книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток
.pdfОсновные формулировки граничной задачи |
71 |
При многомодовом возбуждении антенной решетки, представ-
.1
ленном, например, суммой 2 АгФг в выражении (36), определение
1=1
некоторых параметров решетки связано с математическими трудпостами, хотя само многомодовое возбуждение не вызывает затруд нений.
Важные для практики случаи многомодового возбуждения заслуживают особого внимания. Рассмотрим возбуждение волново дов двумя гармониками, которые часто бывают вырожденными (например, две ТЕп-волны в круглом волноводе). Одну из них можно представить горизонтально поляризованной (по оси х) волной ТЕХ1 = Фх, другую — вертикально поляризованной (по оси у) волной ТЕП = Ф2. С помощью этих двух линейно поляри зованных волн осуществляется ортогональное двухканальное воз буждение волновода. Используя простое унитарное преобразова ние второго порядка, можно найти две другие ортогональные вол ны или два других канала, чтобы наиболее удобно описать воз буждение волновода. Если сумма
( 6 9 )
представляет собой требуемое относительное возбуждение двух выбранных каналов, то нормированную амплитуду волны в волно воде можно найти по формуле
Ф].Х : |
Msl2)1/2 |
ФХ |
фо |
(70) |
(Ml |
|
(Ml 14-M il2)1/2 |
|
Нормированная гармоника, ортогональная к этой волне (ортого нальный канал), определяется выражением
Ф2ДГ' |
МП |
Фы |
Aj I |
А-2I |
Фч. |
(71) |
(I A i |2 + | Л 2 |2)1/2 |
Mil2 + |
А212)1/2 |
||||
|
|
|
|
|
В случае круглого (илп квадратного) волновода, когда в качестве Фх и Ф2 целесообразно выбрать линейно поляризованные волны,
для |
волн с круговой поляризацией полагают А х — ± /И 2, где |
знак |
определяется выбранным направлением вращения. |
2.4. Собственные значения интегральных операторов. Вариационные принципы. Волноводные модели
Наиболее важным параметром ФАР является нормированная входная проводимость элемента антенной решетки при заданном типе волны в волноводах. Соотношение (56) связывает входную проводимость с коэффициентом отражения. Поэтому вывод интег рального уравнения для собственных значений, в которых входная проводимость увх берется в качестве собственного значения, пред ставляет большой интерес.
72 Глава 2
Уравнение для собственных значений, краткий вывод которого приводится ниже, важно по нескольким причинам. Хорошо изве стно [6], что уравнение для собственных значений, в котором соответствующий оператор обладает требуемыми свойствами, мож но использовать для получения вариационно устойчивого выраже ния для собственного значения. В этом выражении для неизвестно го поля Е< можно использовать приближение первого порядка и получить приближение второго порядка или даже более точную аппроксимацию искомого собственного значения (в данном случае увх)- Кроме того, условия, которым должна удовлетворять геометрия антенной решетки, чтобы существовало вариационное выражение, идентичны требованиям, предъявляемым при кон струировании волноводных моделей решетки [10—13]. [Волновая модель решетки представляет собой прямоугольный (иногда тре угольный) волновод, который располагается в области z ^ 0 над решеткой так, чтобы закрыть заданное число ее излучателей. С помощью такого волновода, нагруженного на его характеристи ческое сопротивление, можно смоделировать свободное простран ство над решеткой для некоторых частных направлений луча.. Ниже будут рассмотрены требования к симметрии решетки, кото рые приводят к возможности такого моделирования.] При выводе этого выражения станет очевидной связь между внутренней гра ничной задачей (границами являются проводящие стенки) и зада чей для ФАР, в которой имеется система периодически располо женных стенок.
