Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 7119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

§ И

РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА -

МЕЙЕРА

177

Согласно (5.9)

г № . - ) [ ^ д , и , - г ѵИ

-1,

ft+I

где I и m определяются из условий tin) <

s <

4+ь

< t < ^ + i-

Не ограничивая общности, можно

считать,

что

t\n) = s,

tm\\ = t. Тогда

Xt J g{n)(u, со)dWu \ T l

M { xtg (t{£ \ со) Г

)

Kk<m

M( M(ДГ, I

«((»») [® >i

- W

t^ k ^ ttl

*k + \

1г і Г ' } 1

I 8 (^>

“) f

W {n)I %(n)

1 ^ -1 ,

(5.10)

/<*<*

k+x

‘*+‘1

где

Ml*W-“)[r.й,-Ѵ ]ѵд,Г.1=

M I g

•*>M Г

« , -

.p) ( * « ,

*.p) I * * > ]

- } -

M j g p p ,

в) M |<дг, r> („ (

<x, r> („

IГ

„ ] IJT, j =

M j * ft”', в) [<*,

Г )(и i -

(*,

Г>(„ ] I !F, j .

(5.11)

Из

(5.10) и (5.11) следует, что

Xt I

g{n) (и, CO) dWu \ T S = M

J gW (и, со) rf <x, W)u\ 9-1

. (5.12)

Переходя в (5.12) к пределу при п->оо,

получаем,

что Р-п. и.

І.і.ш. М

X, J g<»)(«, (O )r fr j^

П->оо

jg(M,

<o)rf(x,

W)U\ST,

(5.13)

Итак,

М [<лг, y)t — (х, */>J

М jg (u , со)d(x, W)u\r,

178 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

где процесс J g(u, &)d{x,W)u можно представить в виде раз-

ности двух натуральных возрастающих процессов. Поэтому согласно теореме 5.2 (х, y)t допускает представление (5.8).

Заключительная часть леммы вытекает из доказываемой

ниже леммы 5.5.

т е о р е м ы

5.3.

Пусть

(g(t,

со), @~t),

Д о к а з а т е л ь с т в о

t ^ T ,

— функция,

удовлетворяющая

условиям

леммы

5.1

такая,

что g2(t, w) — g (t, и>) и J g (t, со) dt = 0

(P-п. н.). Покажем,

что тогда

и I

g(t, u>)d{x, W)t = Q (P-п. h.).

С этой целью положим yt = J g(s, (a)dWs. Ясно,

что процесс

Y — (y, @~t), t ^ T ,

является

квадратично интегрируемым мар

тингалом

и по лемме 5.1

(х,

г/)* = J

g (s, со) d {X, W)s.

(5.14)

Но Му2=

М J g2(s, со) ds =

Поэтому yt = 0 (Р-п. н.), t ^ T ,

и,

(Р-п. н.),

t ^ T .

Из (5.14)

теперь следует, что

значит, (х, y)t = 0

J g(s, со) с/(a, 1F)s=

(Р-п. н.).

(5.15)

Определим в измеримом пространстве ([0, Г ]Х ^ . Я[0. п Х ^ г )

меру Q( •), положив ее на множествах S X A, S е

^ (о, т\, А^$~т

равной

Q (5X > 1)=

dP (со).

Тогда

из

(5.15) вытекает,

что мера

Q абсолютно

непрерывна

по мере Р, где Р (S X А) ~

Я (S) Р (Л), Я— мера Лебега, Я {dt) =

dt.

Следовательно,

найдется

такая

т] X ^Ѵизмеримая

функ

ц и я / ^ , со) с J

J \f(t, со) J dt dP (со) < оо, что

п о

Q ( S X ^ ) =

j f ( f , ö ) ö f ^ P ( c o ) .

Л s

§ И	РАЗЛОЖЕНИЕ		Д У Б А - М Е Й Е Р А			179
Отсюда находим				t
				t
J (х, W)t öfP (со) ==			J	J f ( s, со)ds dP(co),
и в силу произвольности		множества			А е ЗГТ
		t
(х,	W)t =	I f(s,		со)ds	(Р-п. н.)	(5.16)
		о
для всех t, 0 t ^	Т.

