книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 3]

СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ

197

3.

Из теоремы

5.7 легко

выводится

следующий полезный

результат (ср. с теоремой 5.6).

g(co) — 3"®-измеримая случай­

Т е о р е м а

5.8.

Пусть

g =

ная

величина

с М | | | < о о

и

t ^ T , — непрерывная

справа

модификация

условных

математических

ожиданий.

Тогда

найдется

процесс (f(t, со),

@~Y)>

O ^ i t ^ T , такой,

что

Р

всех t, 0 ^

t ^

Т

о

М(1 \П"!) =

Mg +

J f(s,

<ü)dWs

(Р-п. н.).

(5.44)

В частности,

о

т

о

(5.45)

Д о к а з а т е л ь с т в о

вытекает

из теоремы 5.7, если в ней

положить xt — М (I \Н~У) и учесть,

что х0 =

Mg.

4.

Т е о р е м а

5.9. Пусть g = g(co)—

-измеримая

случай­

ная

величина

с P ( g > 0 ) = l

и

Mg<oo.

Тогда

найдется

про-

цесс

(cp(t, со),

@~Y), 0 ^ . t^ . T ,

такой,

что Р

■о

и для всех t*CT Р-п. и.

М (g I &~Y) =

exp

I

cp(s,

со)d w s - j

Jcp2(s,

co) ds

Mg.(5.46)

о

В частности,

г т

т

-о

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

xt — М (g | @~У),

t ^ T , — непре­

рывная справа модификация условных математических ожи­

даний.

Тогда

по теореме 5.8

о

(5.48)

Покажем, что

Р (inf xt > 0) = l.

(5.49)

t<T

198

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Действительно,

мартингал

X =

[xt,

@~f),

t ^ T ,

является

равномерно интегрируемым. Поэтому,

если

т — т(со)— марков­

ский момент

с Р ( т ^ 7 ’) = 1 ,

то

по теореме

3.6

xt = M(i i arf) .

(5.50)

Положим

X=

inf

^

х, == 0},

считая

т =

оо,

если

inf xt > 0.

На множестве {т <

Т) — (inf xt =

0}

величина хт = 0,

t < T

поскольку

согласно (5.48)

процесс

xt, t ^ T ,

непрерывен

Р-п. н. Поэтому

в силу (5.50)

0 — [

xxdP(a>) =

I

I dP (со).

{т<Г}

[т<П

Но Р (I >

0) =

1. Поэтому Р (т <

Т) = Р (inf xt = 0) =

0.

Введем

функцию

Ф(/,

X f

------------

(5.51)

Ml +J f (S. w ) d W s

для которой

в силу условия

Р (inf xt >

0) =

1

f

dxt = q>{t, со)x t dWt,

х0 =

М|,

(5.52)

существует и задается

формулой

г

t

t

xt =

exp

J ф ( я , a)dWs — y J ф 2 ( s ,

со) ds

щ .

(5.53)

Действительно,

то,

что (5.53)

дает решение уравнения (5.52),

следует из

формулы

Ито и

показывалось

в

примере 3 § 3

гл. 4. Пусть

yt, t ^ T ,

— еще одно

решение

этого уравнения.

§ 4]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

199

§

4, Стохастические интегралы

по квадратично интегрируемым мартингалам

грал

/<(/) =

Сf(s, (ä)dWs по винеровскому процессу W=(Wt, @~t),

О,

для

6

со), удовлетворяю­

неупреждающих функций f —

щих условию М j

f2(t, <o)<it < oo. Среди нетривиальных свойств

этого

о

интеграла наиболее важными являются следующие два

свойства:

М Jt f(s, ®)dWs = 0,

(5.54)

О

м

f(s, (ü)dW:

(5.55)

М [{Wt — Ws)2 \ £Ts] — t — s .

(5.56)

процесса

натуральный

возрастающий

процесс At = (W)t = і.

Анализ конструкции интеграла It (f)

приводит к мысли, что

можно определить

аналогичный интеграл Jt f(s, а) dxs по ква-

дратично

интегрируемым

мартингалам

о

В са­

X = (xt,

мом деле, для них выполнено равенство

М [(xt -

xs)2 \Г,] = М [<*>, -

(x)s I S%],

(5.57)

аналогичное

равенству (5.56),

играющему ключевую

роль при

определении

стохастических

интегралов

It (f) по винеровскому

процессу.

0. Можно

было бы ожидать, что

Обозначим At = (x)t,

тот естественный класс функций f = f(t,

со), для которых

опре-

t

f(s,a>)dxs,

деляются

стохастические

интегралы

j

0,

есть

о

класс неупреждающих функций, удовлетворяющих условию

М j

f2(t,

со) dAt <

oo.

(5.58)

о

§ 4]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ

201

О п р е д е л е н и е

4. Функция f

е La (Ф^

называется простой,

если существует такое конечное разбиение 0 = /0 <

. . . <

tn < оо,

что

fO,

=

»)x(,( i,s+il(0.

