книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 4]

С И Л Ь Н Ы Е

и

с л а б ы е р е ш е н и я

167

Имеем

Ф* +1(0 —

Ф* (О—

/ М « )[Ф *(5 ) — Ф л -,(« )№

(4.161)

и

о

п

гt

пгг

п

2 |[®1+,«-ф.мы<12 K/<s>i 2 і[ф»м-ф.~,му*-

і, /= 1

О і, 1=1

і, 1=1

Поскольку в силу (4.160)

t

п

2

| [ Ф , ( 0

— Ф о ( 0 ]

| < / S

K /( s ) |d s < оо,

0 < * < 1 ,

1,1= I

‘

0

і, 1=1

то из

(4.161)

получаем, что

2 I «1/(s)'0 I l,dsji=i

<

2

1

!

W O - K . W y c * ,

1,1=1

<,/=1

FT ( J*

S

^i

Iraf s</)

*

Отсюда следует, что

матричный

ряд

оо

Фо(0 +

2 [Ф&+1(0 —

Ф* (01

fc=0

сходится абсолютно и равномерно к матрице Ф, с непрерывными

элементами.

Поэтому

после

предельного перехода

при k —>oo

в (4.160) убеждаемся в существовании решения уравнения

(4.159). Матрица Ф, почти всюду, 0 < П < !1 , дифференцируема,

и производная ее определителя | Ф* |

^ J - * = S p a 1(/)-|®/ l,

I Ф0І =

1,

почти

всюду,

O^fsS^l .

Отсюда

находим

I Ф,|=^ exp

Sp ax(s) dsj ,

0 ^ / < l ,

и матрица Ф, невырожденная.

Покажем теперь, что решение уравнения (4.159) единственно.

Поскольку матрица

Ф* не вырождается, то из тождества

Ф<ФГ‘ = £ находим,

что почти

всюду,

O^fsS^l,

ч-1

I

d(bf

_i

йф:

“

- Ф 7

Ф* lai (t).

(4.162)

dt

И Г ф*

168

Ст о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы

[гл. 4

Пусть Ф;,

Ф0 = Е ,—еще одно решение уравнения (4.159). Тогда

в силу (4.159)

и (4.162) почти всюду, 0 < Д ^ 1 ,

^ ( Ф Г ’Ф ^ О ,

что доказывает совпадение непрерывных матриц

Ф/ и Ф; при

всех 0 t

1.

того чтобы убедиться в существовании силь­

Теперь,

для

нений (4.157),

достаточно применить формулу Ито к предста­

влению (4.158)

для xt.

Для доказательства единственности решения системы урав­

нений (4.157) заметим, что разность txt — xt — xt двух любых

ее решений xt, xt удовлетворяет

уравнению

t

А* = До +

{ ф («) As

Отсюда

по2n

lM «n2 l4oL+Jl

St

n

i=1

1=1

(=1

0 i, /=I

лемме 4.13 имеем

ia<//(s)ids

c P {

=

x02jlM^SlMieXP J

Yi

1=1

i=l

1 0

i, /=1

и следовательно,

любые

два

решения

xt,

xt,

O ^ . t ^ . 1 ,

xq

=

t)}=

1 совпадают Р-п. н. при всех t.

З а м е ч а н и е .

Наряду с (4.157) рассмотрим уравнение

dxt =

[а0 (0 +

а, (t) xt +

а2 (t) l t] dt +

b (t) dlt, x0=

ц,

(4.163)

где | =

[(£і(0. •••> ln{t)), @~t]—процесс

Ито

с дифференциалом

äh = аД®) dt +

ß,(co) dWt,

(4.164)

W = ([Wi (t), . . . , Wn(t)\, @~t) — винеровский

процесс,

а

вектор

(аДсо),

&~t),

0 < Д ^ 7 \ аД<й) =

[а1(^, со), . . . ,

an(t, со)],

и матрицы

(ß/(®)>

&~t)>

О

ß,(co) =

llßi/Д, и) II,

и

b(t) =

\\bii(t)\\ по­

рядка

(п X п) обладают следующими свойствами:

Р

I

J I

bu (t) а, (t, со) \dt

<

оо I

=

1,

і,

/ == 1,

. . . ,

п,

г

т

1

(4.165)

Р

I

J Фи (0 ß/ft Ф, ®))2dt <

оо I =

1,

/,

k = 1,

. . . ,

n.

Если вектор а0 (t) = \ат (t),

..., аы Щ и матрицы

а, (t) = || а™ (t) ||,

а2(t) = Iafj(t)I порядка («X«)

удовлетворяют предположениям

теоремы 4.10, то, аналогично доказательству теоремы 4.10,

устанавливается,

что

Ф< Л +

J

ф

7

'

(« 0

(S)а 2 (S)+У

d s + / Ф 5

(S)

d l

,

(4.166)

где Ф, удовлетворяет (4.159), является единственным сильным

решением уравнения

(4.163).

