Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Красюк Н.П. Электродинамика и распространение радиоволн учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
89
Добавлен:
27.10.2023
Размер:
20.15 Mб
Скачать

сти от частоты излучаемых электромагнитных колебаний и време­ ни суток необходимо учитывать различное число собственных волн. Так, например, днем при / = 30 кгц и более низкой частоте на рас­ стоянии свыше 1000 км надо учитывать только одну волну. Ночью же на частоте 30 кгц число собственных волн, подлежащих учету при определении поля, доходит до Ю л-12. Так как формулы, полу­ ченные в результате строгого решения, сложны, то инженерный рас­ чет напряженности поля в диапазоне сверхдлинных и длинных волн производят по эмпирическим формулам. Из них наибольшее рас­ пространение получила формула Остина:

300

У

Р к

 

сфо '

120л Л д/ а

 

 

 

(19.1)

 

 

V

Аг

м; і а

 

 

 

г {км)

 

 

 

 

— действующее зна­

где Ад — действующая высота антенны,

 

чение тока в основании антенны; Я—-длина волны,

м;

ѴСф0

— функ­

ция ослабления, которая определяется выражением

 

 

 

 

 

^сфо

 

 

 

0,0014

 

 

 

(19.2)

 

 

 

 

 

Х°.6 '

 

 

 

Здесь Я и га.выражены в км, а угол Ѳ определяется в соответствии

с рис.

19.3,

 

 

поля,

Задача 1. Найти действующее значение напряженности электрического

создаваемого вертикальным электрическим диполем

с излучаемой мощностью

Р и = 26

кет

и коэффициентом направленного действия

1,5 на расстоянии г=300

км

от передающей антенны, если передатчик работает на волне Я=3000

м.

Расчет

 

поля произвести для случая распространения радиоволн над почвой с параметра­

ми

б = 4, у=10~2

сим/м

по формуле (12.8а) и графику рис.

12ЛЗ.

 

Р е ш е н и е . По

формуле

(12.10)

вычисляем численное расстояние р:

 

 

3,14-3-105

Ѵ 3

42

 

(60-3- іоз.Ю -2)2

_ _ 0

 

 

Р== 3-103

 

2 +

 

~

 

 

 

+(60-3-103-10-2)2

 

Так как 60Я у>е,

то, воспользовавшись рис. 12.3, находим

Ѵ'Пр «0,95 . Тогда

1/пр=У21/,пр = 1,41-0,95=1,35. Действующее значение поля найдем по формуле

(12.8а):

л

=

 

1731/ 26-1,5

мв м.

 

 

Еп

----------------------- 1 ,Зо = 4, 9

 

 

 

 

 

 

300

воспользовавшись графиком рис. 12.13. Из

Определим теперь значение поля,

графика находим £ до«800

мкв/м.

По

(12.30)

определяем

 

 

 

 

£ д =

0,8 У 26 = 4,1

мв/м.

 

 

Полученные двумя способами значения для £ д, как и следовало ожи­

дать, близки.

 

 

 

 

 

 

на расстоянии г = 1800

км

по дан­

Задача 2. Вычислить напряженность поля

 

ным задачи 1, приняв радиус Земли а = 6370 км.

517

Р е ш е н и е . Действующее значение

напряженности

поля определяем по

(19.1). Для этого находим центральный угол 0:

 

 

 

 

“ рад -

 

1800

=

0,282,

или 0 0 ^

16,20.

 

6370

Находим множитель

\

sin

Ѳ

функции ослабления

(19.2):

 

 

 

sin И

 

V

*

0,282.

1,025.

 

 

 

 

 

 

 

0,279

 

 

 

Вычисляем второй множитель функции ослабления:

 

 

 

0,0014

1 = е

0,0014

 

= е“~1,31 = 0,269.

Затем находим

)0,6

 

1,93 1800

 

Ѵ сф0= 1,025-0,269 =

0,276.