(5-61)

О п р е д е л е н и е

5.

Функция

/ е / Д ( Ф 2) называется

про­

стой

стохастической,

если

существует

последовательность

т0,

ть

т„

марковских моментов

таких,

что 0 =

т0< т 1< ...

. . . < хп < оо (Р-п. н.) и

f{t,

ö) = S

/(xk, (О

(тй' Tfe+i) (О-

(5.62)

k=0

' ) х ,

Классы

простых

и простых

стохастических

функций

будем

обозначать

соответственно

S

и &s.

2.

Пусть Х = (х„

х0 — 0 (для простоты) и At = (x)t,

t ^ O .

Определим

стохастический

интеграл

/(f)

(обозначаемый

00

также J

f (s, <в) dxsj

от

простой

стохастической

функции

f ~

о

— f (t, со), положив

H f) = 2 iJ ( T k ,

(s>)\xXk+i — Xx k \.

(5.63)

В частности, если / =

/(/, со) — простая функция,

определенная

в (5.61),

то

по определению

/ ( f ) = 2

fih , ® Ж +, - * 4

(5.64)

Если

f ^ & s,

то

под

стохастическим

интегралом

/T(f) =

Т

(a)dxs

g(s, со) =

f(s, со))C{s<T)(s).

(5.65)

— оJ f(s,

будет пониматься интеграл 1(g) от функции

Аналогично,

под

интегралом

Ia,x (f) — j

f(s, <o)dxs,

где

Р ( а ^ т )= 1 , понимается

Ö

интеграл от функции

202

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Так определенные стохастические интегралы обладают

следующими

свойствами

(/,

/) и

/2— простые

стохастические

функции).

It(afi +

bf2) =

alt{f{)

blt {f2)

(Р-п. н.);

а, Ь = const, t ^ O .

(5.66)

t

u

t

J f {s, со) dxs =

J f (s,

со) dxs +

J f (s, со) dxs

(Р-п. h ).

(5.67)

0

0

«

It(f) — функция,

непрерывная

справа

по

0

(Р-п. н.).

(5.68)

~ t

“I

S

М

j

f(u, a>)dxu \@~s

=

J f (и, a>)dxu

(Р-п. H.).

(5.69)

t

-o

t

J

o

t

-j

M

J fiiu, (x>)dxu J f2(u,

<a)dxu

=

M £ f,(n, co)/2(u, co)dAu. (5.70)

В частности,

из

свойств (5.60)

и (5.70) вытекает, что

М j / (и, со) dxu=

0,

(5.71)

М

J / (и,

со) dxu

=

М

f2{u,

со) dAu.

(5.72)

Как и в случае винеровского

процесса, стохастический ин-

оо

теграл

J f(s,

<a)dxs

для

измеримой функции

f = f(s, со),

удо­

влетворяющей

условию

M j

p(s,

со) dAs <

оо,

будет

строиться

оо о

как

предел

интегралов

J

fn(s,

со)dxs

от простых функций, ап-

о

проксимирующих (в определенном смысле) f(s, со).

В приводимых ниже леммах описываются классы функций,

допускающих

аппроксимацию простыми функциями в зависи­

мости от свойств процессов At,

0.

и At =

(x)t, t ^ 0, —

3.

Л е м м а 5.3. Пусть X = (xt, STt) е Л

натуральный возрастающий процесс, отвечающий мартингалу X.

Тогда пространство & простых функций плотно в

(Фз).

З а м е ч а н и е

1.

В общем случае, если на мартингал Х е і

204

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

—

множества

Bt ^.-измеримы, что

М з М п и

ѵ(М \

т. е.

оо

м ]

I %M(t, ®) — %мп(Л

о

что и доказывает лемму.

лемма 5.5

В доказательстве леммы 5.4 будут использованы

и лемма 5.6 (см. ниже). Приведем сначала

At = t

утвер­

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы

5.5.

В случае

ждение леммы установлено в гл. 4 (лемма

4.4),

где

было по­

казано, что существуют такие

разбиения

0 =

t(0n) <

t[n>< ...

...

< t {ri<

оо,

что

для f е

ОО

М J

I / (t, со) — fn (t, со) I2 dt -> 0,

п->оО,

(5.73)

О

оо

fn(t> ® )= 2 j / №

(5-74)

Значит,

для некоторой подпоследовательности щ | оо, /~*оо,

\f{t,

ю) — fn{(t, со)|2->0,

г-> о®,

(5.75)

для

почти

всех (^,

со)

(по

мере

dt dP).

Поэтому

|/Д,

со)—

— fnt (t, со) j2a(t,

ca)—*0, і->оо, также

для почти всех (^, со). Без

ограничения общности можно считать

функцию

/

финитной

и

IfU,

со) К К.

