книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

158

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

м 2 і ?и(0 <

1 + м 2 л*"* ест{

і = 1

V

і = 1

Mrfm влечет за

собой и конечность

при любом t, 0 < Д ^ 1

(и вообще при любом

О,

если

уравнение (4.112)

рассматри­

вается

на

полупрямой

0 ^ ^ < о о ) .

Рассмотрим

теперь анало­

гичный вопрос относительно экспоненциальных моментов.

Т е о р е м а

4.7.

Пусть

£ = (£,),

0 = 0 ^ 7 ’, — непрерывный

случайный

процесс,

являющийся

сильным

решением стохасти­

ческого дифференциального

уравнения

dxt = a(t, x,)dt +

b(t,

x,)dWt,

х0 =

т],

(4.137)

где г| —

^-измеримая

случайная

величина

с

Мееті2 <

оо

(4.138)

для некоторого

е > 0

и

функции

a(t, у),

b(t,

у),

y e R 1, та­

ковы,

что

аЦі,

у )<,К 2( 1 + у 2), \b(t,у ) \ ^ К

(4.139)

(К — константа).

6(7’) > 0 ,

что

Тогда найдется такое 6 =

sup

Äfc2

(4.140)

Me ' < оо.

о<г<г

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

сначала частный случай

уравнения

(4.137):

dxt — axt dt-\-bdWt,

х0 = т),

(4.141)

где а ^ О

и b ^

0 — константы. Покажем, что тогда

утвержде­

ние теоремы справедливо.

Нетрудно проверить, что единственное (непрерывное) реше­

ние

уравнения

(4.141)

задается

формулой

еat

t

, =

e~as dWs .

Ясно,

что

yt =

b J

e~as dWs

является

гауссовской

случайной

о

t

т

I = е~2аТ min

1

е

5R '

2 ) ’

Тогда в силу независимости величин ті и yt

2

ЬЛе&ІІ

М exp [2öe2at [rf +

у2]} —

=

М exp {2öe2a<r{-} М exp {2öe2aty2t} ^

ЫегГ[2Ые5R ^

2

2

^

Мееті2

sup Мезд Ѵ/ <

оо.

0 < 2 < Г

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.

По формуле Ито

I f = У

t

у ds + n (2n -

t

у

+

+ 2n j l f ~ l a(s,

1) J |f ~ 2b2(s,

ds

0

t

0

+ 2n {

l f - 4 ( s ,

i s)dW s.

0

В силу предположения (4.138) Мт]2/7г < оо для любого

1.

Поэтому согласно (4.113)

t

м | l f - 2b2(s, l s) d s <

ОО,

О

Следовательно,

t

t

M t f < M rf* + 2n J M Jl f - ]a(s, y |d s +

K2n{2n— 1) J M y ~ 2d s <

0

t

t

< M rf1+ 2nK J M (1 +

2 lf) ds +

K2n (2n — 1) J M |f - 2 ds <

о

t

0

t

< M rf +

2nKT + 4nK I M y + K2n(2n — 1) J

M |f - 2ds.

(4.142)

о

0

!т (0 =

Ф т (0 +

f

M s)a (s,

l m) ds +

J l 2(s)b(s,

lm)dWs,

(4.151)

о

0

где фт (0 =

Ф/ дt

их

= i n f ( ^ < l :

sup | cps | > tri), считая xm = 1

A m

,

s*£,t

если sup| q>s | <

m, m — 1,

2, ...

S < 1

T0 уравнение

(4.151)

при каждом

Поскольку

имеет

m = \ ,

2, . . .

непрерывное сильное решение. Далее, как

и в теореме 4.6,

устанавливается,

что при каждом

t, 0 < Д ^ 1 ,

Im(t) сходится при т -> оо

по

вероятности к

некоторому

про­

цессу \(t),

который

удовлетворяет Р-п. н. уравнению

(4.150).

З а м е ч а н и е .

Утверждение

теоремы

4.8

обобщается

на

случай

векторных уравнений

(4.150) с

xt — (х{ (t),

. . . . ,

xn(t)),

ф< = (фі(0>

•••>

Фга(О).

скалярными

процессами Яг =

(ЛД0,

@~t),

U i f O K 1

(г =

1,

2)

и

а {t,

х) =

(а, (t, х),

. . . , ап(t,

*)), b(t, х) =

= || btj(t, х) II (г,

j == 1,

. . . ,

п).

Достаточно

лишь

потребовать,

чтобы процессы ф1=

(фг-(Д, ЗГ() были непрерывными, а функцио­

налы аг(/, х), bij{t, х) удовлетворяли условиям (4.110) и (4.111).

5.