 

 

 

Действующее значение напряженности поля

 

 

 

 

Е

д =

 

300 У

26

0,276 =

0,166

мв\м.

 

 

 

1800

 

 

 

 

§ 19.3. О СО Б ЕН Н О СТ И

РА СП Р О СТ РА Н ЕН И Я

С Р Е Д Н И Х

ВОЛН

К средним волнам, как известно, относят радиоволны длиной от 100 до 1000 м. Они используются в радиовещании, радиосвязи и радионавигации.

Основная особенность средних волн состоит в том, что днем они распространяются как поверхностные волны, а ночью как по­ верхностные и пространственные волны за счет отражения от ионо­ сферы. Это объясняется тем, что средние волны проникают днем через существующую в это время суток ионизированную область D и отражаются от области Е. При этом поглощение их в области D настолько велико, что влиянием пространственной волны можно пренебречь. Исключение составляют высокие широты, где днем в зимнее время могут наблюдаться пространственные волны значи­ тельной интенсивности.

Напряженность поля, создаваемая поверхностной волной в мес­ те приема, зависит от электрических параметров почвы (главным образом проводимости) и частоты. С увеличением проводимости почвы и уменьшением частоты поверхностные волны испытывают меньшее поглощение, и поле в месте приема возрастает [см. форму­ лы (12.106) и (12.12)]. Поэтому поверхностные волны средневолно­ вого диапазона поглощаются в почве сильнее длинных и тем более сверхдлинных волн. Кроме того, по сравнению с длинными и сверх­ длинными волнами они меньше дифрагируют вокруг участков зем­ ной поверхности. По указанным причинам дальность распростра­ нения поверхностной волны на средних волнах значительно мень­ ше дальности распространения поверхностной волны на длинных и тем более сверхдлинных волнах.

518

 

На распространение средних волн оказывают заметное влияние

также

неровности

и

 

электрические

 

неоднородности

 

Земли. На

рис. 19.4

показаны кривые, характеризующие изменение поля над

ровной

(а)

и гористой (б)

 

 

 

 

 

 

 

местностью при Я = 227

м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рисунка следует, что

 

 

 

 

 

 

 

над горным районом имеет­

 

 

 

 

 

 

 

ся значительное уменьшение

 

 

 

 

 

 

 

напряженности поля, вызван­

 

 

 

 

 

 

 

ное

рассеянием

радиоволн.

 

 

 

 

 

 

 

 

На

большие

расстояния

 

 

 

 

 

 

 

средние

радиоволны

 

рас­

 

 

 

 

 

 

 

пространяются

ионосферной

 

 

 

 

 

 

 

волной.

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

4

 

 

В ночное время поглоще­

Z

 

3

 

5 г, км

ние средних волн в ионо­

 

 

 

 

 

 

 

сфере резко падает вследст­

 

 

 

 

 

 

 

вие исчезновения области

D,

 

Рис.

19.4

 

 

 

и

пространственная

 

волна

 

 

км

 

 

 

имеет

значительную

интен­

1004-150

 

 

от

 

передающей

сивность,

 

начиная

с

 

расстояний

 

 

 

антенны. В результате этого в ночное время в месте приема

могут иметь место две

волны: поверхностная и пространственная

(рис. 19.5).

При этом поляризация пространствен­

Ионосфере,

ной волны

может быть эллиптической

 

вследствие влияния магнитного поля Зем­

 

ли. Соотношение между амплитудами по­

 

верхностной

и

пространственной

волн

 

будет различным в зависимости

от

рас­

 

стояния до передающей антенны.

поверх­

 

Так как пути, проходимые

 

ностной

и

пространственной волнами,

 

различны, то между их напряженностями

 

в точке

приема

будет сдвиг фаз,

равный

 

Аф = - ^А

- Аг,

 

 

(19.3)

где Ar — разность путей, проходимых пространственной и поверх­ ностной волнами.