7.

Рассмотрим

теперь вопрос о существовании

и единствен­

ности -слабого решения

уравнения

d% = a(t,

l)dt + dWt,

£о =

0-

(4.167)

Пусть (Сі, $ і)—измеримое пространство непрерывных на [0, 1]

функций

x =

(xt),

0 < і( < 1, с *0 =

0,

<Mt = o{x: xs,

s<X}. Обо­

значим ѵвинеровскую меру на (С,, Л,). Тогда процесс W— (Wt (*)),

0 ^ / ^ 1 ,

на

пространстве

(С1(

ѵ)

будет винеровским про­

цессом, если

определить

Wt {x) = xt.

функционал

Т е о р е м а

4.11.

Пусть

неупреждающий

a — (a(t,

*)),

0 < г <

1,

а: е

С[,

таков,

что

V

1

x)dt < оо

(4.168)

о а2 (t,

J

Мѵехр

о

a(t,

x)dWi(x) — -

і

a2(t,J

x) dt

=

1,

(4.169)

о

где Му-^-усреднение по мере ѵ. Тогда уравнение (4.167) имеет

слабое решение.

Для

доказательства

существования

Д о к а з а т е л ь с т в о .

такого решения

достаточно построить

совокупность

объектов

.я£ = (й,

8.

Р,

W, £),

удовлетворяющих

требованиям

опре­

деления

Cj, £Г =

SFt = $ t. В качестве меры Р рас­

Возьмем Q =

смотрим

меру

с

дифференциалом

Р (dco) =

р {W(со)) v (dco), где

р {W (<в)) =

ехр

170

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Wt = Wt - J a(s, W)ds, 0 < * < 1 .

(4.170)

сительно

системы

ст-алгебр

и

меры Р). Поэтому, если

положить

—

то из (4.170)

найдем,

что

t

a{s,l)d s + Wt,

0 < f < l .

(4.171)

о

Итак,

построенная совокупность

объектов

= (Q, 9 ~, @~t,

Р, W, £) образует

слабое решение уравнения (4.167).

З а м е ч а н и е

1. Пусть pw и щ — меры,

отвечающие про­

цессам

W и

Тогда

ИбИ) =

Р(1е= 4) = P ( f e = А ) =

J

р ( ^ (о)) ѵ (da») ==

(ws Л}

== J

р(ІГ((о))ф^((д).

(1Ре4)

Поэтому

m ■<

и

и согласно лемме 6.8

«с pi-

Таким обра­

зом, ji.£

~

-^(Г (со))== р(Г (со))

(Р-п.н.).

(4.172)

З а м е ч а н и е

2. В силу (4.168)

J a2{t, W) dt <

ооj

== 1,

(4.173)

Т е о р е м а 4.12. Пусть

выполнены условия теоремы 4.11.

Тогда в классе решений,

удовлетворяющих условию (4.173),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть — (Q,

3rt, Р, W, I) — по­

строенное выше решение

и s4-' — (Q', ST' , &"t, P, W', %') — еще

§ 41

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ

РЕШЕНИЯ

171

одно слабое

решение с

P' ( j а2(/,

g ') ^ < ° o j = l.

(4.174)

Тогда по теореме 7.7 ң , ~

р,^, и

^ ( Г ( с о ')) = р(ІГ(со')),

что вместе с (4.172) дает требуемое

равенство р?/ (Л) ==

(Л).

по существу, следствием теорем 4.11 и 4.12.

Т е о р е м а

4.13.

Пусть функционал a = (a{t, х)),

O s ^ / ^ l ,

j:e C i,

таков,

что для

всякого

х е С ,

I

I

a2(t,

x )d t< оо.

(4.175)

о

Тогда

условие (4.169)

является

необходимым и

достаточным

для существования

и единственности слабого решения уравне­

ния (4.167).

Достаточность следует из теорем 4.11

Д о к а з а т е л ь с т в о .

и 4.12.

Для

доказательства необходимости заметим,

что если

j^ = (Q, SF,

и Р, W, I) — некоторое слабое решение,

то в силу

условия (4.175) из теоремы 7.7

вытекает, что Щ ~

Pw и

(IF (со))-р (IF(со)).

Значит,

Pt (Q) =

J р (IF (©)) dpw (со) = 1,

о

что совпадает с равенством (4.169).

З а м е ч а н и е . Достаточные

условия выполнимости равен­

ства (4.169) приведены

в § 2 гл. 6.

I.

