книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток

для изменения порядка интегрирования и суммирования (это поз­ волило избежать появления расходящегося интеграла). Рассмот­ ренная операция аналогична операции, выполненной в выражении (48). Удовлетворяя граничным условиям для IIх по всем апертурам и используя выражение (49) и (54), получаем

22 V A iW =(^+/c2) J {2 2 - ^ ф Р п ( х ) Ф р п ( х ' ) +

+ 2^ Я(°2) { Ц Х ~ Х>|} ) Ev {Xl dX' (55)

Это выражение представляет собой интегродпфференциальное уравнение для решетки из N волноводов без диэлектрика, когда р-й волновод возбуждается модальным напряжением ар. Анало­ гично можно вывести это уравнение для решетки, волноводы кото­ рой содержат диэлектрические вставки. В этом случае изменяются только проводимости в уравнении (55) так, чтобы свободный член в левой части уравнения содержал проводимости вида

р 1' ■Yр 1

________ YplYE________

Y % x cos Ypidp + 7'Ур! sin у%у1р ’

а внутренние, или волноводные, проводимости в правой части

Вопрос о сходимости для уравнения (55) полностью не будет решен, даже если сохранится порядок интегрирования и диффе­ ренцирования. Этот вопрос возникает при попытке решения урав­ нения (55) методом моментов. Те же трудности существуют как для внутренней области интегрирования [дискретной части спектра ядра интеграла (55)], так и для виешней (непрерывной части ядра).

Отметим, что обе части ядра (55) имеют логарифмические осо­ бенности при х = х '. Это тот же тип особенности, который имели обе части ядра интегрального уравнения при сканировании в Е- плоскости [выражение (37)].

При сканировании в 7?-плоскости выражение Еу (у) имеет осо­ бенность на краях апертуры, что является следствием граничных условий на краях. При сканировании в 77-плоскости Еу {х) не име­ ет особенностей, за исключением второй производной от Еу по х на краях апертуры, т. е. Еу (х) — 0 на краях, но (д/дх) Еу (х) разрывна, а (д2/дх2) Еу (х) имеет особенность на краях [так ххак

в ./7-плоскости сканирования обеспечивает сзчцествоваппе (пли схо­ димость) правой части уравиеиия (55).

Так, например, из уравнения (54а) следует, что если прибли­ женное решение, выбранное для Еу (х'), имеет много особых

точек и члены j Фрп (я') Еу (х') dx’ имеют предел

А

Пт \ Фрп (х ') Еу (х') dx' ~ const,

П-+СОJ

А

т. е. независимы от п при больших п, то

Другими словами, правая часть уравнения (55) в этом случае имела бы характер второй производной логарифмической особен-

Рпс. 8.34. Поле Е у на краю решетки при сканировании в I I - плоскости.

ности 1). Одиако это несовместимо с аналитическим поведением падающего поля — левой частью уравнения (55).

Таким образом, при любом приближенном методе решения необ­ ходимо обеспечить, чтобы Еу (х) была достаточно гладкой функцией, такой, чтобы выражение

N оо

х) Это, безусловно, справедливо, поскольку при больших п имеем Y pn ~ п

и в результате получаем [40]

сходилось равномерно для всех х £ А. Чем выше «гладкость» функции Еу (х), тем быстрее будет сходиться ряд, представляющий собой разложение Еу (х) по Фрп {х) [25]. Например, если Еу (х) аппроксимируется последовательностью импульсов (рпс. 8.35, а), то выражение (58) будет расходиться, т. е. будет иметь особенность при некотором х. Если интегрирование осуществляется по форму­ ле трапеций (рис. 8.35, б) (или же по формуле Симпсона, пли по

Рпс. 8.35. Приближенные решения для поля Е у .

формулам более высокого порядка), то аппроксимирующая функ­ ция для Еу (х) будет иметь ту же гладкость (пли максимальный порядок ограниченной производной), что и истинная функция Еу (рис. 8.34). В этом случае выражение (58) будет сходиться.

Аналогичные вопросы возникают и при интегрировании непре­ рывной части ядра в выражении (55). Это легко показать, получив Я '2) (7с | д: — х' | ) в спектральной форме [выражение (34)] и рас­ сматривая зависимость от непрерывного модального индекса кх.

Важно заметить, что проблема сходимости и соответствующий подход к ней путем выбора приближений для поля в апертуре в равной степени характерны для задач о плоских решетках обще­ го типа (независимо от того, из каких элементов собрана решетка).

Представляют интерес численные решения уравнения (55), найденные для случая, когда один или большее число элементов расположены в плоском экране (рис. 8.33), поскольку характери­ стики сканирования в Я- и Я-'плоскостях обладают различными свойствами. Сначала рассмотрим кривые коэффициента отражения Rp в случае, когда в плоском экране расположен только один волновод (N = 1 и р = 1), возбуждаемый основным типом волны (рис. 8.36). Величина диэлектрической проницаемости выбрана так, чтобы третья гармоника Ф3 (х) распространялась в диэлектри­ ке [вторая гармоника Ф2 (х) подавляется вследствие условий сим­ метрии] и быстро затухала в не заполненной диэлектриком части волновода.