Величина Аф непрерывно изменяется вследствие непрерывных колебаний (флуктуаций) электронной концентрации ионизирован­ ной области, вызывающих изменение высоты отражающего слоя, а следовательно, длины пути, проходимого пространственной волной. В результате этого будет непрерывно изменяться амплитуда резуль­ тирующего поля в месте приема, причем это изменение амплитуды поля имеет беспорядочный, случайный характер. По указанной при­ чине происходит замирание принимаемого сигнала. С укорочением длины волны глубина замираний увеличивается, а длительность их уменьшается.

519

3

 

 

 

Па значительных

расстояниях, от пе­

 

 

редатчика, превышающих дальность дей­

 

 

 

 

 

 

ствия поверхностной

волны

(1

на

рис.

 

 

 

19.6), замирания также будут иметь мес­

 

 

 

то вследствие интерференции нескольких

 

 

 

пространственных волн,

пришедших в

 

 

 

место приема

различными путями

(2

и

 

 

 

3).

Для характеристики

случайно

изме­

 

 

 

няющегося результирующего поля сред­

 

Е.

Е

них волн вводят понятие о среднем

зна­

 

 

чении напряженности поля. Опыты пока­

зывают, что величина ср составляет примерно 35%

от максималь­

ного значения

 

 

нормальные

условия ' приема

сигналов.

Замирания нарушают

Для борьбы с замираниями применяют специальные передающие антенны, которые получили название антифединговых антенн. Эти

антенны создают диаграммы направленности,

прижатые к Земле

(рис. 19.7).

 

___________

 

Как видно из рисунка, такая антенна

-77І

интенсивно излучает поверхностные вол-

 

ч

Н Ы

за счет снижения интенсивности ИЗ-

777777777777777777777777Ь7>

лучения пространственных волн. В ре­

 

рис 197

зультате этого в месте приема поле про-

 

странственной волны будет ослаблено.

 

 

В диапазоне средних волн, помимо суточных, наблюдаются се­ зонные колебания напряженности поля в месте приема, проявляю­ щиеся в том, что в дневные часы летом напряженность поля пространственной волны оказывается меньше, чем зимой. Это объ­ ясняется зависимостью электронной концентрации области D от вре­ мени года: днем в летние месяцы электронная концентрация облас­ ти D будет больше, и, следовательно, поглощение радиоволн будет больше, чем зимой, а ночью поглощение почти не зависит от време­ ни года.

Следует учитывать, что условия приема определяются не абсо­ лютным значением напряженности поля в месте приема, а отноше­ нием сигнала к уровню помех. Поэтому резкое изменение условий приема средних волн в летние и зимние месяцы определяется не столько изменением напряженности поля сигнала, сколько сезонным ходом уровня помех. В умеренных и северных широтах северного полушария грозы наблюдаются только летом. В результате этого отношение поля сигнала к уровню помех летом будет меньше, чем зимой, а следовательно, условия приема зимой будут лучше.

Ионосферные возмущения практически не влияют на распростра­ нение средних волн, так как свойства ионизированных областей Е и D мало изменяются во время ионосферных бурь.

Влияние одиннадцатилетнего периода солнечной деятельности характеризуется незначительным увеличением поглощения радио­ волн с возрастанием солнечной активности.

520

§ 19.4. М ЕТОДИКА РАСЧЕТА Н АПРЯЖ ЕН Н ОСТИ ПОЛЯ С Р Е Д Н И Х ВОЛН

Для расчета напряженности поля средних волн днем (напряжен­ ности поля поверхностной волны) можно пользоваться графиками рис. 12.13 и 12.14 и формулой (12.30).

Расчет среднего за год медианного значения напряженности по­ ля средних волн ночью (напряженности поля пространственной и поверхностной волн) производится по эмпирической формуле

Е л.ы=

102!,3

V

[мкві м],

(19.4)

 

У г

 

 

 

где г и л измерены в км, а Р а в кет.