Тогда

I f(t,

со) — /„(*,

со) \2a(t,

со)< 4/(2а(/,

со),

ОО

где

М J а (£, со) dt =

МЛте <

оо.

Следовательно,

о

— lim

M j

I fit, со) — fn. (t, со) |2

CL

(tj co) dt — 0, (5.76)

І->оо

О

ством

леммы 4.4).

Лемма

5.5

доказана.

Л е м м а

5.6. Пусть 0 < а < й < о о

и а =

а (t),

t <=[а,

6],—

непрерывная

неубывающая

функция.

Для

каждого и е

R по­

ложим

и

ß(M) = i n f { ö < / < 6 :

a(t) > и},

если

а(Ь)>и,

ß («) — &,

если

а (ß )^ n .

Тогда функция ß =

ß(n),

н е R, обладает следующими свой­

ствами:

(1) не убывает и непрерывна справа-,

«;

(2)

если

а ( а ) ^ и ^ а ( Ь ) ,

то а (ß («)) =

(3)

если

a < t ^ . b ,

то ß(«) < t£=?u <

ct (/);

(по Борелю) огра­

(4) если ф= ф (t),

a ^ L t^ . b , — измеримая

ниченная

функция,

то

а (Ь)

I

ф ($(u))du.

(5.77)

а (а)

Доказательство свойств

(1)— (3) элементарно.

Справедли­

вость свойства (4) отмечалась еще в §

1 гл.

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 5.4. Пусть

функция /(£,©) е

е 4 ( Ф г )

ограничена,

обращается в

нуль

вне некоторого ко­

нечного интервала [а, Ь], а процесс

At = АДф),

Р-п. н.

непрерывен.

Положим

и

ßa (w) =

inf {а ^

t

Ь:

ЛДсо) > и),

если Аь(а )> и ,

ß<0(«) =

è,

если

Аь( а ) ^ и .

Для каждого

к е [ 0, <х>) случайная

величина Рш(п) является

марковским

моментом

со значениями

в [а,

Ь]. Действительно,

согласно свойству (3) леммы 5.6

{(о: ßß, («) < ^ — (со: и < AJ

для

любого a ^ . t ^ . b .

Поэтому марковость

момента

ßffl(M) вы­

текает

из

леммы

1.2.

Положим

SFu — STf, (и) и J (и, <а) = f(ßMм), ©).

Поскольку

процесс ßB(«),

w ^O , имеет

Р-п. н. непрерывные слева траек­

тории, то он измерим

(даже прогрессивно

измерим).

Поэтому

из

измеримости

процесса

f = f (u, со)

вытекает,

что

процесс

f — f (и, ©)

также будет измеримым.

Согласно сделанному в условии леммы предположению

функция f — f(t,

со) является сильно неупреждающей,

а значит,

20ö

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

при каждом

ц > 0

случайные

величины

f {и, со) =

f(ßa (u), со)

являются

SFи —

(«гизмеримыми. В силу

определения функ­

ции рв (и)

и > Аь(со) =#> ßa (и) =

Ь,

и < Аа(со) =#> ßa (и) =

а.

Поэтому,

если

c =

su p |/(/,

со) [

и f(t,

со) =

0

для t ф. [а, Ь\, то

оо

t, и

М I 1f {и, со) I2 du = М I I f (и, со) I2 du

с2М [Аь— Аа] < оо.

0

^

Следовательно,

к

функции

f = f ( u , со),

u ^

0,

применима

лемма

5.5, согласно

которой для заданного е >

0 можно найти

такое

конечное

разбиение О =

ц0< « і < . . .

< и п <оо, что

М J I f {и, со) — f n (и, со) I2 du < 8,

где

П—1

[„(«, « ) =

2

f

к ,

®)х(„,. „(+|](« )= S

®)х(ч . ,„,](<■).

Покажем,

что функция

Ф„ (U fl>) =

х(а Ь] ( 0 1п (At, со)

(5.78)

оо

М J

| / (/,

со) — <р„ (t,

со) р dAt <

е.

о

Для этого заметим, что согласно свойству

(3) леммы 5.6

для всякого t, a < t ^ b ,

и /е = 0,

1, . . . ,

п — 1

{со: uk < A; < Mft+I} = {co: ß„(u*) <

* <

ß« (ил + ,)}.

Поэтому,

учитывая,

что

ßB(MA) s [ a , b]

для

всех

c o s Q и всех

k — 0, 1,

. . . , п — 1,

заключаем,

что

функция

сря == <рп(С ©)»

определенная в (5.78), может быть

записана в следующем виде:

=

Х(а,ы (t) fA Af ®) =

7(j, 6] (О

/1-1

%(а. Ь] №

/ (ßM[u k)> ®) X|ßm(ц

( uk + 1)}

(О =

{^и (uk ) < * ^

lio/(ßfflK ),

<*<P«

(5J9)