Пусть

(Q, FF, Р) — полное

вероятностное пространство,

F = (!Ft),

О, — неубывающее непрерывное справа семейство

сг-подалгебр Ѳ~,

каждая из которых

пополнена множествами

мартингалов, т. е. непрерывных справа мартингалов X =

(xt, @~t),

0 ^ - t ^ . T ,

c sup Mx* <

oo. Через Мт будут обозначаться

мартин-

галы

X =

(xt, SFt),

имеющие Р-п.

н.

непрерывные

траектории и удовлетворяющие условию sup Мх? <

оо. Очевидно,

t<T

Мт^Мт-

В

случае

Т — оо

классы

М »

и Ml° будут

обозна­

чаться

соответственно

М и М с■

О

г

д

е

мартингал

Случайный

процесс

Z =

[x], &~t),

X — (xt,

t) s

Жт>является

неотрицательным

субмартингалом

и согласно теореме

3.7

принадлежит

классу

DL,

а в случае

Т < оо — классу D.

Применяя

разложение

Дуба — Мейера (теорема

3.8

и след­

ствие

из

нее) к субмартингалу

Z — ix^SF^,

0 ^ . t ^ . T < o o ,

получаем

следующий

результат.

Т е о р е м а

5.1. Для

каждого

Х ^ М т найдется единствен­

ный возрастающий процесс Л, =

(х)„

t ^ . T ,

такой, что

для

всех t, 0 ^

t

Т,

x] = mt + {x)t

(Р-п. н.),

(5.1)

где (m t,

t),

t ^ T ,

— мартингал.

При

этом для t ^ s

М Их* — xsf

| ЗД,] — М [(x)/ — (x)sI FFs]

(Р-п. H.).

(5.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно установить лишь (5.2).

Но (mt, &~t) и (xt, &~t) — мартингалы,

поэтому

М ( ш , -

т ,I У . ) =

О ,

М [ * > - 4 | f T

J =

M [ ( * , - x , f I ( T J ( Р - п . н . ) ,

и (5.2) вытекает из (5.1).

П р и м е р

1.

Пусть

X ~ (Wt, @~t) — винеровский

процесс.

Тогда

(Wt) — t (Р-п. н.).

—не­

П р и м е р

2. Пусть a{t, со)е Щг и X = (х(, !Г(), t ^ T ,

прерывный мартингал х ,=

J a(s, a)dWs. Тогда по формуле Ито

t

о

t

х\ = 2 J a(s, со) xs dWs -f J а2(s, со) ds.

о

о

Непосредственно

проверяется, что процесс

t

t

yt S32 J

a(s, со) xs dWs — x2— j a2 (s, со) ds

о

t

о

является мартингалом, а процесс J

a2(s, co)ds натурален.

По-

o

этому в рассматриваемом примере

t

(х), =

J а2(s, со) ds.

о

2.

В дальнейшем

нам понадобится аналог разложения (5.1)

для произведения

xt • yt

двух квадратично интегрируемых мар­

тингалов X — (xt,&~t) и

Y — {yt,é~t),

У ^Ж т -

Тогда

найдутся

Т е о р е м а

5.2.

Пусть

Х ^ Ж Т,

единственный

(с точностью до стохастической

эквивалентности)

процесс {х, y)t, являющийся

разностью двух

натуральных

воз­

растающих процессов, и мартингал

(mt, 9~t)

такие,

что

для

всех

t,

O ^ t ^ T ,

xtyt = tnt +

{x, y)t

(P-п. H.).

(5.3)

При

этом Р-п. н.

М \{xt — хя) (у, — ys) I T s\ =

М [(х, y)t — {х, y)sI ЗГя].

(5.4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

прежде

всего, что

суще­

ствуют

процессы

mt и

(х, y)t с указанными свойствами, для

которых выполнено (5.3). Согласно (5.1)

(*, — dt)2 = mt~y+ (х — y)t,

(xt + ytf = mf+y + {х + y)t,

где приняты

очевидные

обозначения.

174

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Определим

теперь

(х, у), = J

[(х + y)t — {X — у)'} И mt — xtyt — (х,

y)t.

В силу формулы

ab =

-j[(a + b)2— (а — b f ]

М [xtyt — xsysI 3TS] =

M [(xt — xs) (yt — ys) I F s]=

=

{ m {\{Xi +

yt) -

(xs +

ys) f - l(xt - yt) -

(xs -

ys) f I STs) =

=

M

~ ( x +

0>sl — [<* — y)t —

(Х ~

y)s\\3~s) =

=

|-M {[(x +

y)t — (x — y)t\ — [(x + y)s — ( x — г/)Л F s} =

= M[(x, y)t — (x, y)s\ srs].

Отсюда следует,

что процесс (mt, SFt) есть мартингал.

Пусть теперь имеется еще одно представление xtyt =

т\-f- A't,

где

(m't, F t) — мартингал,

a

A't — процесс,

являющийся

раз­

ностью двух натуральных возрастающих процессов.

