интегральные представления мартингалов, являющихся условными математическими ожиданиями. Теорема Фубини для стохастических интегралов

1. Пусть {SFі), — неубывающее семейство непре рывных ст-подалгебр ЗГ, X = {x„3Ft) — мартингал с непрерыв ными справа траекториями и W = (Wt, SFt) — винеровский про цесс. В настоящем параграфе будут изучаться представления условных математических ожиданий yt = M(xt \3Ff'} в виде

стохастических интегралов по винеровскому процессу.

Л е м м а 5.7. Процесс Y = (yt, SFf), 0 ^ t ^ Т, является

мартингалом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу неравенства Йенсена

м і у,і =

Далее, если

м {ytI ^ Т ) = м I м

м | м и | г Г ) | < м і х л .

t<,T.

то Р-п. н.

I @~f) I @rY\ = M 1@~f) =

			= M[M (*, 13TS) I SFf\ =			M(X, I r j )		- y„
что и доказывает лемму.							интегрируе
З а м е ч а н и е .		Если X = {xt,SFt) — квадратично					интегрируе
мый	мартингал,	то	таковым же		является и	мартингал		Y-—
- { у о	&7 >		Если X = (xt,@~t) — квадратично-интегри-
Т е о р е м а 5.13.			Если X = (xt,@~t) — квадратично-интегри-
руемый мартингал,			то мартингал Y = {yt,			t/t =	М (х. (
допускает представление
			t
	у, — Мх0 + J			М (as\| SFJ) dWs, 0 <		t < T.		(5.85)
			о
где процесс a — (as, SFs),				s ^ . t , таков, что
					I
			(X, W)t = I		as ds			(5.86)I
				I Mas ds <	oo.			(5.87)
			о

2 Щ

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего

отметим,

что

у0 =

= М(jcoI F Y ) = Мх0(Р-п.

н.), поскольку сг-алгебра

F Y

три

виальна

(f Y ={й, 0})-

Далее, в силу замечания к

лемме 5.7

процесс Y = {уѵ &~Y) является квадратично интегрируемым мар

тингалом

и по теореме 5.5

Уt =

Мх0 +

J fs (и) dWs,

(5.88)

где

процесс / = (/Дсо), F f )

таков,

что

M/s(©) ds <

оо.

По теореме 5.3 существует случайный

процесс a — {as, F s),

s < / , такой,

что Р-п. и.

{.X, W)t — J as ds,

0 ^ t ^

и I

Müs ds <

о о . Покажем,

что в (5.88) fs(co) =

M(as| F f )

(Р-п. и.)

почти каждого

s, 0 ^

s ^

Т.

для

Пусть

g =

(ё'Дсо), F f ) — ограниченный

случайный

процесс,

удовлетворяющий

условиям

леммы

5.1,

и г*= J

gs (со) сДр^.

Тогда

М ytzt = М {М (xt I f Y) zt} =

Мxtzt.

(5.89)

Из (5.88)

и свойств

стохастических

интегралов получаем

My,zt =

J М [fs (со) gs (со)] ds.

(5.90)

А по теореме 5.2 и лемме

5.1

Мxtz, =

М (х, z)t =

М J

gs (со) asd s =

J М [М (as | F f )

gs (со)] ds.

(5.91)

Из (5.89) — (5.91) находим,

что

J м {If, ( и ) - М ( л , | ( F f) ] g, (B)j

ds = 0.

§ 5]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ	ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ	213

Отсюда в силу произвольности функции gs(со) получаем, что Р-п. н. для почти всех s, 0

	/,( » ) =	М (а, 1^-»)
и, следовательно,	для всех t,	(ХДг^СГ, Р-п. н,
t		t
О		О
Теорема доказана.
С л е д с т в и е	1. Пусть X — {xt,5Tt) — квадратично		интегри
руемый мартингал,		t
		t
	xt =	j as dWs	(5.92)

и M J a2sds < оо. Тогда Р-п. н. для всех t, 0

г t

М I as d W s \ r f					M(as\| r f ) d W s.		(5.93)
М I as d W s \ r f					M(as\| r f ) d W s.
Действительно,	из	(5.92) и (5.6)			получаем
				t
		(х, Ю і ~		j	а3 ds.
				о
Поэтому (5.93) вытекает из (5.85).
С л е д с т в и е	2.	Пусть W = {Wl,SFt),				W = (Wt, @~t)~ два
независимых винеровских процесса					и X = (xt, @~t) — мартингал,
		t		т
xt — I as dWs,				J	Maids <оо.
Тогда Р-п. н.	о			о
Тогда Р-п. н.		г	t
		г	t
			as dWs I STf = 0.				(5.94)
Для доказательства			(5.94)	достаточно		установить, что
{х, W)t = 0 (Р-п. н.) для			всех t,
Имеем						t
t						t
X t + W , = j	asdWs + Wt,			xt — Wt = f		a, dWs — Wt.
о					о

214 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ (ГЛ. 5

Отсюда нетрудно найти,

что (х Д- W)t =

(af +

l)<is,

{х — W)t—

— 1 (а«

и’

следовательно,

(X,

W)t =

4 {<* +

W)t -

{X -

W)t} = 0.