Будем считать, что к раскрыву каждого волновода приходит волна только одного типа, п поэтому положим в уравнении (44) / = 1 и А г = 1. Поскольку все эффекты, обусловленные возбуж дением в волноводе нескольких падающих волн, можно учесть на основе принципа суперпозиции, то это предположение не умень шает общности выводов. С помощью выражения (28) интегральное уравнение (44) можно преобразовать в уравнение для собственных значений:
Ув^У1^ 1 (г) j j |
Ф! • Ei da' = j j |
1/гФ« (г) Фг (г') + |
|
|
|
.4 ' |
A ' |
i= 2 |
|
2 |
оо |
со |
|
|
+ 2 |
2 |
2 ^pma^ p m n (r)4 % 4 r')]-E ,(r')d a', |
(72) |
|
Р=1 —00 —00 |
|
|
||
где собственное значение yBXl — входная проводимость, определен
ная выражением (56); вектор г определяет координаты х и у точки в области А'\ da' — элемент площади в точке г'. Уравнение (72) для собственных значений является частным случаем уравнения
Основные формулировки граничной задачи |
73 |
обобщенной задачи о собственных значениях:
z/BXi0iE/ = 0Ei, |
(73) |
в котором интегральные операторы 0 Хи 0 определяются выра жениями
© 1 = г/х j j Ф. (г) 0>1 (г')-------- |
da' |
(74) |
и
OQ
© = j J [ 2 г / ^ ( г ) Ф ; (г') +
A ' г= 2
2 |
со |
со |
|
|
+ 2 |
2 |
2 ^m n'F pmn(r)4 ^mn(r')] |
da'. |
(74а) |
В обычных уравнениях для собственных значений оператор 0 г является оператором идентичности. В данном частном случае обобщенного уравнения оператор 0 Хпредставляет собой обособлен ное парное произведение. Можно показать [6, 14], что существует (и притом единственное) собственное значение z/DXи единственная собственная функция Е ( — решение уравнения (72). Таким обра зом, можно предположить, что в общем случае уравнение (44) так же имеет единственное решение [6, 16]. Особого внимания заслу живает то, что оператор 0 не является симметричным в комплекс ном пространстве, и поэтому в некоторых случаях не очевидно, что из уравнения (72) можно получить вариационное выражение.
Для получения вариационного выражения преобразуем уравне ние (72) в комплексно-симметричной форме. Это можно сделать двумя способами. При первом способе [17], который будет рассмот рен ниже, выявляется связь между проведением преобразования и конструированием волноводной модели. Для проведения пре образования мы потребуем, чтобы структура волноводной антен ной решетки была инвариантной для операторов группы отраже ний Fx и Fy и симметрии R z [8]:
Fx— оператор отражения в плоскости yz, |
|
|
Fy — оператор |
отражения в плоскости xz, |
(75) |
Rz — оператор |
поворота вокруг оси z на 180°, |
Rz = FxFy — FvFx. |
Если выполнены эти условия, мы можем сфазировать антен ную решетку таким образом, чтобы она имела одновременно четыре луча (рис. 2.7), для которых
01 = 02 = 03 = 04= 0, Ч>1 = Ф» ф2 = Я— ф, фз^Я + ф,
ф 4 = — ф ,
74 |
|
|
Глава 2 |
|
|
||
ИЛИ |
(Тх1, Тг1) = |
(ТХ, Ту), |
|
|
|||
|
(Тл-21 Ту%) = |
( |
Тх, Ту), |
|
|
||
|
(Тхз, 7’уз) = ( - 7 1.г-, -Г » ), |
|
|||||
|
(Г,4, ?V) = |
(?’,, - |
|
|
|||
При этом распределение электрического поля имеет вид |
|
||||||
Sn = {%х (ж, |
У, z), |
%у (х, у, z)} = |
Е,, |
|
|||
8/2 = |
{ —8*( — а;, у, z), |
g„( —.т, г/, s)}, |
|
||||
8/3 = { —%х( — X, |
— У, z), — %у ( —X, —у, z)}, |
' |
|||||
8 / 4 = |
{ ^ х i x i |
У 1 z)> |
|
Ш у ( х , |
у , Z ) } . |
|
|
С помощью соотношений (77) и (38) можно найти результирую-
Рис. 2.7. Возбуждение четырех лучей при волноводном модели ровании.
