Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 7120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

§ 21

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ

187

меримы, то

достаточно установить, что для любого п — 1,

2, ...

MZtÜ F i(Wtl) = 0,

(5.28)

где

Fj{x) — ограниченные,

измеримые

по

Борелю функции и

0 < / , < . . .

п =

1, F\{x) = еікх, — оо <

Я <

оо и докажем, что

Возьмем

при

всех

5 ^

Мztei%w° = 0.

(5.29)

Имеем

Мztea * ' =

М [М (г, I STY) eaws] =

Mzseaw

По формуле Ито

e^ u dw tt- ^ L

eaw*du.

(5.30)

Отсюда находим

Я2 M

Mz,eiKV*=

Mzs +

іШ

eawu dWa

zs f eaw»du

2“ M

- 0

о*)

Но Mzs =

M z , f eim »du

— M J zseawu du = M

J M{zs \ ^ u ) e aw“du

и по лемме

5.1

1 еіШ« dWu

zs / eaw» dWu =

M xs ~

J f (и, со) dWu

= m s J eaw» dWa- M

J f (и, со) dWu J eaw« dWu =

M J / (m, ffl) егШ" du — M J f (и,

со) егш“ du — 0.

Поэтому

Мг,е“ г* = — £ / m (z.eM ’)du,

и, следовательно,

Uztei%wt = U z seik^ = Q.

188	КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ			[ГЛ. 5
В	силу произвольности Я,	— оо < Я <	оо , отсюда выводится,
что и для всякой измеримой		(по Борелю) ограниченной		функ
ции Fx(х) выполнено равенство (5.29).			Пусть для любых огра
Докажем теперь (5.28) по индукции.
ниченных функций Fi (X), . . . .		(X)

м ^ п Ч р р ^ о .

п,

Надо показать, что тогда и \Azt Ц Ft (Wtj) = 0. Положим сна-

чала Fn(Wtn') = e

tw,

Поэтому

n—l

tn, — о о < Я < о о . В силу (5.30)

*п	*п
+ a J ei w udWu_ V _	j eaw»du.
n —l
= м	+
/=1
n - 1.

		“Ь г'ЯМ г 1І	р №і,)	J	eaw»dWt
		/=1		t Л - 1
				t Л - 1
			n - l			*п
		Я2 M				f eaWadu	(5.31)
			z* I P / 0 ^ / )			f eaWadu	(5.31)
			/=■
По предположению индукции
		М	П—1
		М	П	F, (1F,.) =		0.	(5.32)
Ясно также,		что
		п—1
	М	/=і				: 0.	(5.33)
		/=і
Из (5.31) — (5.33) получаем
	п —1			п-1
М ^ '	I I	( ^ ) =		Д	F, (Wt]) =
	І=1			/=1
						n —l
				2	Mzseaws J ^ F l (Wtl)ds.
					n - l	/=0

§ 3]	СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ	189
	п — 1
Следовательно, \Azte	іКур2 тт
Следовательно, \Azte	" 11 F , (Wt )— 0. В силу произвольности Я,
	/=і 4 ''

—оо < Л < оо, отсюда вытекает требуемое равенство (5.28). Теорема 5.5 доказана.

З а м е ч а н и е 1.		Если Wt = {W{( / ) , . . Wn{t)) —n-мерный
винеровский	процесс	и X ~ [ x t,	t ^ T , — квадратично ин
тегрируемый	мартингал с 2ГТ =		о {<&: ИМ«), • ••> WMS)> s=M},
то

Пt

= х0 +		2 ]	J fl (s, со) dWt (s),	( 5 . 3 4 )
		i= 1	0
где величины fj(s, со)	^Ff-измеримы, i = l, . . . ,			n, и
n	T
2	I	Mf?(s> со)ds < oo.		( 5 . 3 5 )

f«=l о

Доказательство проводится так же, как и в одномерном (п = 1) случае.

З а м е ч а н и е 2. Из представления (5.27) следует, что вся кий квадратично интегрируемый мартингал X = (xt,

имеет непрерывные (Р-п. н.) траектории (точнее, имеет непре рывную модификацию).

