книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 3]

ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ

ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО

1 3 7

Предположим теперь,

что

формула

(4.87)

установлена для

процессов

l {tn). Иначе говоря, пусть для

0 ^ s ^

Т Р-п. н.

fl?.

^о)+

щ и

ѵ п + г л и т « л и

® )+

+ Т % Л и W W U

0»)]dt + j r x (U lf) b a(U о>)dWf .

(4.88)

Тогда, поскольку

sup

| l(rt>— g, I —> 0, п-> оо,

с вероятностью 1,

а функции /,

0</<71'

1

f"x непрерывны, совершая в (4.88) предель­

ный переход, получим, что

f(s, У =

/(0 , у +

J

Щ и h) + rx(U h)a(U *) +

о

s

+ т fZc (U

It) b2(U 0))] dt + I rx {U lt) ь(t, со)dWt .

(4.89)

I Стохастические интегралы

J

f'x (t, g(tn)) bn(t, со) dWt-+ J f'x (t, g,) X

\

n->oo

o

o

из

предшествую­

y,b(t, со)dWt при

в силу

замечания 4

щего параграфа.]

Итак,

достаточно

доказать

формулу (4.89),

предполагая,

что функции a(t,

со)

и b{t,

со)

являются

простыми. При

этом

рассмотреть лишь такие

0, для

которых

l, = to + a t + bWt,

(4.90)

где а = а(со),

b = Ь(со) — некоторые

случайные

величины (не

зависящие от t).

t ^ . t 0, и пусть

Пусть представление (4.90) выполнено для

для простоты

g0 — 0. Тогда,

очевидно, найдется такая функция

ции и = u(t,

W,),

t ^ t 0.

Положим

/ =

[2nt], bW = Wk'2_n- W {k_ i)'2_n, Ь = J r . л = 1,

2, . ... Тогда

по формуле Тейлора после ряда преобразований.

138

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е

И Н Т Е Г Р А Л Ы

[ГЛ . 4

найдем,

что

u(t, Wt) — u{0,

0) =

-

У

[а {к- 2 - \ Г А,_ „) - u ( { k -

1) • 2~п, Wk'2- n)\

+

k<i

k< I

--

1)‘ 2

>^ft.2-«)

u({k — l) - 2

>^(fe_l).2-«)] +

+

[n(f,

W i ) - u ( t -

2~n, r

;.2-„)] =

=

S

K ( ( Ä - D ' 2 " 1, r ft.2_„) A + K

( ( ( Ä - D +Ѳ*) • 2 - rt, r

fe.2_ „ ) -

й</

-И [ ((* -1 ) • 2-". w

,

A ] + S [ < ( ( * - 0 • 2 -“, «

V

,

A,r +

fe<;

+

T

( ( * - ! > • 2 -“, V ».,,.,-») (A*T +

+

у W

K «

((*— !)• 2 -“. IT ,,.,,,-» + ѳ[ ДГ) -

- <

, ( ( *

- D

- Z - “ ,

« Ѵ „ . г-

. )

) ] +

6 » .

(4.91)

где

0fe,

0 '— случайные

величины

такие,

что O ^ 0 fe< n ,

< 0 ' <

1, а lim ört (со) = 0

(Р-п. н.).

П

Заметим теперь, что случайные величины

„„ =

s^|«;(((* - i ) + e,).

2 - ,

w

-■»;(<*- о - 2“”, « ѵ г_„)|

И

f t , - f “P,I< ( ( * — •)■ 2 - ,

+ ѳ; а г ) -

- < ( ( * - ! ) ■ 2-", » V , ,.! - ) |

при п->оо стремятся к нулю с вероятностью

1 в

силу

непре­

и (/, Wt) -

и (0, 0) = 2

((Ä - 1) • 2-", r

fe.2_„) А +

+ S ( » [ ( ( * - 1 ) 2-", « Ѵ „ . г_ „)дГ +

*</

+ І с ( ( *

- D • 2“ n-

«Ѵ „.2г») А) + л . +

ß n + c „ + s,?(ö). (4-92)

§ 3]

ФОРМУЛА

(ЗАМЕНЫ

ПЕРЕМЕННЫХ)

ИТО

139

где

л»

ß n < | ß „

V (AWf,

С.

I V

н' ((Л— 1). 2-", ^ . „ . ^ ( ( Д И ^ - А ) .

2 - J

*</

Ясно,

что

с

вероятностью

I Л„->0.

Точно

так же и ß„->0,

поскольку

с

вероятностью

1 2

(AW f - ^ t

(лемма 4.3). Пока-

жем, что С„—> 0

(по

k<i

п —> оо.