анализа большого числа

Формула (19.4)

получена на основе

измерений поля радиовещательных станций в течение восьми лет, выполненных наблюдательными пунктами союза европейского ра­ диовещания.

Из формулы следует, что напряженность поля при постоянных значениях г, Р„, D зависит от длины волны, причем эта зависимость на малых расстояниях от передающей антенны выражена слабо (длина волны входит в показатель степени экспоненциального мно­ жителя). Укорочение длины волны в пределах диапазона средних волн приводит к уменьшению напряженности поля.

§ 19.5. Н ЕЛ И Н ЕЙ Н Ы Е ЭФФЕКТЫ В И ОНОСФ ЕРЕ ПРИ Р АСП РО СТРА Н ЕН И И СРЕ Д Н И Х ВОЛН

В 1924 г., когда начала работать на средних волнах первая мощ­ ная радиостанция в г. Горьком, были обнаружены нелинейные свой­ ства ионосферы. Это проявлялось в том, что передачи горьковской станции прослушивались приемниками, настроенными на частоту другой станции, причем частота горьковской станции была за поло­ сой пропускания приемника. Сигнал менее мощной средневолновой станции оказывался промодулированным сигналом более мощной станции. Подобная перекрестная модуляция вызвана нелинейными свойствами ионосферы, которые можно объяснить следующим об­ разом [6]. Под влиянием электрического поля радиоволны мощной радиостанции электроны приобретают дополнительную скорость, действующее значение которой в соответствии с (13.20) равно

ü

£д >

19.5)

>пгэ

г-.

 

где Е д — действующее значение напряженности поля радиоволны. Полная действующая скорость движения электронов ѵ склады­

вается из скорости теплового движения пт и скорости ѵд:

ѵ =

ѵт

при ѵэ С f T*

 

 

521

Учитывая, что

ѵ.

8 kT

,

находим

 

Т

ятэ

(19.6)

 

ѵ =

ѵТ

l6

яе2

со2

m 3kT

Если сигнал промодулирован по амплитуде, то действующее значение напряженности поля во времени определяется выраже­ нием

£ Д= ( 1 + М с о 5 2г)£до,

(19.7)

где М — коэффициент модуляции; Q — круговая частота модуляции. Число столкновений электрона с более тяжелыми частицами,

например, молекулами, как известно, определяется по формуле

ѵэфф__

V

*проходит электрон

(19.8)

~y

где I — средняя длина пути, который

между

двумя последовательными столкновениями.

Из выражений (19.8), (19.7) и (19.6) следует, что частота столк­ новений ѵэфф меняется относительно своего среднего значения в зависимости от частоты модуляции. Это приводит к соответствую­ щему периодическому изменению проводимости ионосферы уи (13.24) и связанного с ней коэффициента затухания (7.196 ).

Если через данную область ионосферы наряду с волнами мощ­ ной станции проходят волны менее мощных станций, то ослабление сигнала последних будет изменяться главным образом в соответст­ вии с изменением напряженности поля мощной станции (из-за сравнительной малости напряженности собственного поля). Следо­ вательно, происходит модуляция слабого сигнала модулирующей напряженностью сигнала мощной станции. Рассмотренное явление называется перекрестной модуляцией. Величина коэффициента пе­ рекрестной модуляции достигает 5ч-8%.

Явление перекрестной модуляции и другие нелинейные эффек­ ты в ионосфере проявляются только в диапазоне средних волн. Длинные и сверхдлинные волны при отражении не проникают в толщу ионосферы и вследствие этого не влияют на частоту столк­ новений. В диапазоне же коротких волн скорость движения элект­ ронов, вызываемая электрическим полем волны, ничтожно мала [вследствие большой частоты со в формуле (19.5)] по сравнению с тепловой скоростью. Поэтому наличие поля волны не влияет замет­ но на число столкновений электрона с другими частицами.

