Плоские фазированные решетки из круглых волноводов
321
где
2яг
2п1
цг = Т.
vi —Ту
(33)
~Ш '
led
'
а индексы г, I принимают значения от ( —о о ,
— о о ) до ( о о , о о ) .
Мы можем легко получить выражения для электрического и маг нитного полей (см., например, работу [12]) и определить комплекс ную мощность Рс, подводимую по нормали к решетке из единичной ячейки; для нахождения этой мощности надо проинтегрировать вектор Пойнтынга
' ы 2
d/ 2
Рс=
{
dx
j
2
| Л ,г |2- ^
- 2 0М,
(34)
где
—Ь/2
—d/ 2
(r , l )
Гг;
Wr i —
—
—
(35)
k
Таким образом, мы получили уравнение, правая часть которого
представляет собой сумму членов вида | / | 2
Z. Эту сумму можно
приравнять
к
произведению
квадрата
эффективного
тока
| J е | 2 на входное
сопротивление Z
элемента
решетки, т.
е.
Pc = \JefZbd.
(36)
В зависимости от вида распределения J x (х , у) выбор J е может быть либо произвольным, либо естественным. Так, например, в случае косинусоидального распределения [12] / 0 cos лх/L, где L — длина вибратора, естественным будет выбор / е = 10.
Нормируя токи относительно
(37)
•>е
найдем нормированное
входное
сопротивление
Z_
2
)•
(38)
Z0
Сингулярность в выражении (38), обусловленная множителем 1/WT, i, характерна для листка тока в отсутствие отражателя или бесконечного плоского экрана. Эту сингулярность можно исклю чить, если на расстоянии z = — S поместить отражатель, парал лельный листку тока. При наличии отражателя входное сопротив ление описывается выражением
z_
= 2 К- |22;/{iS (1 —
sin kWr< iS \
e~*wr, Is (39)
%
kWr, iS )
(Г, О
(отражатель расположен в точке z = — S). В обоих случаях (с от ражателем и без него) коэффициент отражения R определяется
2 1 - 0 1 6 8
322
Глава 7
выражением
D
Z/Z0--1
(40)
л “
Z/Z0+ l
Интересно отметить, что результат, приведенный в работе [13], относится к случаю, когда только член / 00 отличен от нуля.
Используя для R выражение (40), оценим lim Ср-д-
р', q'~>со
ввыражении (31). Сначала рассмотрим оценку градиента R по нормали к кривым дополнительного главного лепестка. Возьмем подобласть, входящую в полную прямоугольную область инте грирования выражения (31) и ограниченную окружностью (s, £)-го дополнительного главного лепестка с центром в точке (2ns/kb,
2ntlkd), перенесем начало координат в центр этой окружности, а затем перейдем к цилиндрическим координатам (rst, 8st). Тогда выражение для градиента по нормали к окружности примет вид
Tst (rsi • V-й) = - (41)
Оценим dR/drst в предположении, что d | I st \ 2/drst не оказывает влияния на асимптотическое поведение Cp>q>. Такое предположе ние оправдано, в частности, для листка с равномерным распреде лением тока [13], решетки из диполей [14] п большого класса дру гих распределений тока:
a\I„t I2
9 r s t
=0 (для лнстка с равномерным распределением тока)
~не имеет особенностей (решетка из диполей с отражателем)
1
р <
1 с отражателем
Не изменяет асимптотического
~~ W $ t ’
р <
2 без отражателя /
поведения
1
р = 1
с отражателем
Не изменяет асимптотического
~
р < 2 без отражателя /
поведения
При этих условиях градиент R по нормали к окружностям дополнительных главных лепестков в окрестности этих окружно стей (Wst ~ 0) пропорционален i!W st как при наличии отража теля, так и без него. В частности,
lim
д Р
(42)
9rst
, | / St|2sin2 8 s t i
при p < 1 без отражателя и
OR
r - | / s i |2 2fe252sin2 6st-i
1
(43)
w™ о drst “ L
l(Z/Z0 + l)2lvKsi=o -1
Wtl
при p < 1 с отражателем. В отсутствие отражателя коэффициент i/W st имеет особенность в E-плоскости сканирования. При наличии отражателя этот коэффициент в ^-плоскости равен нулю. Следо вательно, проведенный анализ не позволяет исследовать асимптота-
Плоские фазированные решетки из круглых волноводов
323
ческое поведение при сканировании Е-плоскости для плоской решетки (для линейной решетки асимптотическое поведение в Е- плоскости оказалось таким же, как и в //-плоскости).