вероятности) при

Пусть

— Хі max I ((7

Тогда

м

1Т(1_ ||Л_ в) х»((ДГ)»-.Д)1! <

<

sup

\u"x (t,

х)\2 2

М((АГ)2 — А)2 =

t < t a. Н

к

n 1

= 2

sup

\u"

(/, x)\2 2

(A)2-»0,

n-+oo.

(4.93)

K f0, U K a '

1*</

Далее,

p { Д

-

1} • 2~n’ « V

.,.2-«) (1 -

xl)((bwy- -

A) ^

0 } <

< P {sup I Wt \ >

N] -> 0,

N->■ oo.

(4.94)

f < f,

Из (4.93)

и (4.94)

следует,

что

P-limC„ =

0.

Переходя теперь

в (4.92) к

пределу

П

при п-> оо, получаем, что Р-п. н. при всех t,

0 <

t <

t0,

t

t

и (0, 0) ±= J

и (/,

Wt) -

«; (s,

r s) ds + J

u'x (s,

Wa) dWs +

+

u"xx(s,

Ws)ds.

(4.95)

Чтобы

перейти

от

функции

u(t,

Wt) к

функции

f(t, |Д

вспомним,

что u(t,

Wt)= f(t, at-i-bWt). Поэтому

«И5’

W s) =

K i s> h ) + a fx (s>

w s)=bf'x (S, y ,

« « (*

Ws) - b X x{s, y .

ностью 1 процесс f(t, £,(/), ....

\m(t)) имеет стохастический диф­

ференциал

df(i, 6,(0. . . .Ь»(0)=

r,(t. 1,(0 .........U O )

+ I X

( 0

M ') ...........(О)«,«,

»> +

*=

1

« о ѵ * . ®) dt +

(0 ) У

k=i

+ Уі

rx\t,

U t),

. . . ,

l m(t))btl(t,

ü))dWj (t).

(4.98)

(, /=1

Доказательство

этой

теоремы

проводится

так

же,

как и

П р и м е р

1.

Пусть Xl = { x i {t), ЗГt), г = 1, 2 ,— два случай­

ных процесса

с

дифференциалами

Предполагается,

что

x, (t) = (xu (t),

. . . ,

x ln(t)),

x2{t) =

= (x2l(t),

x2m{t)\ -

вектор-функции a{(f) =

{an (/), . . . ,

aln{t)),

a2(t) = (a2l{t),

. . . . a2m(t)),

матрицы MO =

1^,(0!. M 0 =

l6?/(0|

имеют

соответственно

порядок

п X k,

m X

а винеровский

процесс

W = {Wt,

і)

имеет k независимых компонент.

Рассмотрим

матрицу

Y {t) =

x x(t)x\{t).

Применяя

формулу

Ито к элементам

матрицы Y (t),

найдем,

что

dY {t) =

[xl {t)d‘2{t) + at(t) x2(t) + bx{t)b*2{t)\dt +

+ bx(t) dWtx\{t) +

x, (t) dW\b\{f).

(4.99)

В частности,

если

n = m — k — 1,

d (x, (t) x2 (t)) =

[x, (t) a2 (t) + а, (0 x2 (t) -f bi (t) b2(/)] dt +

+ \bi (t)x2(t) +

X, (/) b2{t)] dWt.

(4.100)

П р и м е р

2.

Пусть

функция f(t, хь

xm) — (x,

B(t)x),

где x =

(x,, . . . ,

xm), а B(t) — матрица

(неслучайная)

порядка

m X m с дифференцируемыми элементами. Пусть X = {xt,

t),—

процесс с дифференциалом

dxt =

a(t)dt + b (t) dWt,

где xt =

{xi (t),

xm(t)),

Wt = (Wi (t),

(/)) — винеровский

процесс.

142

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Найдем дифференциал

процесса (xt, B(t)xt). Применяя фор­

мулу (4.98) к yt = B{t)xt,

находим

dyt = [ß (t) X, +

ß (t) а (t)j dt + B (t) b (t) dWt.

Для

вычисления

дифференциала

d(xt, B(t)xt)

воспользуемся

формулой (4.99),

согласно

которой

d (.Kty;) = [а (0 у; +

xtx]B' (t) +

Xta

(t) ß* (t) + b (t) b' (t) В (t)) dt +

откуда

+

xt dW]b* (t) B' (t) +

b (t) dWtx]B* (t),

d (xt,

В (t) xt) = Sp d [xty]) =

=

[Sp а (^) xjß* (0 + Sp xtx\B* (t) +

Sp xta (t) ß* (t) +

+

Sp b (t) b' (t) В (/)] dt -f Sp xt dW]b* (/) ß* (t) + Sp b(t) dWtx)B*(t)=

=

[(*„ ß*(0 а(0Ж */> ß (0 а (0)+(*<> ß (0 xt)+ Sp b (t) b* (t) В (/)] dt +

Итак,

+ (b'(t)B’(t)xt, dWt) + (b'(t)B(t)xt, dWt).

d{xt, B{t)x,) = {{xt, B{t)xt) + {xt,

[ ß ( 0 + ß * ( 0 a ( 0 ] ) +

+

Sp b(t)b*(t) В (t)} d t + (b*(t)[B(t) + B, {i)]x„ dWt). (4.101)

В

частности,

если

xt = Wt,

a

B(t) — симметрическая ма

трица,

то

d(W„

B(i)Wt) = [(Wt,

В (t) Wt) +

Sp В (t)] d t + 2 (В (t)Wt, dWt).