щее электрическое иоле 8* во внешней области (z> 0):
8 г = |
|
Укх |
|
|
X |
|
|
|
|
|
^V bdV fc* |
m |
+** |
|
|
|
|
||||
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V 2mn |
“Ь |
lmn |
sin kx |
x cos /с„ |
I/ |
|||
х е |
iTmnz |
|
m |
unJ |
||||||
V2mn |
k„ |
|
cos |
|
a;sin k„ |
• (78) |
||||
|
|
|
|
^ lmn |
m |
у |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
una |
||
Основные формулировки, граничной задачи |
75 |
||
Используя формулы (11) и (12) для кхт и ку , можно |
показать, |
||
что для управляющих фаз |
|
|
|
, |
, |
я/ |
|
Ф., = Ф*/5= — |
|
||
и |
|
|
(79) |
где /, g — нечетные целые |
числа, |
s, h — целые числа; результи |
|
рующее электрическое поле удовлетворяет равенствам |
|||
со |
г\ |
hd |
, |
ШХ1= 0 при |
y = ± ~ Y |
||
|
|
|
(80) |
%yt = 0 при х — ± |
. |
||
Следовательно, в этих сечениях, не нарушая распределения поля, можно установить металлические стенки, получив конструкцию, в которой один или несколько волноводов решетки будут излучать энергию в один более крупный волновод. Таким образом, для бесконечной антенной решетки при некоторых направлениях сканирования получен эквивалент в виде волноводного перехода. Волноводное моделирование ФАР возможно [18] для управляю щих фаз, удовлетворяющих соотношениям (79).
Из выражения (78) можно найти систему вещественных орто-
нормированных |
гармоник Ч^ртп для |
свободного |
пространства |
||
(z ^ 0), которые будут ортогональными |
в расширенной |
прямо |
|||
угольной области, |
определяемой формулами (80). |
Эта |
область |
||
(выделенная на |
рис. |
2.7 прямоугольным контуром) |
обозначается |
||
как A s (площадь волноводной модели). Таким образом, если воз можно осуществление волноводной модели, то задача оказывается типичной внутренней граничной задачей и можно получить вариационно устойчивое представление [19].
Систему волноводных гармоник Фг- можно переопределить таким образом, что новые гармоники будут ортонормированными в области As. Прежде всего перейдем к обозначениям с тройным
индексом [см. |
выражение (25а)]: |
|
|
|
Ф( |
Фртп |
|
и выберем те |
гармоники, которые удовлетворяют соотношению |
||
|
Фрт„ ( - * , - ? ) |
= ( - 1Г+ПФртп (*, У) |
(81) |
76 |
Глава 2 |
(этот выбор всегда возможен). Тогда система волн, ортопормированных в области Я,., будет иметь вид
если
т— нечетное| (п — четное
т— четное J \/г — нечетное
где выбор верхнего и нижнего сомножителей в фигурных скобках определяется для каждого типа волны Фртп симметрией компо нент поля этой волны.
Представив полные поля во внутренней и внешней областях с помощью новых собственных функций, определенных выраже ниями (78) и (82), можно написать следующее уравнение для соб ственных значений:
J/bXi ( |
I)™ |
Ур'т'п’Ф'р’т'п' ] |
j Фр'ш'п'-Е) da |
= |
|
|||
|
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
= |
2 ’2 ' 2 |
' (~ |
1 )т+ПУртпФртп j J |
Фртп• E, da' + |
|
||
|
|
р ТП п |
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
+ 2 |
2 |
2 |
УртпУтп j |
j 'Epmn-Ei da', |
(83) |
|
|
|
p |
m |
n |
As |
|
|
где индексы p'm'n' |
соответствуют падающей волне (обозначенной |
|||||||
выше Фг = |
Ф,), а Е\ — поле E t в области A s с учетом всех четырех |
|||||||
лучей. Суммы 2 2 |
2 означают, что при суммировании опускает |
|||||||
ся гармоника падающей волны. |
Входная проводимость yBXi иден |
|||||||
тична |
проводимости yD%i в уравнениях (72) и (73). |
|
||||||
Ядро уравнения (83) теперь имеет комплексно-симметричную форму и поэтому можно сформулировать вариационный принцип
[3, 6] определения увх : |
|
|
|
|
|
|
|||
УвхЛ — ^)т +П' Ур'т'п' |
( j |
j |
Фр'т’п '- Е ^ а )2 = |
|
|||||
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
, 2 |
, 2 |
, ( |
- |
1)m+nyp"*»(J J |
’ Е/ da ) 2 + |
|
||
р |
т |
п |
|
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
2 |
2 Ур тп |
Ш 'Epmn'E't da j 2 |
(84) |
|
|
|
|
|
р |
т |
п |
|
|
х) Целые числа (t , и) обозначают положение единичной ячейки или волно вода антенной решетки внутри большего по размерам моделирующего волно вода (рис. 2.7). Поэтому координаты i, j в выражении для Ф рт п (я, у ) сле дует отсчитывать относительно (г, у)-й ячейки. Отметим, что выбор индек сов в выражении (81) возможен для любого симметричного волновода.