Полученное представление (5.16) не есть еще требуемое представление (5.7), поскольку из проведенного доказательства

вытекает	лишь, что функция f(t, со) является Щ0, т\ X ^ - и з м е
римой, и	не	вытекает, что	при каждом	фиксированном	t она
^-измерима.		что на самом	деле существует вариант		функ
Покажем,
ции f(t, со), ^-измеримый при каждом t,				(Напомним,
что производная Радона — Никодима f(t,				со) определяется	одно

значно лишь Р-п. н.) Вытекает это непосредственно из следую

щего общего	предложения.
Л е м м а	5.2.	Пусть (й, ЗГ, Р) — полное вероятностное про
странство и (ЗГt>,		t ^ O , — непрерывное справа семейство а-под-

алгебр ёГ, пополненных множествами из ёГ нулевой вероят

ности. Предположим, что $		X	-измеримая		функция	F(t, со)
являемся	ёГг измеримой при	каждом		0 и Р-п. н. абсолютно
непрерывной,
	F(t, оо)= j		f(s, со) ds,
		о
где $ X	-измеримая функция f{s, со) такова,				что
	Р j j I f (s, со) I ds	<	оо I =	1,	0.
	о
Тогда найдется такая ЗГ(-измеримая при каждом						t ^ O
функция	f (t, со), что
	о		(Р-п. н.),		t ^ O ,
и	о
и

180

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

функция

f(t, со)

непрерывна

Р-п. н.

(по t ^ T ) ,

то

можно

взять f(t, a) = f(t,

со).

Действи

тельно, в этом

случае

f(t,

со) = lim F {t + A’ a )~ F{t' m)-

(5.17)

д*о

и при

каждом

t ^ . T

величины

f(t,

со)

будут ^-изм ерим ы

в силу непрерывности

справа

семейства F =

Если же функция f(t, со) не является непрерывной, то рас

смотрим последовательность непрерывных

функций | fn (t,

со)=

— п Г e- 'l(<-s)/:(s,

со)ds,

п — 1,

... і.

Известно,

что

эта

по-

что с вероятностью 1

следовательность

обладает тем свойством,

lim

J I f(t,

©) — fn(t> со) \dt =

(5.18)

П->оо

Пусть f (t,

со) — предел

этой

последовательности

по

мере

Я X Р.

где Я — мера Лебега на [0, Г], и

(t, со), Â =

2, . - •}—

подпоследовательность

последовательности

{fn(t,

со),

п — 1,

2, ...} ,

сходящаяся

п.

н.

по мере Я Х Р к f

(t, со).

fn (t, со),

Покажем теперь, что при

каждом

t ^

Т величины

п — 1,

2, . . . ,

следовательно,

и fnk (t,

со),

k = \ ,

. . . , и

f (t, со) ^-измеримы. Для этого рассмотрим последовательность дифференциальных уравнений

x{tn) = — nxf~> nF (t, со),	п =	1 , 2 , . . . , х(0п>— 0. (5.19)
Ясно, что величины
t
х ( п ) — п J е - п (t - s ) f ( S)		t f g

при каждом t Т ^-измеримы. Следовательно, таковыми же являются и величины х{пК

Покажем теперь, что x f ] — fn(t, со).

§ И			РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА -					МЕЙЕРА			181
Действительно, из (5.19) и определения F(i,										©) находим, что
х[п) — n[F(t,	©) —			=
	t				t			s
I	f(s,(£>)ds — n J e~n{t~s) J							f (и, ©) du ds
0	t				0		0	t		.
г	t				t		,	t		.
I	f{s,		oo) ds — J / (s,			со) j n I e~n<*-“>du J ds
									t
									= n J e - n^-^f(s, a>)ds,
									о
что доказывает ^-измеримость (при каждом										t ^ T ) величин
fn(t, ©), п =	1,	2,	...	Наконец,		из	(5.18)		следует, что
t				t
J I f (s,	©) I ds =			J I f{s, ©) \|ds			<	oo	(Р-п. и.),		^ > 0 .
о				о
Лемма доказана.						&) =		(х, W)t, получаем требуе
Применяя эту			лемму к F(t,			&) =		(х, W)t, получаем требуе
мое представление (5.7).					Остается		лишь показать,				что в этом
			т
представлении		М J a2{s,			a>)ds <	oo.
Для с > 0			о		©) = е-с I “			“) Ч a {t, ю) \|		и
Для с > 0		пусть b(t,			©) = е-с I “			“) Ч a {t, ю) \|		и
				t
		Уі— \ e_c\|a<s’“)lsign a(s,							(o)dWs.
				о