Итак, в общем случае мы предполагаем, что градиент в точках, близких к кривым дополнительных главных лепестков, представ ляет собой гладкую функцию / (б), умноженную на HW, т. е.
lira
OR
ist (&st)
1
при
p <
1.
(44)
9rst
wtt
w.St '
С физической точки зрения разумно предположить, что функция V/? непрерывна во всех точках плоскости ТХТУ.
Используя выражение (44) для нормальной компоненты гра диента R, проинтегрируем уравнение (31) по частям. Тогда, учи тывая периодичность,
л / k b
я /hd
' Р ' Т
№d
1
—лI}hb ^
—ni/hd
АТ
p-Мр'ьт +я' dT у)’.
(45)
4я2
jkq'd
а1и~дТ^е
Для каждой дуги окружности дополнительного главного лепе стка в зоне интегрирования мы определяем область A si, содержа щую эту дугу. Сумма всех областей A st составляет полную область интегрирования. Для каждой области A st осуществляется пере нос начала координат в центр соответствующей окружности и пере ход к цилиндрическим координатам (Тх, Ту) ->• (rst, 6S/), так что выражение (44) принимает вид
р f
г с
гsi dr$t dost
i
dR
p ,q ' — 4Я2
Z j J J
j k p , , sin 0
\
drst
(s, t) Att
v q
X exp [ — jkpp'g’cos (0— 8st) rsi], (46)
где квантованные расстояния определяются выражениям
р'Ъ = pP'q>cos 0, q'd= pp-g- sin 0.
(47)
Отметим, что интегрирование по частям до сих пор давало зависи мость вида l/pjj'g'.
Так как VE -8st= (l/rsi) (dR/d8st) — непрерывная и несингу лярная функция, мы находим (как й в случае линейных решеток), что
,.
п
,.
k2bd
v
J
(*
sin 8st d8st
w
lira
Cp‘g>— lim
4 2
zj
jkp
sin 0
x
m
Zj
J
о
Pp'q"+°°
Pp'q'~*°°
(*•^ 0'
O6Sts
^ P p 'g 's i n 0
1+8
X
I rst OR
exp [ — jkpp'g’cos (0 — 8st) rst] drst +
+ ° ( - J p r ) ' <48>
21*
324
Глава 7
где в качестве области интегрирования A st берется окрестность кривой дополнительного главного лепестка (см. рис. 7.32). Эта окрестность представляет собой круговое кольцо, определяемое соотношениями
S5t^ S s(< 6s'( и
1 — e < r s;^ l - f е.
(49)
Используя выражения (44) и (48), получаем
lim Ср-д>=
Пш
т а
2
j
4л2
Р р '9 '
Р р ' д ’
ов;
w
Г / . / (64() Sin 6,t
1+8
ехр[-/Лрр,в,соз(0-бв<)г,4]
,
Г
х t
;ipp.,.sine
УТ=Щ
Л“1 +
_____
+0(тш-). (50)
Vp'q'
где Wst заменено на ]/~1 — r|t. Используя соотношение
1+е
lim
j п
j
du ~ ]/"я/2 е’л/4 e ~ V J
получаем
Бч-O
8
Иlim CV'q'—
lim (] / xt/2 ■' -ч- е~^/4) x
,y -»
Pp',*-*» V
4л
'
Рр'д
6s*
/si (6si) &sin1Ц 6Usfsi exp [—[
Jjkpb y p ',n ', cosbUb (0Vu —6u si)]s t ) \
X 2 )
(,pp V )3/2sin 0 cos(9 -M ------- ^
<*• *>Oil
. r \ !