Основные формулировки граничной задачи |
77 |
Интегралы в уравнении (84) удобно преобразовать к такому же виду, как в уравнении (72), когда интегрирование производится по площади А' только одного волноводного раскрыва, а электри ческое поле Ej соответствует возбуждению ФАР, при котором возникает один луч (луч 1 на фиг. 2.7). В результате преобразова ния уравнение (84) принимает вид
УВХ1 ( 1) |
Ур’т 'п ' |
|
|
|
= |
||
|
|
|
Л' |
|
|
|
|
= |
2 |
72 |
12 (- |
l)m+”j/pmn ( J J Фртп • ЕI da)2 + |
|||
|
р |
т |
п |
|
|
|
Л ' |
|
|
|
+ |
2 |
2 |
2 |
У Р"« ( j J ' I W - E ^ a ) 2 . (85) |
|
|
|
|
р |
771 |
П |
Л ' |
В практических задачах иногда желательно определить пара метры эквивалентной Т- или П-образиой схемы перехода от внутрен ней области волноводов к внешней, представленной также волно водом. Для них можно получить вариационные выражения [1], если расположить короткозамыкатель (электрический) на некотором расстоянии z от раскрыва решетки в области z > 0. Для получения всех параметров необходимо взять несколько значений z. Полу чающиеся при этом вариационные выражения вместо комплексно симметричного ядра оператора имеют вещественное симметричное ядро, и поэтому для решения можно использовать метод Релея — Ритца [1, 6]. Комплексный коэффициент отражения R определяет ся затем с помощью параметров эквивалентной схемы. Кроме того, если вещественный симметричный оператор является положитель но пли отрицательно определенным [6] (что очень редко встречает ся в практических задачах), то можно получить оценку погрешно сти приближенного решения.
Второй способ получения комплексно-симметричного ядра уравнения для собственных значений [20, 26] не позволяет уста новить связь между периодической ФАР и волноводной моделью. Для получения комплексно-симметричного ядра по этому методу
необходима также определенная симметрия решетки. |
что |
Прежде всего отметим, что из формул (18) и (20) следует, |
|
'Е у т п п ( г ) ~ ехр ( — / к т в • г ) = [ехр ( + ] k Xj)x + j k y j ) ] * , |
( 8 6 ) |
где звездочкой отмечено комплексное сопряжение. Сделав в урав нении (72) подстановку
( г ) - ( - г ) , |
(87) |
78 |
|
|
|
Глава 2 |
|
|
получим |
|
|
|
|
оэ |
|
I/BXiJ/i(I>i ( — г) |
j j |
d>! (г') • E, da' |
|
|||
j J [ 2 ^ « ( - o ® i ( r ' ) + |
|
|||||
|
A' |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
2 |
2 5rpmn^m« (r) W*mn(!•')] -E, (r#) da! |
(88) |
|
|
|
P |
m |
n |
|
|
Если теперь |
предположить, что |
функции Ф* обладают |
свойст |
|||
вом |
|
|
|
Фг (г) = ± |
Ф; ( — г), |
(89) |
|
|
|
|
|||
то оператор проводимости в уравнении (88) оказывается комплекс но-симметричным. Если же соотношение (89) для волноводов не
Рпс. 2.8. Бесконечная решетка и отдельный волновод.
а — б е с к о н е ч н а я Ф А Р п з в о л н о в о д о в ; 6 — о д н и и з в о л н о в о д о в с с е ч е н и е м А и р а с к р ы в о м А '.