Процесс У = {yt, g~t), t^.T,			является квадратично интегрируемым
мартингалом, и по лемме			5.1
		t
(X, y)t=	I e_cla(s,“)lsigna(s, ©)d(x,					W)s =
t	о						t
t	e~cIa(5' 1[sign а (s, ©)] а (s,					©) ds =	t	b (s, ©) ds.
= j	e~cIa(5' 1[sign а (s, ©)] а (s,					©) ds =	J	b (s, ©) ds.	(5.20)
о							о
Ясно,	что функция b — b(t,			©),	0 ^ t		T,	является	неупре
ждающей,		ограниченной	(\| b(t,	©	) \|^ / ( < 00			Р-п. н.) и , следо
вательно,		принадлежащей	классу		Шт (см. определение				4 в § 2
гл. 4).	По лемме 4.4 найдется				последовательность				простых

182		КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ									[ГЛ. S
функций bn{t, а>),			п — 1,			2 , . . .	(соответствующих			разбиениям
0 = t{o) < t\n)< . . .			< t n ] = T,				max \| t f h	— t\n) \| -*• 0,			n->oo),
таких,	что
	I M\| b(t,			со) — bn(t,			co) \|2cft-*0,	r t — > o o .
Из	очевидного равенства
			Л«)				,(«)
			г/+і								ds
		( o) =	J	ö	(s,	со) ds	J [bn ( s ,	co) —	b (s,	m ) ]	ds
			An)				An)		4
	bn. ( t f ,		—			4	4+1		4
	bn. ( t f ,		An)		_	An)	An)	_	An)
			4	+1

и^-измеримости функций bn{tf, со) следует, что

	ds
b n { t f ,	+

Обозначим

bn(t, fi>) =

t f h - t f )

§ П	РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА -		МЕЙЕРА	183
Тогда
т	п—I
М I bl (t, <o) dt =	М 2 bl	со) [#>, -	1¥>\ <
	/=О

Лп)

7+і

	J	М Г 6 „ (S,
	Іп\	<-
< 2 М J 5*(/, <о)Л +	2М ^ —
о	/ = о	Т
Т		Т
^ 2М J b2n(s,	со) ds -J- 2М J* [ö„(s,
о		о

<а) — è ( s , со) I

d s

f(л)( _ fin)

со) — b(s, a)fds. (5.21)

	Оценим сверху величину					М J b2n(t,		v>)dt.	Из	определения
						о
функции 5„(/, со) и соотношения (5.20) получаем
	г7~		п - 1		JM j(x,	-	{X, у ) ф		I	jj*
М J bl (t,		со) dt =		М		/(я)	_	fin)		.	(5.22)
о				і=о		7+1		7
Но	при	O ^ s	< t ^ T		в соответствии с (5.4),					неравенством
Коши — Буняковского					и (4.49)
М	(М [(х, y)t-(x,y)s\$-s})2
		t — S								n\ 2
	t —s м I M									n\ 2
	t —s м I M		(xt — xs) J e~c1a<“>a) 1sign a (и, <o) dWu \
		'	L		c
		t — s		M ( M [(x, — xsf I T s\ X
		XM	( j	ß -2c1a(к. <o) 11 sign а (и,				со) \|йн
						< M [xt — xs]2 =			Mx2 — Mx2 <		Mx2.
	Из этого неравенства и (5.22) получаем
				П—1
М J bla, ©)df <				2	м [•Х7„)	— /(„)] =		Мхг — Мхо < Mr <			00,
				/=0	L 7+1	Ч J
				/=0

184 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

что вместе с (5.21) дает следующую оценку:
т			т		т
М J Ь2 (t, со) dt <		2М I		bl {t, со)dt + 2М J [Ья {t,			со) — b (t, co)]2 dt <
0			0		0
					T
				< 4Ma2 + 6M J [bn (t, co) — b (t, co)]2 dt.
					о
Отсюда,	переходя		к	пределу при п —>оо,			находим, что для
любого с > 0
	г				г
М J g-2CI		а «, а» Іа2 ш) d t =			\|у\| J Ь2 (t,	ö) dt < 4M*2,
	о				о
а значит,	по лемме		Фату
			т
		М J a2{t, со) dt			4Мх^. <	оо.
			о

Теорема доказана.

§2. Представление квадратично интегрируемых мартингалов

1.Применим теорему 5.3 предшествующего параграфа для доказательства следующего важного результата о представлении квадратично интегрируемых мартингалов в виде суммы двух ортогональных мартингалов, один из которых есть стохасти ческий интеграл по винеровскому процессу.