1о

0

t

t

Обозначая x,t = J a(s)rflFа dWs — -yj Jj* a2(s) ds, находим (из (4.87)),

о

0

что ^ = ехрлу имеет дифференциал

d$t = $ta (t) dWt.

(4.103)

Точно так же

(4.104)

( Заметим, что P {m fj, >

0}= 1, т. к. Р I

J а2 (t)dt < оо

§ 3]

ФОРМУЛА

(ЗАМЕНЫ

ПЕРЕМЕННЫХ)

ИТО

143

П р и м е р

4.

Пусть

a(t),

b(t),

0

Т, — неслучайные

функции

с

J I а (0 \ dt <

оо, J b2(t)dt < оо.

Используя

формулу

Ито, находим, что

случайный

процесс

xt— exp I

J a (s) ds | j | + J exp

— J a(u) du

b (s) dWs

имеет стохастический

дифференциал

dxt = a (t) xt dt + b (t) dWt,

x0 — |.

4.

Применим

формулу

Ито

для

вывода полезных

оценок

для

математических

ожиданий

М

/

*

\ 2m

четных сте­

\

f(s,

со)dWs \

пеней

стохастических

интегралов.

— винеровский

Л е м м а

4.11. Пусть

W = {Wt, &~t), 0 ^ / ^ Г ,

процесс,

f(t,

со) — ограниченная

неупреждающая

функция,

I f(t, со)К /С ,

0 < * < 7 \

Тогда

f t

, 2 m

М ^ J

f(s,a)dW sj

^ K 2mtm(2tn— l)U.

t

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

xf — J / (s, со)dWs. Положим

о

xN =

inf (t: sup I xs [>

N),

5 < t

считая

xN =

T,

если sup|xs |<fV.

По формуле

s < T

Ито

t А Тдг

t A iff

^

tjv= 2 m

f

J r ' f ( s , » ) d W ' + m ( 2 m - \ )

J

x f " 2/2 (s, со) ds.

о

6

Из определения xN, предположения | / (s,

со) | ^ К,

0 ^

s T,

и свойства

(4.48)

вытекает, что

t

Л Хдг

М j

xlm~lf(s,

u>)dW? =

Q,

о

116

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

§ 4. Сильные и слабые решения

стохастических дифференциальных уравнений

1.

Пусть (Q, HF, Р) — некоторое вероятностное пространство,

Т = \

(для

простоты),

1, — неубывающее семейство

o-подалгебр

и W = {Wt,9~t),

t < 1, — винеровский процесс.

Обозначим

(С1; &t) измеримое

пространство

непрерывных

на

[О, 1] функций x = (xt, 0 < / < 1) с а-алгеброй

= о(х: xs,

1).

Положим также $ t = o{x: xs, s ^ t ) .

неупреждающие (т. e.

Пусть a(t,

x) и b(t, x) — измеримые

^-измеримые

при каждом /,

0 ^ / ^ 1 )

функционалы.

О п р е д е л е н и е 8. Будем

говорить,

что (Р-п. н. непрерыв­

ный)

случайный процесс £ = (£г),

есть сильное решение

d\t = a(t,l)dt + b{t,l)dWt

(4.105)

0 < / ^ 1 , величины l t

являются ^-измеримыми,

Р ( I

I a{t,

I ) \di <

оо 'j =

1,

(4.106)

\ о

'

Р

[

[ b2{t, l)dt <

оо ) =

1

(4.107)

\ о

/

и с вероятностью 1

для

каждого /,

0

^ / ^

1,

t

t

It = 4

+

J

a(s,

l)ds +

J

b{s, l)dWs.

(4.108)

о

0

заданную

функцию распределения

F (х), обладает

слабым

ре­

шением

(или решением в слабом смысле), если найдутся: веро­

ятностное

пространство

(Q, FF, Р),

неубывающее

семейство

0 -подалгебр

[STt), /< П ,

непрерывный случайный процесс £ =

— (£*.

t)

и

винеровский

процесс

W = {Wt, ёГ,)

такие,

что

ство (о, ёГ, Р), система

(,9",),

/ < П , и

винеровский

процесс

W —-{Wt,(Ft). Если при

этом

STt =STY,

то искомый

процесс