§ 3. Структура функционалов от винеровского процесса

1.	Пусть (Q,			,	Р) — полное вероятностное					пространство и
w = (w t, р		Т),				— винеровский процесс. Будем					предпола-
гать,	что	W	t	^ T ,		пополнены		множествами		из	Z T , имею
гать,	что	t ,	t	^ T ,		пополнены		множествами		из	Z T , имею
щими P -меру нуль.					Пусть \| — \|(со)			есть	-измеримая случай
Т е о р е м а			5 . 6 .		Пусть \| — \|(со)			есть	-измеримая случай
ная	величина		с	М	\| 2	< о о .	Тогда	найдется F w -согласованный
процесс ( f ( t , со),				S T Y ) ,		і ^ Т ,	с
						т
						М J / м , a ) d t < о о					( 5 . 3 6 )
						о
такой, что Р-п.			н.				г
							г
					\| = м 1 + \ f { t , < X ) d W t .						( 5 . 3 7 )
							О
Если к		тому же			случайная величина % и процесс						W — (Wt),
Q ^ t ^ T ,		образуют гауссовскую						систему	(§ 1 гл. I), т. е. сов

местное распределение | и W является гауссовским, то найдется

190

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

детерминированная

измеримая

функция

f = nt),

< / < 7 \

с I f2{t)dt <

оо

такая, что

+ \ n t ) d w t.

(5.38)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

xt = М (£

где

условные

математические ожидания выбраны так, что процесс xt, О

имеет

непрерывные

справа

траектории (это можно сделать

в силу теорему 3.1). Тогда

мартингал X = (xt,

<= Жт и

по теореме 5.5

найдется

функция f{t,

со) с указанными свой

ствами

и такая,

что

м(g I Г * )

Xt =

{ f (s,

со) dWs.

(5.39)

Отсюда

следует

требуемое

представление

(5.37),

поскольку

M ( g | ^ )

= Mg (Р-п. н.), а хт=

Предположим теперь,

что совместное распределение | и W

является

гауссовским.

Положим

А = | г .

SrWn = o{<o:W0, W A, . . . , W T} =

— а {со: Г д -

Г 2Д -

Г д,

... ,

WT — W{г_Д)}.

Поскольку

п+1

= а ^(J

то по теореме

Леви (теорема

1.5)

— М (£ l&~Jn) —►£ при п ->оо

с вероят

ностью

1. Последовательность

случайных

величин

{(£„ — I)2,

п — 1,

...}

равномерно

интегрируема, и поэтому

lim М|

— 1 12 =

Значит,

lim

МҢ„ — £mf =

Но в силу следствия

3 теоремы

п,

т->оо

онормальной корреляции (теорема 13.1)

+м [( S - M» (^tt-n> д - Пд)] [W(k+и д — Wкк\ —

k=0

=J fn (s) dWs,

§ 3]				СТРУКТУРА ПРОЦЕССОЙ						191
где
	и (S) = ± м [(£ -			М£) (Г (*+1) Д -			Wkа)], 6Л <	s < (k +		1) Д,
		т
и,	очевидно,	J f2n (s) ds			< оо.
		о		по	свойствам		стохастических		интегралов
	Следовательно,			по	свойствам		стохастических		интегралов
							т
	lim	М \|\|„ — lm\2=				lim	f [fn(s) — fm (s)]2 ds.
	n, Ш-+ 0 0				n>m-> oo *
Отсюда следует,			что существует такая функция					f (s),	0 ^	s ^ Т,
	т
с	f2(s) ds <	оо,	что
о								т
	т							т
	lim { [fn(s) — f(s))2ds=z 0					и l.i.m. £„ = М£ +
	J П->оо J					П-> со		Jh ( s ) d W s.
	С другой	стороны, l.i.m. £„ = £. Поэтому
					П-*0о	Т
						Т
				І =	М£ +	J f(s)dWs.
					о
	З а м е ч а н и е			1. Отметим,		что при доказательстве				утвер

ждения (5.38) не использовался результат (5.37). По существу, утверждение (5.38) есть всего лишь следствие теоремы о нор

мальной

корреляции.

Если

же

известно,

что

£ = М £ +

+ J

f (s, со) dWs, то будет справедливо также

и представление

£ = М £

+ J

Мf(s,

со) dWs. Чтобы в этом

убедиться,

достаточно

выше

функции fn(s)=*

заметить, что в этом случае введенные

№ + 1) а

= 4"

Мf(s, сo)öfs,

и поскольку \im f n(s) — Mf(s, со)

для почти

^ ,4

rt->CO

k д

(см.

доказательство

леммы

4.4),

то

в качестве

функ

всех

ции

/(s),

участвующей

в представлении

(5.38), можно

взять

функцию / (s) — M/(s, со).

(5.38) становится, вообще

З а м е ч а н и е

Утверждение

говоря,

неверным, если предполагать, что случайная вели

чина

нормально

распределена, но не требовать,

чтобы сов

местное распределение

(|,

было гауссовским.

