книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток

с переводом этого интегрального уравнения в дискретную форму в смысле гильбертова пространства [6]. Например, неизвестную функцию Е( — точное решение уравнения (44) — можно опреде­ лить как континуум значений, заданных на совокупности точек г

вобласти А'. Если известна дискретная, но бесконечная система значений vt и A t -f- R t в выражениях (26) и (28), то функция Ег полностью определена. Полезность интегрального уравнения состоит даже не в том, что оно записано в координатах г, а скорее

втом, что оно содержит в компактной форме все граничные условия п может служить отправной точкой для получения различных эквивалентных представлений. Эквивалентность можно понимать,

вчастности, в том смысле, что если г — непрерывная координата

Е,(г).

Преобразование уравнений (44), (55) и (93) в эквивалентную дискретную форму оказывается в особенности полезным, когда используется конечная дискретная аппроксимация по методу Ритца или по методу Галеркпна [21] (см. также гл. 3).

2.6. Интегральное уравнение для случая возбуждения одного излучателя

Напомним, что если удалось определить путем расчета, [выра­ жение (59) и рис. 2.5], либо экспериментально коэффициенты вза­ имной связи элементов антенной решетки с одним возбужденным элементом, то решение задачи для ФАР, в которой возбуждены все излучатели, можно найти методом суперпозиции. Подробно этот вопрос освещен в гл. 8. В данном разделе нас интересует то, что в задаче с единственным возбужденным излучателем можно составить интегральное уравнение относительно тангенциальной компоненты электрического поля. Более того, для расчета коэффи­ циентов взаимной связи можно применить вариационный принцип.

Вывод интегрального уравнения и вариационного выражения при возбуждении в антенной решетке только одного элемента подобен выводу для случая возбуждения всех элементов. Для простоты рассмотрим линейную антенную решетку из плоско­ параллельных волноводов с толстыми стенками (рис. 2.9) [24]. Результаты можно обобщить на плоские решетки с элементами других типов [24, 25]. Отметим, что и в этом случае, так же как и при выводе вариационного выражения (85), должны быть выпол­ нены условия симметрии элементов антенной решетки.

Рассмотрим случай, когда только один элемент с индексом О антенной решетки (рис. 2.9) возбуждается падающей волной, амплитуда которой равна 1. Поле внутри каждого волновода

0 - 0 1 6 8

можно разложить по обычным волноводным гармоникам, а поле излучения в свободном пространстве можно связать с полем в раскрывах волноводов с помощью преобразования Фурье. Пусть функция

представляет собой п-ю ортонормпрованную гармонику в р-ом волноводе, а Ф„ (х) — п-ю гармонику в нулевом волноводе. Пред­ полагается, что волноводы имеют ширину а и их центры находятся

Рпс. 2.9. Схема линейной антенной решетки из плоскопараллельпых волноводов с толстыми стенками.

на расстоянип Ъ один от другого. Пусть Ст обозначает коэффи­ циент овязн по току на п-й гармонике возбуждаемого волповода и волновода с индексом р. Напряженность магнитного поля в раскрыве решетки (—оо < х < оо) можно представить в виде

ОО

Я я (*)= 2 [ (^рс — Ср1) ФР 1 (х) +

ОО

при z = 0" и

оо

Еу(х) — 2 [( — ро— Ср1) ZjФр1(х)-(-

Р — — ОО

ооp b - j- a /2

2_______ top

У/ с 2 — ( я я /a )2

Условия непрерывности электромагнитного поля в раскрыве

[Нх {х, z = 0~) = Hx (x, z = 0+) и Еу (х, z = 0~) = Еу (х, z = 0+)]

приводят к интегральным уравнениям Фредгольма первого и вто­ рого рода относительно тангенциальной составляющей магнит­ ного поля в раскрыве

ООоо

Р = —ОО 7 1 = 1

и

ОООО

рЬ—а/ 2

аЯо2) (ж) — функция Гаикеля второго рода нулевого порядка. Уравнение (103) можно преобразовать к уравнению для собст­

6*

венных значений:

а /2

J Ф01{х')Нх (х')йх' = —af2

сопротивление возбужденного элемента решетки. Поскольку ядро уравнения (104) является комплексно-симметричным, для входного сопротивления, а следовательно, и для С01 можно написать ва­ риационное выражение

рассмотрим возбуждение двух элементов антенной решетки — эле­

ментов с индексами 0 и q. Пусть Еу (х’) и II^ (х') обозначают распределения электрического и магнитного полей в раекрыве

S D. (Так как мы имеем дело с интегральными операторами, то граничные условия учитываются автоматически; в случае диффе­ ренциальных операторов при задании области определения необ­ ходимо учесть граничные условия.) Если оператор действует иа функцию, он порождает новую функцию. Набор всех функций, порождаемых оператором при его действии иа любой элемент в области определения оператора, будем называть простран­ ством S L. Свойство лнпейности оператора означает, что еслп даны две функции хг и .г\, ц два произвольных числа сц и а 2, то выпол­ няется соотношение

Предположим теперь, что мы нашли каким-то образом систему линейно независимых функций, перекрывающую *) пространство S Dн другую систему, перекрывающую пространство S ь. Запишем эти две системы функций в виде {fn: /„ 6 S в } и {gn: gn £ FL) соответственно. Можно считать, что функции этих двух систем ортонормпровапы. Это не является ограничением, так как любую линейно независимую систему функций можно ортонормировать с помощью метода Грама — Шмидта.

Так как неизвестная функция х является элементом простран­ ства S д, то ее можно представить как линейную комбинацию функ­ ций /„:

где ап — неизвестные коэффициенты. Такое представление обычно содержит бесконечное число членов, если требуется найти точное решение уравнения (1). В этом случае системы функций {/„} л {gn} должны быть полными в соответствующих пространствах. Для нахождения приближенных решений суммы (2) обычно берут­ ся конечными. Система функций {/„} необязательно должна быть полной, хотя для получения верных результатов важно включать определенные элементы пространства. Это условие более подробно рассмотрено ниже. Сначала рассмотрим случай точного решения.

Подставляя выражение (2) и уравнение (1) найдем

Разность между левой и правой частями выражения (3) является нулевым элементом в пространстве S L. Чтобы убедиться в этом,

потребуем, чтобы элемент (у — У anKfn) был ортогонален ко всем элементам системы, перекрывающей S L:

г) Говорят, что система функций «перекрывает» пространство, еслп лю­ бую функцию из этого пространства можно, согласно соответствующей мере пространства, представить как линейную комбинацию функций системы.