1
\
+ ° l-^r)• (51)
Отметим, что до интегрирования по б в выражении (51) получена зависимость 1 /рр-д'.
Для каждого значения 0 (0 = 0 или я в ^-плоскости сканиро вания) существует по меньшей мере одна кривая дополнительного
главного лепестка (s,
t) =
(s', V) такая,
что
б;г< 0 < б ;'4.
(52)
Следовательно,
оценка
выражения (51)
по методу перевала
дает
lim СР'Г =
( ^
) [
2
U-v(S.'.' = 0)1 X
Pp'g'"*00
(s',i')
i \ v
e~ihpP'g'
х (fcp^T2 + 0
("pI^T ) '
(53)
Уравнение (53) описывает асимптотическое поведение коэффи циентов связи для этого класса решеток. Хотя это поведение не распространяется на ^-плоскость сканирования, его можно объя снить тем, что поле отдельного вибратора в дальней зоне затухает быстрее чем 1 /р в направлении, параллельном вибратору.
Плоские фазированные решетки из круглых волноводов
325
Полученные здесь результаты (как и результаты гл. 4) согла суются с физическим сходством нагруженной решетки и вибрато ра над проводящей землей, у которого наблюдается такое же асимптотическое поведение. Это позволяет сделать вывод, что для всех решеток асимптотическое поведение коэффициентов вза имной связи одинаково.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одна из серьезных задач при конструировании реальной ФАР состоит в минимизации отраженной мощности в заданных сек торе углов сканирования и полосе частот. Отраженную мощность можно уменьшить, применяя согласующие устройства в самих элементах решетки или в фидерных линиях; однако этот способ непригоден, если отражения вызваны вынужденными резонансами поверхностных волн. Мы видели, что в плоских решетках полные отражения появляются при некоторых углах сканирования для определенной поляризации возбуждения. Для устранения этих отражений в решетках без диэлектрика можно воспользоваться зависимостью углов сканирования (при которых возникают отражения) от поляризации, т. е. выбирать поляризацию так, чтобы она не совпадала с плоскостями симметрии решетки. Так, мы видели, что в решетке из круглых волноводов с равносторон ней треугольной сеткой полное отражение возникает в 27-шюско- сти сканирования при вертикальной поляризации возбуждения (рис. 7.12). Если ту же решетку возбуждать полем с круговой поляризацией (рис. 7.16), то при угле полного отражения теперь может излучаться 50% мощности. При круговой поляризации возбуждения полного отражения, обусловленного вынужденными резонансами поверхностных волн, пока вообще не наблюдалось. Следует однако отметить, что если даже удается выбором поляри зации устранить точку полного отражения в одной из плоскостей сканирования, возможность существования таких точек в других плоскостях не исключается.
Другой способ устранения полных отражений, обусловленных вынужденными резонансами поверхностных волн, состоит в изме нении поля в раскрыве и тем самым изменении эффектов взаимной связи. Для уменьшения изменений активной составляющей импе данса некоторых решеток в Е'-плоскости сканирования применя лись тонкие металлические перегородки, экраны и диафрагмы
(гл. 4) [14].
Еще один способ изменения взаимной связи состоит в исполь зовании комбинированных элементов (рис. 7.33). К единичным ячейкам данной решетки, содержащим круглые волноводы, добав ляются небольшие прямоугольные волноводы, которые можно
326
Глава 7
использовать как запредельные или короткозамкнутые на некото ром расстоянии от апертурной плоскости. Прерывая токи в пло ском бесконечном экране, эти небольшие прямоугольные волно воды действуют в основном как дроссели.
Полученное выше интегральное уравнение нетрудно распро странить на случай комбинированных элементов. Как показано
Рис. 7.33. Плоская решетка из комбинированных элементов.
