книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 2]

с т о х а с т и ч е с к и е

и н т е г р а л ы , п р о ц е с с ы Ит о

127

то процесс

t), t ^ O , является квадратичноинтегри-

руемым мартингалом. При

этом

процесс

(/<(/), & t),

0, является локальным мартингалом.

11.

В дальнейшем при рассмотрении задач нелинейной

фильтрации нам придется сталкиваться со стохастическими

Пусть

(Q,

Р) — вероятностное

пространство, {8Гt),

0 ^

— неубывающее

семейство сг-подалгебр

SF

и

W —■

= (Wt, @~t) — винеровский процесс.

случайный

процесс

| =

О п р е д е л е н и е

6.

Непрерывный

= (£t, @~t),

0 s C t^ . T ,

называется процессом

Ито

по

отноше­

нию к винеровскому

процессу W — {Wt, 3Tt),

t ^ T ,

если суще­

ствуют два неупреждающих процесса a =

(at, 9~t) и b — (bt,

t),

такие,

что

=

1,

(4.76)

dt < оо = 1

(4.77)

и с вероятностью

1 для

O ^ C t ^ T

■ t

t

(4.78)

£f =

io +

J a(s>ü>)ds+ J b{s, &)dWs.

о

о

(Для краткости говорят,

что процесс

имеет стохастический

дифференциал

d%t = a(s, &)dt -j- b(s, to) dWt,

(4.79)

Пусть теперь f =

ю), Т ^ ) —~некоторая неупреждающая

t

128

с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы

[ГЛ. 4

пониматься как

t

t

J f (s, со) а (s, (o)ds + J f(s,<ü)b (s, a) dWs

(4.80)

о

0

Данное определение

интеграла

J f(s,

w)d%s как величины

(4.80) не совсем удобно,

поскольку

о

не дает эффективного

оно

+ / , Й Ѵ . . “ ) ф

- І , й | ]

(4.81)

(ср. с (4.21)),

где fn(t, со) — простые функции,

аппроксимирую­

щие f(t, со) в том смысле, что

т

J (I a(t,

ю) Иf{t, a) — fn(t, ю)| +

О

+ №(t, и))I /( t, (о) ~ fn (t, w) р) dt —> 0,

п -> оо.

(4.82)

Для

справедливости (4.82) достаточно, например,

потребо­

вать, чтобы

oo J

Р j J

f2(f, <а)( I a (t, co)| + 62(*, © ))Л <

= l.

(4.83)

Если

условие (4.83) не выполнено, то возьмем простые

функции

fW(tt о) такие, что при каждом N — 1,

2, ...

т

J [fw V. ©) -

fW (t, (О)]2 ( I a (t, со) I + ЬЦі, ш)) di -і>

о,

п -> оо,

130

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е

И Н Т Е Г Р А Л Ы

[ГЛ . 4

Отсюда следует,

что

для

процессов диффузионного типа на­

ряду с равенствами (Р-п. н.

для

каждого О г^Н ^Т )

t

t

It =

Іо +

j a(s, со) ds + J b (s, со) dWs

справедливы также (Р-п. н.

для

каждого О ^ Д ^ Г )

равенства

t

t

lt = l о + J A(s,

Qds +

j B{s,

QdWs,

о

0

где (измеримые)

функционалы

Л(«,

х)

и

B(s,

х)

являются

^-измеримыми

для каждого $,

O ^ s ^ T ,

$ т+— $ т.

Л е м м а

4.9.

Пусть £ = (£*),

полном

— непрерывный слу­

чайный процесс, определенный на

вероятностном про­

странстве (Q,

Р). Пусть, далее,

измеримый процесс £ = (£f),

O ^ t ^ i T ,

согласован с семейством

а-алгебр

=

|).

Тогда существует измеримый

функционал ср = ср(^, л:), опре­

деленный на ([0,

Т] X Сг, % п Х ^ г ) і

который $ {+-измерим при

каждом

и такой, что

X X Р {{t, со): It (со) ф Ф (t, £ (со))) = 0,

где X— лебеговская мера

на

[0, Г],

а Х Х Р — прямое произве­

дение мер

Х и Р.