Во избежание перекрестной модуляции необходимо стремиться, чтобы трасса распространения радиоволн маломощной радиостан­ ции не пересекалась в ионосфере с трассой распространения радио­ волн, излучаемых мощной станцией. Для этого антенны мощных средневолновых станций должны иметь диаграммы направленности, прижатые к земной поверхности.

П Р И Л О Ж Е Н И Я

П РИ ЛОЖ ЕН И Е !

Т а б л и ц а П.1.1

Основные свойства некоторых диэлектриков при 20° С

Наименование

материала

Удельное сопротивление

,омм

поверхно стное, ом

 

при

отнс>сительной

объемное

в.чажности

60%

90%

1

с ПрИ частоте

гг

100Мгѵ,

Ps>

о

о

1 кгц

tg Д при частоте

З4

гг

О

СО

Бакелит . . . . . . .

109

1012

1010

4,9

3,7

0,03

__

0,04

Бумага

 

 

1010

109

3,7

0,009

...........................

 

1011

0,005

Воск . . . . . . . . .

2, 7

2, 3

0,02

Двуокись

титана .

1012

1010

100

90

0,002

0,0003

0,003

Кварц . . . . . . . .

1017

106

3,8

3,8

0,001

0,005

0,0001

М и к а л е к с ......................

 

7,1

6,9

0,002

__

0,004

Неопрен . . . . . . .

1011

1015

109

6,9

4,1

0,01

0,04

 

П а р о в а к с ......................

 

1014

6-1013 1,9

0,3

 

 

 

5,3

2,7

0,001

0,003

Плексиглас . . . . .

ЮМ

1016

1016

3,4

2,6

0,06

0,006

Полихлорвинил . .

3,2

2,8

0,01

0,006

Полистирол . . . .

1021

2,55

2,52

0,0005

0,0025

Полиэтилен . .

. . . ,

>5-1014 >5-1016 >3-1010 2,26 2,26 <0,0006

0,0004

Сера . . . . . . . . .

1015

Ю Н

1013

3,44

3,44

0,0006 0,0004

0,0007

Слюда . . . . . . . .

5-1011

ЮЮ

1018

5,4

5,4

0,002

>0,0003

Стеатит

. . . . , .

. .,

1012

 

6,0

5,8

0,002

0,001

 

Стекло пирекс . .

1012

 

104

5,6

4,9

0,01

 

0,01

Трансформаторное

ю н

 

5-1011 2,24 2,18

0,001

0,0005

м асло ................................

 

 

 

Фарфор . . . . . . . .

1012

 

>8-1016 7,0

Церезин

, . . . . . .

>5-1016

 

3-1014 2,2

Янтарь

 

 

5-1014

 

2,8

 

...........................

 

 

 

Гетинакс

 

 

 

6

0,03

...............................

 

-------

 

0,02

Текстолит . . . . .

__

7

0,03

0,08

П рессш пан

 

 

3,5

0,02

0,03

 

 

 

Шелк натуральный .

 

4,5

0,015

 

.........................

 

 

 

 

 

 

 

523

П РИ Л ОЖ ЕН И Е И

Т а б л и ц а П .П .!

Основные свойства некоторых магнитномягких материалов для низких частот

Наименование материала

Стали электротехнические

Э 3 1 ................................................................

Э 4 2 ................................................................

Э320 ...........................................................

Железоникелевые сплавы

(пермаллои):

450/о-ный пермаллой . . . .

780/0-ный пермаллой . . . .

Мо-перемаллой................................

Супермаллой ................................

Uмостъпроницае:нитная-магначальнаіяОтносительная-

цаемостмаксимОтносит

силаКоэрцит

X

 

 

Сц

 

 

 

1 X

 

X

 

 

 

* я

2

W

 

ОМММ2

 

.

