Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
401 |
кой (см. разд. 2.2.1 и 2.2.2). Во-первых [42], непрерывное спектраль ное представление в виде интеграла Фурье, используемое для поля в области z ^ 0, нельзя проинтегрировать в замкнутой форме (в виде функции Грина). Это значительно затрудняет численное решение задачи. Хотя функция Грина для области диэлектрика над бесконечным плоским экраном детально рассмотрена в литературе [43, 44], анализ ограничивается асимптотической оценкой интегра ла Фурье для функции Грина в дальней зоне. Во-вторых, в ди электрическом слое возможно возбуждение поверхностных волн так же, как н в ребристых структурах, описанных выше в разд. 2.1. (Возможность возбуждения поверхностных волн вытекает из спек
трального |
представления.) Поэтому геометрию |
структуры |
(рис. 8.43) |
необходимо выбирать так, чтобы при этом |
не возбуж |
дались поверхностные волны. В действительности, представление поля для этой структуры во внешней области обладает всеми свой ствами дискретной суммы для области z ^ 0 бесконечной решетки. В этом случае дискретная сумма становится непрерывным инте гралом (см. разд. 2.2.1 и 2.2.2). Физическая интерпретация зату хающих, захваченных п излучаемых гармоник, а также других факторов по существу остается такой же, как и в предыдущих главах.
При поляризации, показанной на рис. 8.43, падающая волна ТЕ10 возбуждает только рассеянные поля ТЕ-типа (см. разд. 2.2.2). При отсутствии зависимости полей от координаты у уравнения Максвелла для структуры на рис. 8.43 принимают вид
ТТ |
|
, |
дЕу |
|
]<йу0Нх = |
|
|
|
и |
|
|
|
|
( - & |
+ ш + кЧ |
в » = 0’ |
<62> |
|
Г е при 0 < !z ^ d , |
|
&l |
[ 1 |
при z ^ d . |
|
Если теперь представить, |
что |
|
|
|
оо |
|
|
|
Еу(*) = |
J dk* J dx'e-Jb*x-x’)Eg (*'), |
(63) |
|
— оо |
А |
|
|
где преобразование Еу (х) определяется как |
|
ev(k*)=2^ |
j d*V***'£v (*'), |
(64) |
|
|
А |
|
|
то легко выразить Шу (х, z) и сШх (х, z) через Еи (х), используя граничные условия при z = d [непрерывность тангенциальных составляющих Шу (х , d) и $ВХ (х, d)] и условие излучения при
402 Глава 8
z —>-оо. В результате |
получаем |
|
|
Щу (х, |
z ) = |
j dx'GE(х, z ; х \ |
0) Е У(х'), |
|
|
А |
|
(65) |
|
|
|
|
$вх(х , Z) = - ^ - \ |
Z; X' ) E v(X')' |
|
|
А |
|
|
где соответствующая функция Грина имеет вид |
Ge(x, z ; х ,) = - ± г |
JСОdkxe-M *-*') х |
|
' |
|
Те COS Vs (d —z) + jy sin yE jd — z) |
, O^z^cZ; |
X |
yecosyed + jy s i n y ed |
(66) |
|
|
|
VeCOSTe^+ ZYsinVerf |
’ |
d < z , |
|
|
а постоянные распределения внутри и вне диэлектрического покры тия соответственно равны
Те = Vefca — /4 = — i V/4— е/с'Г |
fi? |
у = У к ^ ¥ х = |
|
для временной зависимости е;“г. Таким образом, |
при z = 0 тан |
генциальные поля в апертуре определяются выражением (63)
для |
Еу (х), |
а для Н х (х) — выражением |
|
|
H A |
D = - |
СО |
У |
|
\ i x ’ J«ЧкУYe + /YtgYed |
(68) |
|
|
y+ /YetgTe^e-jfcvte-!t4jg (X') |
Аоо
Отметим, что порядок интегрирования в вышеприведенных уравнениях изменен, поэтому здесь также возникает вопрос о схо димости (см. разд. 2.2.2). Данный порядок интегрирования можно считать символическим и предполагать, что в любом реальном чис ленном расчете будут использоваться соответствующие базисные функции и способы вычислений, о которых говорилось в разд. 2.2.2. Запись выражения (68) аналогична записи выражений для беско нечной решетки с диэлектрическим покрытием (см. гл. 6 и 7). Отметим, что бесконечная сумма 2т=-оо в заДаче 0 бесконечной
решетке здесь заменена интегралом 1 dkx, |
а модальная прово |
димость непрерывного спектра имеет вид |
|
Ye |
V+ /VetgVerf |
(69) |
МЦо |
Ye + n’tgYe'Z |
|
и по форме идентична модальным проводимостям дискретных гар моник в случае бесконечной решетки с диэлектрическим покры тием.