В следующей теореме равенство (5.93) обобщается на боле

широкий

класс мартингалов.

(хи

t),

0 ^ ^

Т, — мартингал,

Т е о р е м а

5.14. Пусть X =

£Г1Г(/

xt =

[М (| as| I

(5.95)

as dWs,

asds

= 1.

Если M| a s | <oo,

)]2 d s <

(5.96)

то P-п. и.

для всех

d W s W f ) = J M (flsl r J ) d W s

(5.97)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение (5.97)

можно

перефор

мулировать,

сказав,

что

мартингал

Y — {yt, &~f) с yt =

= М (xf I 3"f)

допускает

представление

yt =

\ M(a,[ P J ) dW$

(Р-п. и.),

0 < t <

Для доказательства (5.98) введем марковские моменты

Тогда мартингал Х (п) — (х1п>, t) с

* Г = J Х(, „

dV ,

(5.98)

§ 5] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАРТИНГАЛОВ 2 1 5

является квадратично			интегрируемым,
			т
		J M^		n> s ) a2s d s < 00
и по следствию 1		теоремы 5.13			для мартингала УМ =			(«/<">, @~Y)
с t/<"> = М (x f ]I		имеет		место представление
			t
	у Т = і м			І Х ( , „ > , f , \ S r f \ d W , .				( 5 . 9 9 )
			О
			р
	Покажем, что y\n)~>yt (по вероятности) при га-*оо для
каждого t, 0 ^ t ^		Т.						x{tn)
	Для этого заметим, что в силу					(5.98) у процесса		x{tn)	суще
ствует непрерывная модификация,						и поэтому для нее
	х\п) = xt л %п= М (хтI д~t л Т/і).
Отсюда вытекает,		что	последовательность случайных величин
{Д/Д га=1, 2, . . . j		равномерно интегрируема (см. теорему 2.7).
Но x f )-^-xt (по вероятности),					п - ^ о о. Поэтому		из	этих	двух
фактов и замечания 1 к теореме						1.3 вытекает,	что
		lim M \x t — х{у ]I = 0.
		П->оо
Но	М \|yt — t/(fn) \|	М \|	— x f \ .		Следовательно,		y\n'>-^yt		для
Но	М \|yt — t/(fn) \|	М \|	— x f \ .		Следовательно,			Р
каждого t, 0 ^ . t ^ T .
	Для завершения доказательства теоремы осталось показать,
что	при п —>оо					t
	t					t
	\ “ !*		I Г Г ] aw,			Г
	\ “ !*		I Г Г ] aw,			J M(as\ r j ) d W s.
	о					0

Согласно неравенству (4.60) для этого достаточно установить, что

	\|М	» 7 ) ]s « s - о .		П—> оо.		(5.100)
	всего	заметим, что	М {x^Tfj < s^as\|		}	■0, n-
Прежде	1	P	P
поскольку	M \|a I <	00, Y(xn<s) —>0, n -> 00,		и

0, tt —> oo,

216	КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ				[ГЛ. 5
	Положим
	inf	/ < Г :	J	[M(\as \ \ ^ Y f d s ^ N	,
	ОМ--	I	о		'
	ОМ--		т
	Т,	если	j	{М(\| as \\g-J)Y d s < N .

Тогда для е > О

рj [М Л І ^ Г ) ] ^ > «

° N = T >+

о Iм ( ¥ . < ^ l ^ ) ] 2 d s > e ;

р { 1 1 м

( * < • „ «

I * 7 ) ] г ■^

> « ;

» » <

Г } <

, t A0N

| M

(

, <

- )

“ - i » r r )

F r f s

(¥»р

*7)Г■ >8j +р("»<

{ J *(«»>.)[

т>

Р {crjV< Т) -+ 0, УѴ-^-оо,

(5.101)

Здесь

силу условия (5.96). Далее,

поскольку М (%^х < s^ s I @~Yj -> 0,

то по теореме

Лебега о мажо

рируемой

сходимости

J™ м /

Х<«»=‘') І М (xn

<>)“<I*’. T ‘,s = 0 -

Поэтому,

переходя

в (5.101)

пределу

(сначала по

п-> оо,

затем по N -+ оо), получаем

требуемое

соотношение

(5.100).

Равенство (5.97),

установленное в теореме 5.14,

позволяе

доказать для стохастических интегралов утверждение (теорема 5.15), аналогичное теореме Фубини.

Пусть	(Q, ЗГ, Р), (&,	Р) — два	вероятностных	простран
ства, (Q ,#-,P) = (QXQ,		Р Х Р )	и (^~J и (#,), 0 ^ / ^ 1,—
неубывающие семейства		ст-подалгебр	и ЗГ.	процесс,
Пусть	W — (Wt (и>),	t), 0 < Л < Л , — винеровский

Т Т = а {со: Г „ s < /}.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 7122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