В

 

 

 

 

S я

 

СЗ

 

 

 

 

чй Оч

 

 

 

 

нач

Ко 1

Нс

к '>*

Р,

 

 

0J ""

*0

X

 

м

 

g *

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

щ

 

 

250

5500

0,55

15 200

 

0,52

400

7500

0,40

14 900

 

0,60

800

33 000

0,12

17 300

 

__

 

 

 

 

Индукция

 

 

 

 

 

 

насыще­

 

 

2,7-103

2,3-104

0,08

ния

 

0,45

16 000

 

10-103

10-104

0,025

10 700

 

0,16

2-104

7,5-104

0,03

8 500

 

0,55

1-105

1-106

0,004

8 000

 

0,65

П р и м е ч а н и е . Магнитная проницаемость электротехнических сталей и железонике­ левых сплавов с повышением частоты (1 кгци выше) резко уменьшается.

Основные свойства некоторых

магнитномягких

материалов

для высоких

частот

Т а б л и ц а

П .ІІ.2

Наименование материала

Относительная

Примечание

 

магнитная

 

 

проницае­

 

 

 

 

мость, р.

 

 

 

Магнитодиэлектрики:

8

1.

Магнитодиэлектрики получают

Прессованное

карбонильное

путем прессования

порошкообраз-

ж елезо ..........................................................

 

альсифер . .

6

ного ферромагнетика (карбониль-

Прессованный

ного железа, альсифера или магме-

Прессованный

магнетит . .

7

тита) со связующими изолирую­

Оксиферы:

 

 

щими веществами

(бакелитом, по­

РЧ-12 . . ...........................................

12

листиролом и др.).

 

 

2. Оксиферы (ферриты) состоят

Ф -2 0 ...........................................................

 

 

20

из окислов железа и окислов дру-

РЧ-50 . . ...........................................

50

гих

металлов

(никеля,

цинка

Окс-400 .................................................

 

400

и др.).

 

 

 

 

М-1000

......................................................

 

1000

 

 

 

 

 

П .ІІ.З

 

Основные свойства некоторых магнитнотвердых материалов

 

 

(для изготовления постоянных магнитов)

Т а б л и ц а

 

 

 

 

 

 

Нс э

 

ОстаточнаяВГ

 

Наименование материала

 

 

Коэрцитивная

 

гс

 

 

 

 

сила

60

 

индукция,

Хромистая, вольфрамовая, молибденовая стали

 

 

9000-ь 10 000

Кобальтовая сталь . ....................................................

. .

220

 

9000

 

Сплав

альнико

. ........................................................................... . . і . . . .

. , .

. .

500

 

7000

 

Сплав

магнико

550

 

12 500

524

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 111

 

1.

Некоторые сведения из векторного анализа

 

 

 

нат

Определение операций и представление их

в декартовой системе коорди­

(х, у, г).

 

 

 

 

 

 

 

 

Градиент скаляра:

дф

Хо1дф

дФ

Zo

 

d l

( П . Ш . 1)

 

п0

g r a d Ф = ѵ ф = п 0

 

 

где

 

 

дп

 

7 + Уо~д^

 

 

dz

скалярного

 

— единичный вектор нормали к поверхности уровня

(i|;

= const)

поля; V — оператор Гамильтона, равный

 

 

 

 

 

 

 

 

д

+

д

 

д

 

 

 

 

 

 

дх

Уо^— + zq

dz

 

 

 

 

 

Дивергенция (расходимость)

 

ду

 

 

 

 

 

 

вектора А:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(|) AdS

дАх

дАу

+

 

дА

 

где

ф

d i v A = ( v , A ) = Iim —

AV

дх

-ду

 

( П .11 1 .2 )

 

 

dz

AdS — поток вектора А через замкнутую поверхность S;

Д Г •— объем, огра-

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ниченный поверхностью S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ротор (вихрь) вектора А:

 

 

 

 

 

 

 

 

дАг

rot А = [ѵ , А] = х 0

+ Zn

 

дУ

дАи

дАх

дх

ду

Оператор Лапласа

ѵ2 =

д2

дх2

дАу

 