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
403 |
Следует добавить, что выражения (68) и (69) имеют по существу ту же форму и при возбуждении полем с ортогональной поляриза цией (т. е. полем, поляризованным в плоскости Е или в плоскости yz). Проводимости гармоник непрерывного спектра при такой поля ризации пропорциональны обратным величинам уЕ и у [см. выра жения (25), (26) и (32) - (34)].
Зная выражения для полей Е у (х) и Н х (х) во внутренней обла сти (а < 0), можно найти тангенциальные составляющие электри
ческого и магнитного полей в апертуре |
|
|
ии |
|
|
Еу (®) = (1 + R) й \ (х) + |
2 |
Ф» (*) ( Фп (*') Еу (*') dx', |
|
|
п = 2 |
А |
|
1 -f- R = j |
Ф1 |
(х') Еу (х') dx' |
^yQ^ |
Л
оо
Нх (х) = - 2YAR (х) + 2 Y nOn (х) j Ф 1 (*') Еу (х') dx'. (71)
71— 1
Из граничных условий для IIх (х) в апертуре находим интеграль ное уравнение для Еу (х):
|
ОО |
|
|
2У,Ф, (ж) = j dx' |
{ 2 УпФп (*) Фп (х') + |
|
|
|
7 1 = 1 |
|
|
где |
“Ь |
^е (х г х ) } Еу (X■ ), |
(72) |
|
|
|
Ge {X, |
х') = ~2~ j dkxYeT+iVetgYed |
(73) |
|
Te + /VtgYe<i |
|
Как уже говорилось, следует помнить о символическом порядке интегрирования в уравнениях (72) и (73), когда возникает вопрос о сходимости этих интегралов.
При выборе соответствующих ветвей функций у контур инте грирования в интегралах (63) и (73) может проходить вдоль дей ствительной осп (рис. 8.44). Отметим, что форма подынтегрального выражения в уравнении (73) такая, что точки ветвления находятся
в нулях функции у (кх = ± к), а в нулях уе (кх = ]/"е к) точки ветвления отсутствуют, поскольку подынтегральное выражение является четной функцией уе.
При оценке выражения (73) необходимо учитывать особенности подынтегрального выражения (при кх = кхр, рис. 8.44). Отметим,
что нули выражения |
|
Ye + jy tgYed|ft*=fc*p = 0 |
(74) |
404 Глава S
совпадают с нулями характеристического уравнения для диэлек трической пластины на плоском экране [45]. Из существования нулей следует, что при такой поляризации в пластине могут возбуж даться поверхностные волны. Вычеты в этих полюсах более под робно рассмотрены ниже.
Часть ядра уравнения (73), относящуюся к внешней области, можно записать так, чтобы ее сингулярная часть была вынесена за знак интеграла. Эта операция аналогична операции, которая выполнялась в гл. 5 для выделения квазпстатической части поля. Аналогичную операцию можно осуществить для дискретной части
Рис. 8.44. Контур интегрирования. Рис. 8.45. Контур интегрирования С для поля в дальней зоне.