Если

время

t дискретно

(t = 0,

1, . . . , N),

то равенства

m't =

mt,

A't — (x, y)t (Р-п.

н.)

устанавливаются

следующим

об­

разом.

Поскольку

At+ 1

At = (xt+lyt+1

xtyг)

(mt+i

m;)>

то в силу ^-измеримости

A't+\ и равенства

(5.4)

A't+\ — A 't = M [* і + іУі + і — х і Уі I

&~t] =

<х >У )і+1— (*»

(Р'п- н.).

Но

А'0 — (х ,у )0 — 0.

Поэтому

A't =

(x, y)t и

m't — mt

(Р-п. н.)

для

каждого ^ =

0,

1, . . . ,

N.

единственность

разложе­

Если же время

t непрерывно, то

З а м е ч а н и е .

Во избежание недоразумений отметим,

что,

вообще

говоря,

(х + y )t ¥= (x)t + (y )t.

Равенство (х +

y )t ~

~ { x ) t +

(y)t>

будет выполнено Р-п. н. в том случае, когда

мартингалы

X =

(xt, 3Tt) и У = (yt, @~t)

ортогональны (X

X У),

т. е. (х, y)t = 0,

В силу единственности разложения (5.3)

условие (х,

y)t =

0, как нетрудно показать, эквивалентно тому,

П р и м е р

3.

Пусть

W — (Wt,

^ — винеровский процесс и

xt =

J

t

t

a (s, со) dWs,

y t — j b (s, со) dWs,

где

о

о

T

T

M j a2 (s, a) ds < oo,

M J b2 (s, e>)ds< oo.

о

0

Тогда

X — (xt, SFt) <= M T, Y =

(yt, 5Ft) «= Л т и по формуле

Ито

S

t

xtHt = \

[xsb(s>®) + ysa(s, ю)] dWs + J а(s, со) 6 (s, со) ds.

Как и

в примере

2, показывается, что процесс J [xsb (s, со) +

+ ysa (s, ю)] dW является мартингалом, а

о

(х, y)t = J

a (s, со) b (s, со) ds.

(5.5)

В частности,

если

yt =

Wt, т.

е.

b(s, <»)==1,

то

t

( x , W ) t = j

a(s,(>))ds

(Р-п. н.),

t ^ T .

(5.6)

о

интегрируемых

мартингалов

состоит

в том, что представле­

ние (5.6) справедливо для любого мартингала X =

(xt, STt) е J lT,

t

а не только в случае,

когда xt = J a{s, &)dWs. Точный

резуль-

о

тат дается в следующей теореме.

Жт и

Т е о р е м а

5.3.

Пусть

мартингал X = (xt, @~t) е

W — (Wt,

t) — винеровский процесс. Предположим, что семей­

ство о-алгебр F = (@~t),

Т,

непрерывно справа,

т. е.

=

для всех t,

ChS^t^T,ede

@~т+== £ГТ. Тогда найдется случайный

т

процесс (a(t, со), @~t) с

М J a2(t, а) dt <

оо такой,

что для всех t,

U ^ I

о

t

(5.7)

{х, W )t=

^ a{s, a)ds

(Р-п. н.).

о

176

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Предварительно докажем такую лемму.

t ^ T ,

непрерывно

Л е м м а 5.1.

Пусть семейство

F =

(@~t),

справа, W — (Wt,

t) — винеровский процесс и X — (xt, @~t) е J lT.

Пусть случайный

процесс (g (t, со),

t),

t ^ . T ,

измерим относи­

процессами,

имеющими

непрерывные

слева

траектории

и

т

t

М J g2{s, со){d |(x, W)s I +

ds) < оо. Тогда, еслиyt — J g(s, со) dWs,

о

о

то Р-п. н.

t

(х,

y )t=

J

g (S, со) d {.X, W)s,

(5.8)

о

где интеграл понимается как

интеграл Лебега — Стилтьеса.

Если

для

почти

всех

со функция (х, W)t абсолютно непре­

рывна,

то равенство

(5.8)

выполняется

для

любого

процесса

(g (t, со), @~і),

/ < 7 \

удовлетворяющего условию

т

М

J

g2(s, со) (d I (х,

W)s j +

ds) <

оо.

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

g{n){t, со),

п = 1 ,

2, . . . ,

— по-

следовительность

простых

функций,

ö

оо

S

C ö ) x

/ (fl)

1

( 0 , 0 =

^

)

<

. . .

( 5

. 9 )

g W ( t ,

) =

g

^

,

T

,

k—0

\ Â ’

kT”1J

М К*. y )t -

{х, y)sI @~s]— М \{xt — xs) {yt — ys) I £%] -

= M

t

Xt j

g(u, c*)dWu\ T s

■ 0

t

1

= l.i.m. M x< j

g(n)(u,w)dWu\$ -s .

tl- > oo

5