( дАх

dAz

+

dz

Уо

1

7

дх

 

х 0

дУо!ду djdz

(П .Ш .З )

 

д/дх

Ay

 

A z

 

д2

Ат

д2

\

от

скаляра и

вектора:

ду2

d z 2 J

 

Ѵ2Ф = дdiv

grad

дф=

дЦ

+

д2'Ь

+

<?2ф

 

( П . Ш . 4)

 

 

ду

 

 

дх2

, „

dz2

 

 

 

d2A

 

 

 

 

2

 

 

 

Ѵ2А =

д2у

 

д2г

= ХоѴ2^

+

уоѴ2Ді/ + ZqV2A z .

( П . Ш . 5)

 

д2х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г):

2. Представление

операций в

цилиндрической системе координат

(р, ср,

 

 

 

дЬ

 

1

д ф

 

 

<Эф

 

( П . Ш . 6)

 

grad Ф = ро — -

 

 

 

 

 

+ % -----+ z0—— ,

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

р

оу

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

div А ;

dp

 

 

1

< 4

д А г

 

 

dz

Ро/Р

 

р

dtp

 

 

rot А =

д,90

dzo/Pj

 

 

d/dp

Р

dtp

d z

 

 

A z

 

 

А?

A f

 

 

 

 

 

 

 

( П . Ш . 7)

( П . Ш . 8 )

525

 

t-2 L —

 

d

 

дф

 

1

 

020-

д Ц

 

(П .ІІІ.9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< І

 

dg

\'

dg

j '

g2

 

d?2

dz2

 

Ѳ, ф ):

 

 

 

 

 

3. Представление операций в сферической системе координат (г,

 

grad ф =

 

дф

_Оо_

dB

+

 

г

 

дф

 

(П . III. 10)

1

r0

dr

 

г

 

 

 

sin Ѳ

 

dtp

1

 

 

 

 

дв

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

sin Ѳ) +

 

дА„

ATr

 

 

 

 

(AB

 

dtp

div A =

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

(

2) +

 

 

dB

 

 

r

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(II. III. 11)

 

 

 

 

 

r0/r2

 

0o/r sin Ѳ

tg0jr

 

 

 

 

rot A

:

djdrsin В

djd<g

 

 

 

( П .I I I .12)

 

A r

 

d/dB

 

 

r

sin BA

 

 

 

 

 

 

 

 

_0ф_

+

rA„

1

 

 

дф

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

dr

r2

 

 

 

 

 

 

Ѵ2ф

 

 

 

 

 

r2 sind 4

Ѳ

 

dB

 

sjfl dB

 

 

 

 

 

 

r 2

1

 

d<p2

 

 

 

 

 

( П .I I I .13)

 

 

 

 

 

 

 

sin2 Ѳ

 

 

 

 

 

4.

Основные тождества:

 

U)

=

grad ф +

grad

U ,

)

 

grad (ф -f-

 

 

 

U)

= ф grad

U + U

grad ф,

 

 

grad (ф

 

 

 

r

 

div фА =

A grad ф + ф div A ,

 

 

div [AB] = В rot A — A rot В ,

 

 

 

rot фA = [grad ф, A] +

ф rot A ,

 

 

rot rot A =

grad div A — y2A ,

 

 

 

 

 

rot grad ф =

0,

 

 

 

5.

 

 

 

div rot A =

0.

 

 

 

 

Интегральные соотношения.

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Остроградского— Гаусса:

 

 

=

 

 

 

 

Vj div

A dV

=

s(j)

Anon'S

s

 

 

 

 

 

 

 

(J)AdS.

 

Теорема Стокса:

j rot A dS = d) A dl. s L

Теорема Грина:

Г(Фѵ2£/-</ѵ2Ф)4И=

(П.ІІІ.14)

(П.ІІІ.15)

(П.ІІІ.16)

(П . III. 17)

( П .I I I .18)

(П . III. 19)

V

s V

"

П

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