в приложении 2, форму единичной ячейки можно изменить так, чтобы в нее полностью входили раскрывы круглого и прямо угольного волноводов А х и А 2 соответственно (рис. 7.33). Обозна чим для А х волны и модальные проводимости через {Ф£} и {г/О}, а для А 2 через (ФО) и {!/□}. Если возбуждение подается только яа круглые волноводы, то модифицированное интегральное урав нение (3) для тангенциальной составляющей электрического поля имеет вид
2 оо
2 2 у?А-Ф?(г) =
2
J/РФр (г) J j Ф? (г') -Ег (г') da' +
i=l
i=l
A i
+ 2
2/РфР (r) j j
Фр (г') Е г (г') da' +
s =
i
Az
2
+ o o
-J-oo
+ 2
2
2
W p m n W j j ^m u (r')X
р=1 m.
oo 71=—oo
A i и A
ХЁ, (r')da'. (54)
Плоские фазированные решетки из круглых волноводов
327
Легко также вывести (см. гл.
2) соответствующее интегральное
уравнение для тангенциальной
составляющей магнитного
поля
(определенного на всей единичной ячейке). При решении урав нения (54) методом Ритца — Галеркина следует обратить особое внимание на разделение результирующего матричного уравнения для волн в круглом и прямоугольном волноводах, другими слова
ми,
если
используются конечные системы
функций
{Ф°, п ==
= 1,
. . .,
N } и {Фр, s = 1, . . ., S} как
базисные
и весовые,
то выбор отношения N/S может сильно влиять на точность реше ния. Задача разделения для комбинированного элемента решетки аналогична задаче для разветвляющегося волновода, для которой было показано [15], что неправильное разделение может привести к ошибочным результатам.
Метод устранения вынужденных резонансов, основанный на избирательной! возбуждении и закорачивании элементов решетки, рассмотрен в гл. 8.
П Р И Л О Ж Е Н И Е 1
ГАРМОНИКИ ТИПА ФЛОКЕ В СИСТЕМЕ КОСОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Рассмотрим периодическую решетку (см. рис. 7.1 и 7.2) с линей ным распределением управляющих фаз вдоль осей ^ и ^ . Полный набор решений скалярного волнового уравнения, каждое из которых, согласно теореме Флоке, периодически изменяется вдоль координат % и т]2, имеет вид
S,,,n = exp( — ;Ттпг) exp [ — }
P i] X
(П.1)
где т и п — целые числа, принимающие значения —оо, ..., —1,0,1, 2, 3, ..., +оо. Выражение (П.1) описывает волну, распространяю щуюся (или затухающую) в положительном направлении оси z с постоянной распространения Гтп (при временной зависимости gjcoi) Управляющие фазы фа и фСТ2 непосредственно связаны
с векторной постоянной распространения к = кт, так что урав нение (П.1) можно переписать в виде
Smn — exp ( ]Tmnz) exp [ — j (k ■tp — ^ ~ ) ] X
x e x p [ — j (к-т^ —
(П.2)
Векторная постоянная распространения к в свободном простран стве записывается в системе прямоугольных координат в виде
к = к \ Т хх + Туу + Tzz),
(П.З)
328
Глава 7
где Тх, Tv и Tz — направляющие косинусы вектора к в этой системе, а х, у и z — единичные векторы. Величины
,
=
Ф в ,
.
'Ч’стг
/ г т
и k-ii2 =
- ^ -
(П.4)
представляют собой проекции к на координаты сетки
и сг2
соответственно. Единичные
векторы по
осям щ и о2
образуют
Рис. П.1. Диаграмма дополнительных главных лепестков в биортогональной системе координат.