Приведенная зависимость коэффициента отражения от dja похожа на типичную кривую стоячей волны во всей рассматривав-

Рпс. 8.36. Коэффициент отражения волновода с диэлектриче­ ской вставкой при сканировании в //-плоскости (е = 6,0,

Х / а = 1,5).

мой области значений ds, за исключением окрестностей точек dja, равных 0,54 и 1,31, в которых появляются резкие выбросы. Изме­ нение коэффициента отражения вблизи этих точек более детально показано иа рис. 8.37.

Максимумы (или минимумы) коэффициента отражения отстоят друг от друга на одинаковых расстояниях, определяемых величи­ ной я/у®, где у® — постоянная распространения п-ж гармоники

в волноводе с диэлектрической вставкой. Расстояние между двумя выбросами Ad можно найти из уравнения у° (Ad) = я.

Подобное изменение коэффициента отражения позволяет пред­ полагать, что для большинства значений толщины диэлектрнче-

396 Глава 8

и

получаем выражение для нормированного поля излучения в даль­ ней зоне Т (в):

Отметим, что выражение (60), в котором модальные функции слу­ жат базисом, удовлетворяет критериям гладкости, выбранным

Рнс. 8.38. Зависимость модального коэффициента третьей гар­ моники от ds/a (е = 6 и Х/а = 1,5).

выше для приближенных решений Еу (х'). Это обычно выполняет­ ся для всех волноводных решеток.

На рис. 8.39, а приведены нормированные диаграммы излуче­ ния Т (0) при XIа = 1,5 и е = 6 для нескольких значений толщи­ ны диэлектрических вставок. Как видно из кривых, в диаграммах отсутствуют резкие изменения, даже когда используемые парамет­ ры допускают возможность резких выбросов в кривых коэффициен­ та отражения. Однако при некоторых значениях параметров наблюдаются провалы (рис. 8.39, б). Найденное в работе [14]

соотношение между диаграммой направленности одного возбуж­ денного элемента п коэффициентом отражения, очевидно, является свойством только больших плн бесконечных решеток.

Рпс. 8.39. Нормпрованные диаграммы направленности Т (0) волповода с диэлектрическими вставками при сканировании в Я-плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые численные результаты, получен­ ные из выражения (55) для двух идентичных волноводов (рис. 8.33). Спачала исследуем связь между двумя волноводами (рис. 8.40), не содержащими диэлектрических вставок (возбуждается только

один волновод, т. е. ар = 61Р). В общем слзшае коэффициент связи между двумя пустыми волноводами слабее при сканировании в //- плоскостп, нем при сканировашш в .Е-плоскости. Действительно, при достаточно больших расстояниях между элементами коэффи­ циент взаимной связи в {/-плоскости пропорционален s~3^, тогда как в ^-плоскости он асимптотически пропорционален s-1/2. Эти соотношения остаются верными н для волноводов с диэлектри­ ческими вставками различной толщины (рис. 8.41). После некото­ рых начальных (для малых расстояний s между волноводами)

Рис. 8.40. Зависимость коэффициента взаимной связи двух пустых волноводов от расстояния между ними при сканировании в //-плоскости.

осцилляций, наблюдающихся прп определенных критических зна­ чениях, частот, величина коэффициента связи и в этом случае

нирования можно объяснить как следствие того, что тангенциаль­ ное электрическое поле в апертуре в соответствии с принципом Гюйгенса [41] всегда можно заменить магнитными диполями

над металлической поверхностью. Если таким образом заменим поле в апертуре, показанной на рис. 8.33, то получим конечную область ориентированных по х магнитных диполей, излучающих на плоском идеально проводящем экране. Хорошо известно, что такие диполи (как и электрические) не излучают в направлении их оси. Отсюда следует, что поле в дальней зоне в этом направлении

будет затухать пропорционально следующему плену соответствую­ щего асимптотического разложения, т. е. в данном случае пропор­ ционально s~3/2. Таким образом, причины возникновения такой зависимости в данном случае совсем иные, чем в случае такого же закона изменения коэффициента связи между элементами в бес­ конечной решетке.

На рис. 8.42 приведены зависимости коэффициента связи между двумя близко расположенными волноводами (s/a = 1,0) при е = 6

Рпс. 8.41. Зависимость коэффициента взаимной связи двух волноводов с диэлектрическими встав­ ками между ними при сканировании в //-плоскости

= 1,5, е = 6 , s / a = 1).

иК/a = 1,5 от толщины диэлектрической вставки. По мере изме­ нения толщины диэлектрической вставки наблюдаются резкие изменения коэффициента взаимной связи (резонансы). Исследова­ ние постоянных распространения второй и третьей гармоник

ипоказывает, что резкие изменения коэффициента связи обу­ словлены резонансами этих гармоник. Отметим, что в данном случае вторая гармоника Ф2 (х) не подавляется как раньше. Рез­ кие изменения коэффициента, связанные с третьей гармоникой, наблюдаются вблизи резонансов, обусловленных второй гармони­ кой (при dja, приблизительно равном 0,52 и 1,29). Пики при dja, равном 0,12, 0,9 и 1,67, обусловлены только второй гармоникой.

2.2.3.Излучение волновода на плоском экране с диэлектриче­ ским покрытием. Задача об излучении волновода сквозь слой диэлектрика, покрывающий плоский бесконечный экран (рис. 8.43), во многом отличается от задачи о волноводе с диэлектрической встав-