Рассмотрим еще один тип стохастических дифференциаль­

ных уравнений, для которых в гл.

12 будут подробно изучаться

задачи

фильтрации.

Т е о р е м а

4.9. Пусть неупреждающие функционалы a0(t, х),

а, (t, х),

b{t, х), 0

= 0

I, удовлетворяют условиям (4.110) «(4.111),

и пусть I ai(t,

j t ) |^ c

< оо. Тогда, если

ц — @~0-измеримая

слу­

чайная величина

с Mrf < оо, то

1) уравнение

dxt =

[a0(t,

х) +

ax(t, х) xt\dt +

b{t,

х) dWt,

х0 = т),

(4.152)

имеет единственное сильное решение-,

2) если

Мц2т < оо,

m ^ l ,

то

существует такая константа

ст > 0,

что

M|*w< ( l +

Шцт)ест * -

1.

(4.153)

164

с т о х а с т и ч е с к и е

и н т е г р а л ы

[ГЛ. 4

Рассмотрим последовательность процессов £<л)= (£ |п>) ,

0 = 1 ,

2,

являющихся

решениями

уравнений

d ttn) =

[aQ(t,

Iln)) +

ax{t, l {n))gn(l{? )] dt

+ b(t, t n))dW t,

l[n) = r\,

(4.154)

ёп (z)

:

г,

| г | < я ,

п,

\ z \ > п.

Тогда

при каждом

п = \ ,

2, ...

функционал a, (t, y)gn(yt) удо­

Следовательно,

для

каждого

п = 1 ,

2, ...

сильное решение

уравнения (4.154) существует и единственно.

Анализ

доказательства неравенства (4.113) показывает, что

М $ п,)2< (1

+ Мл2)еСі< — 1,

где константа с, не зависит от п. Значит,

sup

sup

М (g W s^ n +

Mif)ec>— 1 < °о,

п

0<<<1 4

'

что с учетом

(4.54)

дает

неравенство

sup М

sup (|(п))2 <

оо.

п

0<*<14

1

Следовательно,

Р{ sup

|g<re>| >

п) ^ -Jj-sup

М

sup

(l(n))2-> 0,

/г-> оо.

(4.155)

o < t < i 1

1

1

п

п

0 < f < і ѵ

'

Положим

Tra = i nf ( ^ ^ l :

sup I g(.n>| ^

n \

считая

т№= 1 ,

если

sup I І (.п) I <

я,

S ^ t

и п,

п' > п,

а =

т

Л т'.

и пусть для заданных п'

s< I 1

1

п

п

Тогда

t Ла

£ < " ; > а - ^ а =

J

K

( S-

l in))}dS +

О

t А О

+ J K ( S ,

^ ) ) g „ ( ^ ) ] ^ +

0

+

J

[0

(5 ,

t '

}) - b ( s , l (n)) ] d w s.

166

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

где Xjv(0 = X] sup

Отсюда получаем

Р { I ^

%

О,

N -* оо,

что в силу

непрерывности процессов |

и |

приводит к

равен­

ству

P{supl

і / 1>

0} =

0.

f<i

Теорема доказана.

6.

Сформулируем еще одну теорему о существовании и виде

сильного решения линейный векторов стохастических диффе­

ренциальных

уравнений.

элементы

вектор-функции ад{Т)~

Т е о р е м а

4.10.

Пусть

=

(«0,(0 . •••>

%n(t))

и

матриц а, (t) =

||а<>>(t)||, ft(^) = ||ö.;.(0||,

і,

/ =

1, . . . ,

п, являются

измеримыми

{детерминированными)

функциями

t,

O ^ f ^ l ,

удовлетворяющими условиям

1

J

1

1

b2tj (t) dt < o*.

[ I а0/ (t)\dt<oo,

I а{}) (0 I dt < oo,

J

6

о

0

Тогда векторное стохастическое дифференциальное уравнение

dxt — {a(j{t)-\-al{t)xt)dt-\-b{t)dWi,

х0 =

т},

(4.157)

с винеровским {относительно системы

(@~t),

t ^

1) процессом

Wt =

{W\{t),

. .. , Wn{t))

имеет, и притом единственное, сильное

решение, определяемое

формулой

xt — Ф< Т1 + J

Ф5 la0(s) ds + J

Ф5 ‘й (s) dWs

(4.158)

где Ф, — фундаментальная матрица {п X п),

t

Ф( =

Е

j ai{s)Os ds

(4.159)

о

{Е — единичная матрица порядка {п X «))•

суще­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде всего покажем, что

ствует решение уравнения (4.159). Для этого рассмотрим после­

довательность {Ф*(0,

k — 0,

1, ...} с