0 ^ t ^ Т,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

процесс £ =

(£,),

измерим и f^-согласован,

то (см. гл.

1,

§

2) у него существует

для каждого 0

функция £<Ла(со), рассматриваемая как

функция от (t, со), где

с о е й , является

измеримой

относительно XX P-пополнения ст-алгебры 35l0, ui X

Поэтому

для каждого 0 < ц < Г

на ([0, Г] X Сг,

% , и \ Х $ и ) существует

измеримый функционал ср„(^, х), такой, что

ЯХР{(^, со): £*д„(ю) ф <pu(t,

g(со))} = 0.

Пусть uk,n — -^T’ k,

k = l , 2, . . 2 " ,

n =

1, 2, . . .

Положим

фИ( t - х) “ Ъ (0' х> *»><*>+1, Ч .. " ■

ѵ.-„.. ■ „] «

Функционалы

<p(rt) (/, х) измеримы

по (t, х) при каждом п,

и, следовательно,

функционал ср(/, х)

также измерим. Из кон-

(Заметим, что при

каждом

s

величины B(s, |) и B(s,

|)

являются

+-измеримыми и существование стохастических

ин-

t

t

тегралов

j ß(s, %)dWs, J B{s,

l ) d W s вытекает из предшествую-

fl

о

что процесс Wt = {Wt,

t+),

щего неравенства и

того факта,

как и W = (Wt, £Tt), является также винеровским.)

Пусть теперь g =

(g(t, х), $ t+),

0

Т, — неупреждающий

функционал с

/ т

=

Р ( j l g ( f ,

1)1 d t<

\0

т

т

J g(*.

l)dt,

J g(t, l)dt.

0

о

Поскольку они являются

и ^|-измеримыми соответственно,

то найдутся ^-измеримые

функционалы ф(л:) и ф(х)

такие,

что Р-п. н.

т

т

Ф(І) =

/ g(t> l)dt,

Ф(І) = J g(t, l)dt.

о

0

Эти равенства

могут

задавать функционалы ф(х)

и ф(х)

не единственным образом.

Поэтому, вообще говоря,

Р(Ф(І) Ф Ф(І)} >

0,

Р{ф(|) -т^'ф(|)}> 0.

Рассмотрим теперь стохастические

интегралы

г

т

о

j f ( t ,

1)4/,

о

для существования которых

потребуем,

чтобы

и [Xg-почти

наверное *)

т

j l\f(t, х ) \(\A{t, х)\ + \ Ä(t,

*)|) +

о

+ f2(t, x)(B2(t,

x) + B2(t,

x))]dt< оо.

5 2]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ.

ПРОЦЕССЫ ИТО

133

Стохастические

интегралы

т

т

о

о

являются

и ^~|-измеримыми соответственно. Поэтому най­

дутся

^-измеримые

функционалы

Ф(л:) и

Ф(х)

такие, что

Р-п. н.

Т

т

Ф( ! ) = { W, ■!)<&, ф(1) = Jf(/,

1)4/.

о

о

Для функционалов Ф(х)

и Ф(х) также не обязательно спра­

ведливы Р-п. н.

следующие равенства: Ф (|) = Ф (|), Ф (|) = Ф (|).

В

самом

деле,

пусть f{t,x) = xt, lt = Wt, lt = 2Wt. Тогда

tГ Wt dWt

W T

T

(2Wt) d (2Wt) =

■(2Ulr)

- 2T.

T '

*)

o

"

о

Следовательно,

T

и

T ’

Р (Ф (І)> Ф (І))= 1 .

Заметим,

что

в

рассмотренном

примере

меры

и Ц|

равенство

(Р-п. н.)

функционалов

Ф (|) и Ф(|), Ф (|)

и Ф(£),

а также

функционалов

ф (|) и ф(|),

ф(£) и ф(£)

определяется

свойствами

абсолютной

непрерывности мер

и Ц|.