192	Кв а д р а т и ч н о и н т е г р и р у е м ы е м а р т и н г а л ы		[ГЛ. 5
Действительно, случайный процесс
		t
		l t = J S (W s)dWs,
где		о
где		X ^ О,
		X ^ О,
		л: < О,
является винеровским. Значит, случайная величина			\| = \| г
является гауссовской,		но ее нельзя представить в виде	стоха-
		т
стического	интеграла	j f ( s ) d W s с детерминированной	функ-

цией f(s).
З а м е ч а н и е		3.	Из	представления (5.38) следует, что в ка
честве функции f(t)			можно		взять		функцию
		/ ( 0		= і -	М	[ ( £	- М і ) Wt].
						т
П р и м е р	1.	Пусть Ü = J				Ws ds. Поскольку			W) является
гауссовской	системой,			то \|	о			представлено в виде
гауссовской	системой,			то \|		может быть		представлено в виде
т
j f ( t ) d W t. Простой			подсчет			показывает,		что	f(t) = T — t и,
о
следовательно,			т			г
			т			г

J Wt dt = j (Г — t) dWt

оо

(это соотношение легко получить также из формулы Ито). П р и м е р 2. Пусть g=W*. Тогда

	U74 =	3 + J [12(1 — t) Wt + W ] \ d W t.
		о
Действительно,		пусть	xt =	М [W* \| STf] = М [W^ \| Wt]. По
скольку	распределение Р		(Wx^	х \| Wd является нормальным,
N(Wt, 1	— t), то
xt = M \ W \ \ W t] = M [(Г, — W t + W tf I W t] =
= M	- Wtf	I Wt] +	4M [(1Г, - Wtf Wt I Wt\ +

+ 6M [(Wt — Wtf W\ I Wf] + 4M \(Wl — Wt) W] I Wt] + w 4t =

= 3(1 — о2+ 6 (1 — t)w* + w*.

§ 3]

СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ

193

Отсюда по формуле Ито находим dxt = [12 (1— t) Wt + 4ѴТЦ dWt, что с учетом равенства MW\ — 3 приводит к требуемому пред ставлению (5.37).

2.Согласно теореме 5.5 всякий квадратично интегрируемый

мартингал X = [xt,				J t j допускает представление (5.27),
				т
где	функция	f(t, со) такова, что М [ f2{t,			a>)dt< оо. Рассмо-
трим теперь		вопрос		6
			о возможности аналогичного представле
ния	мартингалов X = (л^, @~f), удовлетворяющих, вместо усло
вия	sup Мх? <	оо, более		слабому требованию sup М \| х* \| < оо.
	t < T	5.7.	Пусть	X — {xt, &~f),	tt^T
Т е о р е м а					t ^ T , — мартингал,
имеющий непрерывные справа траектории и такой, что
			sup МI xt I < оо.		(5.40)
			t < T

Тогда найдется Fw-согласованный процесс (f(t, ©), @~f), t ^ T , такой, что

(5.41)

и для всех t ^ T

(5.42)

Представление (5.42) единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего покажем, что на самом деле рассматриваемый мартингал X — [xt, STJ} имеет непре

рывные траектории.

Пусть [х^1 , п — 1, 2, . . . J — последовательность ^^-изм ери мых функций с М (лфге))2 < оо таких, что

М I хт— x f I < -±-.
Обозначим х\п) непрерывную справа модификацию
существующую по теореме 3.1. Тогда по теореме	5.5
t
\ fn(s, ®)dWs,	(5.43)
Q

7 Р. Ш «Пипцер, А. Ң. Ширяев

194

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

(ГЛ. 9

где

М I

fn(s>®) ds <

оо.

Из

этого

представления

следует, что

{xf'1,

F f ) ,

t ^ T ,

есть непрерывная

моди

у мартингала Х[п) =

фикация.

Процесс (л;, — x f ],

F f )

имеет

непрерывные

справа

траектории, и по неравенству (3.6) для любого

е > О

sup

I X, — х\п)\ > е] < е _1М \хт— х№\ ^ е _|я2.

Поэтому по лемме

Бореля — Кантелли

Urn sup

I X, — х\п) 1=

(Р-п. н.).

п о

как

Отсюда следует,

что Р-п.

н.

функции xt, t ^ T ,

непрерывны,

равномерные

пределы

непрерывных

функций x f \

t ^ Т.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству пред

ставления

(5.42).

x„ = inf{ £ ^7’: \ х ,\'^ п ),

полагая тп — Т,

Определим

момент

если sup I X, I <

п.