Т е о р е м а		5.4. Пусть семейство F —					t ^ T ,	непрерывно
справа,	мартингал X — (xt, £Ft) е				Жт и W =		(Wt, ZTt) — винеров-
ский процесс.		Тогда существует такой F-согласованный процесс
		т
(a(t, со),	STt) с М J		a2 (s,(£>) ds< оо и мартингал Z={zt, SF() е / г,
что для	всех	о
что для	всех	t ^ T	t
			t
		xt =	J a(s, a^dWs + Zt			(P-п. h .).		(5.23)
			о
Мартингалы Z =			(zt,	t) и Y =	(yt,	t), где yt = J		a (s, co) dWs,
ортогональны (Z1Y), t .				e.			о
ортогональны (Z1Y), t .				e.
			{z,	y)t = 0,	t< ,T .			(5.24)

§ 2]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ

185

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме 5.3

можно найти процесс

(a(t, со),

t) такой,

что М J

a2(t,

со) dt < оо и

(х,

W)t =

a(s,

(o)ds.

(5.25)

Положим

yt =

I a (s, со) dWs

zt = xt — yt.

Очевидно,

что

Z — (zt,

и по лемме 5.1

(x,

y)t =

a(s, со)d(x,

№ ).,= J

a2(s,

со)ds.

(5.26)

Поэтому

<2 , y)t =

{x — у , y)t =

{x,

y)t — (y)t = 0,

T . e .

Z 1 Y .

З а м е ч а н и е

Если

Ых2 =

M J a2 (s, со) ds,

то

zt — 0

(Р-п. н.),

/ < Т, и

xt — J

a(s,

K>)dWs.

Действительно,

N\x2= M

(zt + y ty =

M z] +

M y\.

Но Мх2= М у 2= Ы J a2(s, ®)ds.

Поэтому

Mz^ — 0,

и, следова-

тельно, zt — 0

(Р-п. н.), t ^ T .

Wt —

З а м е ч а н и е

Если

условиях

теоремы

5.4

= (Wi (t),

. . . ,

Wn(t)) — л-мерный

винеровский

процесс

относи

тельно

t ^ T ,

то

аналогичным образом

доказывается,

что

существуют

Д-согласованные

процессы

(а* (5, со),

! F S)

с М

а? (s, со) ds< оо, і == 1, ...,

п, и мартингал Z = (z„

такие, что

/г

Х( = У^ {а . (s. и) с/Гг(s) + z,.

i=i a

186

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 9

При этом

Пt

М	( z t 2 J	at (s, со) dWt (s) I = 0 ,	/ <	T.
	i=1о
2. Всякий	случайный процесс X — (xt, &~t),		t ^ T , вида
	t	т
xt = J a (s,		co) dWs, M j a2 (s, to) ds <		oo
	о	о

является квадратично интегрируемым мартингалом. Справедлив в определенном смысле и обратный результат.

Т е о р е м а 5.5. Пусть W = {Wt, STY) — винеровский процесс, t ^ T , и Мт — класс квадратично интегрируемых мартингалов

X = (xt, &~¥) с			sup Мх? <		оо	и траекториями,			непрерывными
	4	'	Г		ѴР				(		w\
справа.		Тогда, если X е			ѴР				(		w\
справа.		Тогда, если X е		Мт >то найдется процесс (f(s,						со), @~s ),
		т
s ^ . T , с		М J /2 (s, со) ds <			оо	и такой, что для		всех t
		о		t
				t
		xt ~ x о +		J	f i s><ü)dWs		(Р-п. н.).				(5.27)
				о
	Д о к а з а т е л ь с т в о .				Прежде всего отметим, что					(попол
ненная)		система	ст-алгебр Fw— {@~Y),				t ^ . T ,	непрерывна			(тео
рема 4.3). По теореме 5.3						t
						t
			{х,	W)t — j f (s, со) ds,
						О
Где	f(s,	со) ^F f-измерима,				Положим xt — xt — х0.					Ясно,
						t
что	X =	(xt, ! F Y ) ^ M t		и	{х ,	W)t = J f(s, со) cis.			Тогда	по тео*
реме 5.4						о
реме 5.4					t
					t
			Xt =	j	f (s, со) dWs +		zt,
		t		0
		t
где	№zt J f (s, co) dWs = 0,				t <	T.
	о						случае		zt — 0	(Р-п. н.)
	Покажем, что в рассматриваемом						случае		zt — 0	(Р-п. н.)
для	всех t ^ T .		Поскольку при каждом t величины zt							^ "f-из

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 7119 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