ядра уравнения (72), а также для обеих частей ядра при поляриза ции в плоскости Е. В данном случае при к%> к\ как у, так и уе
становятся чпсто мнимыми и подынтегральное выражение G (х , х') принимает вид
1 У I + |
1 Ye I th 1уЕ I d |
jhx{x_x l |
(75) |
/ | Ye I Ye 1+ |
1Y I th| Ye I ^ |
|
Так как th и ~ 1 при больших и, достаточно большое, чтобы при ношение
можно найти некоторое число М, | уЕ | d М выполнялось соот
|
I Y ] + |
1Ye I t h I Ye I ^ |
^ л |
|
(76) |
|
I Ye I + 1Y I t h | у е | d |
|
|
|
В пределе при |
М —*~ о о |
получим следующее |
выражение |
для |
§е {х, х'): |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
Ge {х, *') = у (S |
' + |
®'к I * ~ |
*' I) + S |
J dk^ х |
|
|
|
|
|
—оо |
|
|
|
(Y — Ye) (t — J t g Ye^) |
c - 7 h v t x - x ’) |
n y \ |
|
|
X |
/Y t g yed |
’ |
v ’ |
|
|
Ye + |
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
405 |
в котором сингулярная часть отделена регулярной от части быстро сходящегося оставшегося интеграла.
В интегралах уравнений (63), (73) и (77) при изменении | кх \ 2 от 0 до оо в различных областях значений | кх | в спектре поля
вапертуре появляются различные типы волн. Значения | кх | 2 ^
^к2 соответствуют части спектра, связанной с распространением
волн в воздухе и диэлектрике. При к2 ^ к%^ гк2 возбуждаются волны, захваченные в диэлектрике, т. е. волны, распространяющие ся в диэлектрике и затухающие в воздухе. Остальные волны, соот ветствующие области значений | кх | 2 ^ гк2, затухают и в возду хе, и в диэлектрике. Как можно видеть из выражения (77), в ну лях функции уе теперь находятся точки ветвления подынтеграль ного выражения. Линии разрезов на рис. 8.44 соединяют точку
— к с точкой — У е к и точку + к с точкой 4- У гк. Тот же контур интегрирования и линии разреза можно использовать и при
поляризации в плоскости Е. |
Полюсы поверхностной |
волны |
кх = кхр |
будут лежать на линиях разреза. |
случае |
Цель |
преобразования ядра |
состоит, так же как и в |
квазистатического преобразования для бесконечной решетки, в том, чтобы придать ядру форму, удобную для численной оценки, при которой бесконечную область интегрирования в уравнении (73) требуется свести к конечной. Однако интеграл в выражении (77) сходится гораздо быстрее, чем в уравнении (73), если пределы рас ширяются до ± оо. Следовательно, после сведения уравнения (73) к уравнению (77) можно с достаточно хорошим приближением перейти от сингулярного интеграла к интегралу с конечными пре делами, благодаря чему значительно упрощаются вычисления.
После того как из уравнения (72) найдено поле Еу (х) в аперту ре, из выражения (70) можно определить коэффициент отраже ния R. Поля для всех значений z ^ O находятся из выражений (65). Особый интерес представляет оценка выражений (65) в дальней
зоне (кг |
1). Поле в дальней |
зоне определяется из |
выражений |
(65) методом перевала. |
|
|
Рассмотрим сначала поле при z ^ d. Пусть |
|
|
kx — ksinw |
и y — kcosw. |
(78) |
Это преобразование отображает комплексную плоскость кх в по лосу — л ^ Re » ^ п комплексной плоскости w (рис. 8.45). Вводя преобразования (78) в выражения (65), получаем
Еу (р, 0) = к j dw cos u;e-JftP°0S <№_0)ег/ (к sin w) x
У г —i |
(79) |
X |
У e —sin2 w cos k d У е —sin2 w - \ - j cos w sin k d |
R/e —sin2 w ’ |
где ey определяется выражением (64). Контур интегрирования С показан на рис. 8.45. Координаты (х , z) связаны с (р, 0) соотноше
406 |
Глава 8 |
ниями |
,T=psm0, z— d = pcos0, |
|
где p и 0 изменяются по отношению к точке (0, d) = (х , z).