Ясно,

что

(т

процесс

X —

= (xn{t),

F f )

с xn{t) — xtAX

образует мартингал (см.

3.16)).

В силу

непрерывности

Р-п.

н. процесса xt, t ^ T ,

sup ІхІЛг І < п .

« г 1

" 1

Тогда, применяя к мартингалам Xn =

(xn(t), F f )

теорему 5.5

получаем,

что для

каждого п = 1 , 2 , ...

Xn(t) = xn(0)+ j

fn(s,

CO)dW„

где

f2n (s,

со) ds

оо.

п г ^ п

Заметим, что для

хт(t А Xп) =

хп (t)

<лт„

xm{t Л т„) =

(0)-f

fm(s,

(ä)dWs =

— Хп(0) +

fm(s,

со)X{ sup |хц|<п} (s) dWs.

§ 31	СТРУКТУРА ПРОЦЕССОВ	195
Отсюда по свойству (4.49) находим:
т
J	М { / m ( S , (о) Х{ sup \|*u\|<ra} (S) — fn (S>	ю)]2 ds — 0.

Следовательно, на множестве тех (t, <о), для которых sup 1хи \^п,

	Положим		fn(t, со) =			fn+ i (t,		(£>)=...
	Положим		' /,(/,		©),		если		sup(Ar„Kl ,
			' /,(/,		©),		если		sup(Ar„Kl ,
		fit, (0)=							и ^ t
		fit, (0)=		f2(t,	ю),		если	l < s u p \| x „ K 2 ,
									U^_t
Так		построенная измеримая				функция f =				и) при каждом t
является ^ “’'-измеримой. Далее, для любого										п — 1,2, ...
I©: j > (s, со) ds — oo 1 s 1 со: J [f(s,								©) — fn(s,		©)12 ds > 0 1
I		o				0			)	I
									£	{©: sup\| xs	n).
Но		в силу непрерывности процесса						xt,	t ^ T ,	S < J
Но		в силу непрерывности процесса						xt,	t ^ T ,
		P{sup\| xs					n) -»О,		п-уоо.
			s<r
Поэтому P IJ P(s,			a)ds <		oo I — 1			и определен стохастический
интеграл j f(s, w)dWs, t ^ T .
	Положим
			xt = x0+			J f (s, ©) dWs.
В	силу неравенства
		J if is, «>) — fn(s,		со)] (IW,			> e ) <
							[f(s,	©)	fn is,	®)]2ds>0	+
(см.		замечание 7 в §		2 гл. 4)
				x, =		P-lim xn(t).

196	КВАДРАТИЧНО	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ		[ГЛ. 5
	стороны, Р-п.
С другой	lim хп (t) =	limНxt.	Ахп = xt,

ПП

Значит,

Р-п. н. для всех

t ^ T

xt — xt и

xt = xQ+

Jt / (s,

со) dWs.

Осталось установить, что это представление единственно:

если также xt =

х0+ Jt f' (s,

u>)dWs

неупреждающей

функ-

цией

f'(s,

со),

такой,

что

( / '(s, а))2 ds <

оo j =

то f(t,

со) =

f' (t,

со)

для

почти всех (t, со).

Пусть

f (/,

а>) =

f (t,

со) — f'(t,

со).

Тогда

для

процесса

Xt — \

f (s>w) dWs по формуле

Ито

X2=

f 2 (s,

to) ds -j- 2

xsf (s, со) dWs.

Ho xt = Q (P-п. H.),

t ^ T .

Поэтому

JT f2(s,

co)ds = 0,

откуда

следует, что

f(s,

&) = f'(s,

со) для

всех

(s,

со).

почти

Теорема

доказана.

Wt = (Wl (t),

Wn (t)) — /г-мерный

З а м е ч а н и е .

Пусть

винеровский

процесс и

^"®' =

ст{со:

(s), . . . ,

Wn (s),

s<^}.

Если

X =

(xt,

@~Y),

t ^ T ,

— мартингал

и sup M1xt | <

оо,

то

найдутся /^-согласованные процессы (f( (t, со),

@~f), i =

...,

п,

такие,

что Р

f f2 (s, со) ds <

оо

и Р-п. н.

для

каждого

1=1о

Х( =

Х0 +

fi (s,

©) dWi (s).

l=\

■'

Доказательство этого

представления

основано

на

формуле

(6.34)

и проводится так

же,

как и в одномерном

случае.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 7120 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