выполняется, уравнение (88) не является комплексно-симметрич ным и не выполняются условия симметричности (75). Это будет до казано на примере несимметричных диафрагм, установленных в раскрывах волноводов (рис. 2.8). В случаес имметрии г' £ А' и г £ А', где £ — символ принадлежности. Однако в уравнении (88) г' £ А', а —г £ А Ф А ’. Следовательно, оператор в уравнении (88), кото-
Основные формулировки граничной задачи |
79 |
рый содержит и интегрирование и ядро, является несимметрич ным. Поясним это подробнее. Определим новую областью!" = А + + А' таким образом, чтобы — г £ А" и г' 6 А". [Область А" пред ставляет собой полное сечение волновода (рис. 2.1). Она является наименьшей областью, содержащей обе области изменения пере менных г' и —г.] Полагая
|
|
/с'(г') = |
1 |
в А' |
и 0 |
вие А', |
(90) |
|
|
/v(r) = |
l |
в А |
и 0 |
вне А, |
|
|
|
|
|||||
можно |
установить, что получившийся интегральный оператор |
||||||
и новое ядро, |
определеипьте формулой |
|
|
||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
+ |
S S S |
3 W F ^ n (r )4 % n ( r,)]fc(r)fc' СО} -E/(r')da', (91) |
|||||
рт п
не симметричны из-за функций к.
Таким образом, насколько можно утверждать в настоящее время [20], применение вариационных принципов для расчета характеристик ФАР с отклоненным на некоторый угол лучом осно вывается на предположении о наличии у решетки зеркальной симметрии [условия (75)]. Требование симметрии согласуется с условием теоретической возможности изготовления волноводной модели. Это означает, что асимметричные неоднородности и диаф рагмы или несимметричное расположение волноводов в раскрыве антенной решетки препятствуют конструированию волноводных моделей решетки и применению вариационных принципов для ее анализа.
Необходимо отметить, что решение уравнений (44) или (88) методом моментов [21] эквивалентно [22] использованию вариа ционного выражения (85). Следовательно, для получения прибли женного решения с помощью стационарного представления не обязательно преобразовывать уравнения (44) или (88) к специаль ной форме (85). Этот вывод проанализирован в гл. 3.
2.5. Другие формы интегральных уравнений и вариационных выражений
Интегральные уравнения Фредгольма первого рода, к которым относятся уравнения (44) и (55), не являются единственным типом интегральных, уравнений, который можно использовать для ана лиза рассматриваемой антенной решетки. Хотя решения Ег и Н, — единственны, уравнения для них могут иметь различную форму. Например, аналитические преобразования уравнения (44), использующие свойство ортонормированности волноводных типов
80 |
Глава 2 |
волн |
Фг и пространственных гармоник xFpmn, могут привести |
к другим формам интегральных уравнений, которые, по-видимому, будут иметь иные физические интерпретации и, возможно, окажутся более удачными для применения ряда приближенных методов решения.
Особенно полезным общим типом интегральных уравнений являются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Интегральные уравнения этого типа наиболее подходят для итера ционных методов решения.
Рассмотрим для иллюстрации уравнение Фредгольма первого рода (44) с одной падающей волной (Ах = 1, A t = 0 для i > 0). Воспользовавшись оператором идентичности (34) или (35), можно наппсать
СО
y&t = yi J [ |
2 <M>fEt da'. |
(92) |
A ' |
i = l |
|
Сложив это уравнение с уравнением (44), получим относительно Е( уравненпе Фредгольма второго рода [17]:
оо
Б; = 2Ф1 j j [ 2 ( ^ ) < М > < +
А ' i — 1 |
|
2 |
со со |
+ |
S |
2 |
2 ^ m n 4 W F * m„ ].E ,d a \ |
(93) |
|
р = 1 т = — со п = — оо |
|
||
Уравнение (93) |
имеет |
форму, удобную для итерационного |
||
решения [21]; в частности, решение можно получить методом итераций Неймана [6]. Применяя операторное обозначение,
уравнение |
(93) |
можно записать в виде |
|
||||
|
|
|
(П-[-0Лг)Е 4= |
2Ф1, |
(94) |
||
где П —единичный |
оператор [см., |
|
например, выражение |
(35)], |
|||
<3N— интегральный |
оператор уравнения (93): |
|
|||||
|
оо |
|
2 |
|
|
|
|
©N = j j [ |
2 ( |
^ Г |
1 ) ф *ф *+ S |
2 |
2 |
ГртпЧГртвЧ % п ]--------da1. |
|
А ' |
i = i |
|
р = 1 |
т |
п |
|
(95) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формально решение уравнения (94) можно записать следующим образом [21, 23]:
£ i = S ( - l ) 50 x (2 Ф0- |
(96) |
3=0 |
|
Сходимость ряда, однако, здесь не гарантируется. В данной главе этот метод решения не рассматривается, так как наша цель — обоснование выбора интегральной формы (93).