Для использования метода перевала контур интегрирования С надо преобразовать в контур быстрейшего спуска. Если в процес се преобразования контура некоторые полюсы подынтегрального выражения пересекаются контуром, то исходный интеграл будет равен интегралу по контуру быстрейшего спуска плюс вычеты в таких полюсах, вычисленные по теореме Коши. Характерные для данной задачи полюсы, соответствующие поверхностным и вы текающим волнам, исследованы достаточно хорошо [43, 44]. В частности, тщательно изучено влияние так называемых вытекаю щих волн (комплексные полюсы) на диаграммы направленности линейных источников. Интеграл вдоль контура быстрейшего спу ска можно оценить с помощью основного вклада в седловых точ ках, определяемых выражением
d
-^j-COS(w— 0S) = O или ш = 05.
Процедура применения метода перевала близка к обычной [45]. Окончательные результаты имеют вид
Еу (р, 0) ~ —k Y 2л//ф / (0) е— |
”/4>-(- |
|
+ ^ Res (wp) |
для |
< 0 < |
или |
|
|
|
Еу (р, В) ~ к У я/2/" (т |
)— |
-----Ь 2 |
Res(wp) |
для 0 = |
(при условии /с]/е — id=^nn/2), (80) |
где диаграмма направленности определяется выражением |
/(9 )= |
|
______ |
|
_________________________~]/е— sin2 0_______________________
У е—sin2 0 cos kd Д/s— sin20 + / cosOsinkd У е— sin20 cosOiS,, (fcsinO) (81)
Вычеты в полюсах wp определяются выражением
Bes (wp) = jk cos Wpe-iho(-cos |
y (k sin u>p) x |
V е—sin^10T
X
— sin2 wcos kd Y e — sin2u;-|-7 cos ш-sin kd Y e — sin2 w) |ш=шр
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
407 |
Полюсы подынтегрального выражения являются решениями характеристического уравнения (73)
Y е — sin'2 w cosk d Y &— sin2 w + j cos w• sin kd ] / e — sin2 w = 0.
Зависимость p-3/2, полученная для Ey (p, 0) в выражении (SO), является характерной для поляризации электрического поля параллельно плоскому экрану (см. разд. 2.2.2).
На рис. 8.46 приведены кривые, отражающие распределение мощностей между излучаемыми поверхностными и отраженными волнами. Волновод (рис. 8.43) возбуждается падающей волной единичной мощности. Отраженная мощность определяется путем
Рис. |
8.46. Зависимость |
мощности излученной |
(•---------- |
), отраженной (--------------- |
) и поверхностной |
( -------- |
) волн от размеров |
волновода при |
его воз |
буждении волной единичной мощности (е = |
4, d / a = |
|
= 0,25). |
|
возведения в квадрат коэффициентов отражения [см. выражение (70)]. Мощность поверхностной волны можно найти, интегрируя вектор Пойнтиига на плоскости yz (нормальной к направлению распространения поверхностной волны) и определяя вычеты по формулам (80) — (82). Мощность излучения определяется инте грированием поля излучения в выражениях (80) и (81). Из кривых рис. 8.46 следует, что при данных значениях параметров поверх ностные волны не возбуждаются, пока
Эта величина соответствует критической длине поверхностной ТЕ-волны [45], которую можно определить из характеристическо
го уравнения (73):
d 1 1
X 4 "]/е —1
Результаты расчетов нормированных диаграмм направленности для нескольких длин волн приведены на рис. 8.47. Условием нормирования является следу
ющее выражение: Излучаемая мощность =
л/2
|
|
= ■[ |
| F (0) |2 <20. |
|
|
—л/2 |
|
|
|
|
Диаграмма |
F (0) |
пропорцио |
|
|
нальна / (0) в формулах (80) и |
|
|
(81). Критическая длина волны |
|
|
первой гармоники |
поверхност |
|
|
ной волны |
определяется при |
|
|
данном выборе параметров со |
|
|
отношением |
Якрит/й = 1,312. |
|
|
Как видно, при А ,>^крит повер |
|
|
хностные волны не возбуждают |
|
|
ся, а максимум излучения наб |
|
|
людается при угле, близком к |
|
|
90°. По мере приближения дли |
|
|
ны волны к критическому значе |
|
|
нию угол максимального излу |
|
Рис. 8.47. Диаграммы направленно |
чения приближается к 90°, т. е. |
|
к оси излучателя. При дальней |
|
сти | F (0) | (е = 6, d l a = 0,147). |
|
|
шем увеличении длины волны |
(за пределы критической) энергия излучения в осевом направле нии в конце концов превращается в энергию поверхностной волны. Одновременно с этим возрастает излучение в поперечном направ лении.