Л е м м а

4.10.

1)

Если

мера

абсолютно непрерывна от­

носительно

меры

Ц|

(р,£ <

Ц|),

то

ф (|) =

ф(£),

Ф(£) = Ф (|)

(Р-п. н.).

2) Если

Ц| <

то ф (І) = ф (I),

Ф (I) =

Ф (І) (Р-п. н.).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Установим

справедливость

равенства

Ф(І)==ФШ-

Пусть gei =

(gn(t, х), &t+), 0

7\ / 2 = 1 , 2 , . . . , —

последовательность (простых) функционалов таких, что

П-*OOd

gn(t, i)dt-

J g (t, I)

dt,

Р- lim

f

ФОРМУЛА (ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ) ИТО

135

Р -lim { fn (t,

g) dl t = \ f (t, g) d l = Ф (g),

" 0

0

P-Iini JT fn (t,

I) d l = TJ f (t, l) d\t = ф(I).

" о

о

функций и равенства

Р {| <= Г} =

Р {| <= Г},

Г е

J r ,

г

> е

==

lim Р

Ф (і)-

l) d l

П

= limP

ф (І)-

J

fn(t,

1)4,

> е :0.

Тогда

П

о

т

Р { | Ф ( І ) - Ф ( ! ) І > е } < Р

Ф(Ю-

l)dl

> е/2

+

т

О

+ Р

Ф(Ю — J fn(t, I) d l

> е/2

1 ->0,

п-+ оо.

§ 3. Формула (замены переменных) Ито

1.

Пусть g =

(g„

ZT/),

— случайный процесс,

имею­

щий стохастический

дифференциал

d l = а (t, ®)dt + b(t,

w) dWt,

(4.84)

где

W — {W„

STt) — винеровский

процесс,

а неупреждающие

функции a(t,

со),

b(t,

а») таковы,

что

j

1,

т

Рj J

I a(t,

со) I dt <

(4.85)

Р

о

оо \ =

т

j J

b2(t,

со) dt <

оо j =

1.

(4.86)

ІЗ б

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

f — f(t,x) — измеримая

Пусть теперь

функция,

определен­

ная на

[О, Т] X

R1- Приводимая

ниже

теорема

дает условия,

при которых случайный процесс f(t, g,)

также

допускает сто­

хастический

дифференциал.

f(t,

х)

непрерывна

и

имеет

Т е о р е м а 4.4. Пусть функция

непрерывные

производные

х),

f'x{t,

х) и

f"x{t,

х).

Предпо­

ложим,

что

случайный

процесс

g =

(g„

,),

O

^ t ^ T ,

имеет

стохастический дифференциал (4.84).

диф­

Тогда процесс f(t, g,) также имеет стохастический

ференциал и

df(t,

Ъ) + ГЛ*> h)a(t,

*) + \ r xx{U l t)bP(t, сü)jÄ +

+ f'x(t>

h)b(t,

a)dWr

(4.87)

Формула (4.87), полученная К. Ито, далее будет называться

формулой (замены переменных) Ито.

всего,

что

для до­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

прежде

пусть an{s,

со),

bn(s, со),

п =

1, 2......... — последовательности

простых функций такие,

что с вероятностью 1

т

I a(s,

со) — an(s,

со)

0,

п-> оо,

о

JJт[b(s,

со) — bn{s,

со)]2ds —►0,

п -* оо

о

(см. лемму

4.5

и замечание 3

к ней).

Согласно замечанию 4

выбрана так, что равномерно

по t ^ . T

с вероятностью

1

t

t

о

bn(s, <£>)dWs ->

b(s,

a>)dWs.

0

Тогда

последовательность

процессов

J

t

J

t

g? =

g0+ J an(s, w )ds+

j

bn(s, со)dWs

о

0

с вероятностью 1

равномерно

no

t,

0 <

t < T, сходится

к про­

цессу I,.