с t)i и т]2 биортогональиую систему (рис. П.1). Для записи выраже ния (П.1) в прямоугольной системе координат воспользуемся соотношениями (которые легко получить)
7)i = х — У ctg а и =
(П .5)
После подстановки этих выражений в уравнение (П.2) находим
■5ттг = ехр [ —(;Tmnz)] exp [ — j ( кТх — z j x
« ' ( - ' [ “ ■ - - ( г к - Й ) ] ' ) - <n-e>
Проекции постоянной распространения (тп, п)-й гармоники Флоке, у, на оси х н у , которые мы обозначим соответственно и %у,
Плоские фазированные решетки из круглые: волноводов
329
записываются следующим
образом:
кх = х • х — кТх-
2яm
2 п п
2n.ni \
(П.7)
Ну = н-у=*кТу— (-dsin а
btga )
Поскольку
S mn — решение
скалярного
волнового
уравнения,
можно показать,
что
Гmn= ( k ? - x l - % l) i/2 =
< п - 8 >
где
отрицательные мнимые
корни
удовлетворяют
неравенству
>4 +
щ >
к \
S mn, для которой
Гтп
действительно, соответ
Каждая
мода
ствует одной из излучаемых плоских волн ФАР. Плоская волна с индексами тп = 0 и п = 0 идентифицируется с главным лепест ком, а с индексами m Ф О или п Ф 0 соответствует дополнитель ным главным лепесткам. Так как Гтп есть функция от Тх и Ту (или и ф(го), то при прохождении через нуль она может стать
чисто мнимой величиной, как видно из выражения (П.8). Тогда соответствующая волна типа Флоке S mn становится затухающей. Положив Гтп = 0 и построив кривые в функции Тх и Ту, мы получим график, иллюстрирующий эти эффекты. Итак, при Гтп = 0 имеем
(П.9)
где X = 2л/к. Выражение (П.9) описывает семейство окружностей единичного радиуса, смещенных относительно начала координат. Эта диаграмма смещенных окружностей дает хорошо известную диаграмму дополнительных главных лепестков (рис. П.1).
Отметим, что управляющие фазы фа) и фа2 связаны с Тх и Ту
выражениями (П.З) и (П.4). Параллелограмм C'D'E'F' на рис. П.1 соответствует диапазону изменения управляющих фаз
— л С ф с т ^ я , —л ^ ф а2^ л
(П.10)
и представляет собой периодически повторяющуюся ячейку по осям и а 2.
Как уже говорилось в разд. 7.1, на параллелограмме CDEF (см. рис. 7.2) можно определить полную ортонормированную систему векторных гармоник {'Fpmn}- Тангенциальную состав ляющую электромагнитного поля в плоскости z = 0+ можно разложить в ряд Фурье по этой системе гармоник, содержащей как волны типа ТЕ (р = 1), так и волны типа ТМ (р — 2), попе-
3 3 0 Глава 7
речные относительно оси z. Волны {4i’lmn} и {'Р'гтп} определяются выражениями
ш
— ехр [—; (.TKr -j-!/Ky)]
( Щ
УСХ
У
(П.11)
* 1тп
( М sin а)1/2
1 *Т
Х
* г
ч ? ш п
=
ехр [ — ) («и.*+ !/*„)]
Г * х
Х +
^
У
(П.12)
(bd sin а ) ^ 2
1 * г
хг
где хг = (хх +
Ку)1/2- Величины
к х и
х у являются
функциями
(т, п), заданными выражениями (П.7). Ортонормированность системы векторных гармоник определяется следующими скаляр ными произведениями:
(ЧГтп,УПт )=
{ j
Wlmn-W*ipqdxdij = 8 т п , м ,
(П.13)
п араллелограм м
CDEF
Г 1 при m = р, n = q,
(П.14)
&mn, РЗ
п
1
и в других случаях,
('Fima, \F3Pe>= 0,
(П.15)
('Егтп, 'Fjjpq) 6nm. pq-
(П.16)
П Р И Л О Ж Е Н И Е 2
ИНВАРИАНТНОСТЬ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ФОРМЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ РЕШЕТКИ
Ортонормированность и полноту системы {xFpm?l} гармоник Флоке (П.11) и (П.12) не обязательно определять на заданной периодической ячейке типа параллелограмма CDEF (рис. 7.2). Это замечание особенно важно, когда периодическая ячейка пере секает контуры более чем одной круговой апертуры (или апертуры другой формы). Ниже показано, что ортонормированность системы № ш } может сохраняться для соответствующим образом дефор мированной периодической ячейки, которая содержит лишь одну волноводную апертуру.
Используя выражение (П.4), мы можем переписать выраже