На рис. 8.48 приведено распределение поля | Е у (х) | в аперту ре, полученное методом моментов с системой волноводных типов волн в качестве базисных функций. Отметим, что часто исполь зуемое приближение для поля в апертуре в виде падающей волны не учитывает высшие типы волн, которые возбуждаются при неко торых длинах волн. Эти длины волн приблизительно соответству ют области, в которой возбуждаются поверхностные волны.
Важность вопроса о возбуждении поверхностных волн для про ектирования антенной решетки не вызывает сомнений. В конечной решетке на плоском экране с диэлектрическим покрытием на краях может теряться значительная часть мощности, а излучение поверх ностных волн приводит к искажению диаграммы направленности
Решетки конечных размеров. Краевые эффекты |
409 |
решетки. Более того, если решетка собирается из комбинирован ных элементов, возбуждение поверхностных волн усложнит ана-
Рис. S.48. Распределение поля | Е у I в апертуре (е = 6, d / a =
= 0,147).
лиз взаимной связи, проведенный в предыдущих главах. Зависи мость мощности поверхностной волны (при единичной падающей
мощности) от а/Х приведена на рис. 8.49 для различных значений толщины диэлектрического покрытия.
П Р И Л О Ж Е Н И Е 1
УЧЕТ НЕСКОЛЬКИХ ТИПОВ ВОЛН В КОРОТКОЗАМКНУТЫХ ВОЛНОВОДАХ
При обсуждении модулированных поверхностей было предпо ложено, что только один тип волны существует в короткозамкну тых волноводах (илп в волноводах с оконечными нагрузками). Для учета конечного числа типов волн в короткозамкнутых вол новодах можно использовать одни из рассмотренных выше мето дов. Типы волн могут быть как распространяющимися, так и за тухающимп.
Для решения этой более общей задачи необходимо рассмотреть дополнительные волны высших типов, отражающиеся от короткозамыкателей и распространяющиеся к раскрыву волновода, т. е. необходимо ввести коэффициенты взаимной связи для этих гар моник. Выше были введены коэффициенты взаимной связи на т-й гармонике с гс-ым волноводом периодической ФАР следующим образом:
где 1т (ф) — модальные коэффициенты т-й гармоники. Эти коэф фициенты можно определить экспериментально, точным расчетом илп численным решением интегрального уравнения
2У0Фо(у)= j К (г/, у') Ег (y')dy',
А
где У0 — модальная проводимость, Ф0 (у) — возбуждающая гар моника, а К (у, у') — ядро для рассматриваемой решетки
(см. гл. 2).
Для учета действия'короткозамкнутого отрезка (или оконечной нагрузки) на гармонику Фд (у') надо решить уравнение
2Yq$)q(у) = j К (у, y')Et (y')dy',
А
где К (у, у') сохраняет свое прежнее значение, а Фд (у) представ ляет собой затухающую или распространяющуюся волну. Модальные коэффициенты этого решения можно обозначить через д1т (яр) и ввести новые коэффициенты взаимной связи
2я -я