книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток
.pdfКаноническая решетка из тонкостенных волноводов |
171 |
Используя выражения (6 6 ), |
находим |
|
|
A(y) = G+(0,y)'q\Wsh w d + / |
(Л^ —ch w d) |
(67a) |
|
|
(Й ш2+ |
slY 2) sh wd |
|
[^_(0 +, Т) - ^ _ ( 0 -, т ) ] - ( ^ 1г ) |
l/2 ;- ( l_ e- ^ - “od) |
|
|
|
Y —To |
|
|
|
:И(у) |
2qxw (cos i|)— cli wd) |
(676) |
|
|
||
qyv sh wd+ jqnT — ch wd)
После небольших преобразований уравнений (67а) и (676) полу чаем
gjd |
2w (cos i|;— ch wd) |
|
i'i+ gl G+(0, |
У) d (Yo— Y2) sh wd |
/ ( 1 — e‘-ji|)-aod' |
|
1/2 |
|
= [F-(0+,y)-F-(0~, y ) ] ~ ( 4 r ) |
(68) |
|
|
|
V — To |
Это выражение является функциональным уравнением Винера — Хопфа. Сомножитель
2w (cos т|з — ch wd) d (Yo — T2) sh wd
можно представить в виде отношения двух функций L+ (y)/L_ (у), где L+ (у) и Ь_ (у) — регулярные аналитические функции, не имею щие нулей в верхней и нижней частях плоскости комплексного переменного соответственно. Подробности этой факторизации даны в приложении. Умножая правую и левую части уравнения (6 8 ) на L — (у), получаем
Qjd |
G+(0, у) L+ (у) + |
/ 1 |
П/2 ; (1 — e-hl>~ttQd) |
|
||
9i + ll |
\ 2lt ) |
Y—To |
L~ (yo) — |
|
||
|
= [F_(0 +, y ) - F _ ( 0 -,y )]L _ (y )- |
|
||||
|
/ |
1 |
\ 1/2у- (1 — e-h|)-g0d) |
[L _(y)-L _(y0)]- |
(69) |
|
|
\ 2л |
) |
T—To |
|||
|
|
|
||||
При выводе уравнения (69) к его правой и левой частям были добавлены одинаковые слагаемые, равные второму члену в левой части уравнения (69), для устранения особенности второго сла
гаемого в правой части (полюс при у = у„ = К Y &i — ;7с" Y еi)- Теперь левая часть уравнения (69) регулярна и аналитична в верх ней части плоскости, а правая часть — регулярна и аналитична в нижней части плоскости. Обе части уравнения (69) имеют общую полосу аналитичности. Таким образом, каждая часть этого урав нения является аналитическим продолжением другой, и в сово купности они образуют функцию, аналитичную на всей плоско сти у. Можно показать, что обе части уравнения (69) стремятся к нулю при | у | -»- оо. Поэтому по теореме Лиувилля они должны
172 Глава 4
равняться |
нулю. |
Из этого |
условия находим |
|
|
|
|||
|
|
1/2 |
q l + q l |
j (1 ■ |
-}\\)-а0Ф |
L- (Vo) |
|
||
G+( ° . T ) = |
|
|
) |
(70) |
|||||
- ( i ) |
q^d |
у —Yo |
|
Ь+(у) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Подставляя |
это выражение |
в уравнение |
|
(67а), |
получаем |
|
|||
_ /_1 _ \1 / 2 __7(1: |
) |
(То) |
|
|
|
|
|
||
|
?id (V —Yo)2 (Y + Yo) |
L+(y) X |
|
|
|
||||
|
|
|
q\u> sh w d + j q ^ y |
—ch w d) |
(71) |
||||
|
|
|
|
sh w d |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя это выражение в уравнениях (64а) и (646), находим выражения для F (х, у) и G (х , Н). Искомые поля определяются путем обратных преобразований Фурье от этих функций:
/ («. |
z) |
F(x, |
у) |
|
|
g(x, |
z) |
G(x, |
у) 'e~wz dy. |
(72) |
|
При вычислении этих интегралов все пространство делят на две |
|||||
области — область |
внутри |
параллельных |
пластин и |
внешнюю |
|
область. Для внутренней области при z ^ |
0 контур интегрирова |
||||
ния представляет собой полуокружность большого радиуса в верх
ней полуплоскости, а для внешней области при z ^ 0 |
контур интег |
|
рирования |
(полуокружность) лежит в ннжией полуплоскости |
|
(рис. 4.14). |
Можно показать, что при R -> оо (R — |
радиус полу |
окружностей) интегралы вдоль этих полуокружностей обращаются в нуль. Так как функции F (х , у) н G (х, у) имеют только простые полюсы, интегралы в выражении (72) равны коэффициенту 2л/, умноженному на вычеты в полюсах на соответствующей полу плоскости. При исследовании функций F (х, у) и G (х, у) обнару живается, что в верхней полуплоскости полюсы находятся в точ ках у = —уп (?г=0, 1, 2 . . .). Полюсы в нпжней полуплоскости находятся в точках у = у0 и у = Гп (п — 0, 1, 2). Хотя контур интегрирования охватывает ряд полюсов, интерес представляют полюсы, соответствующие распространяющимся типам волн. При
условии что d/X < 1 /2 , в области z ^ |
0 существует одна распро |
|||||
страняющаяся волна, которая определяется |
с помощью |
вычета |
||||
в точке у = |
—уи.. Таким образом, |
|
|
|
||
где |
|
/ (х, z) ~ |
R (ф) e“o-4 -:h>oz |
дЛЯ |
z-<0, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(л|5—a o d ) |
|
|
|
|
|
Я(ф) = |
sh. |
Y o ~ Гр |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
Yo + Го |
|
|
|
||
|
sh -g-(гф + ао^) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
X т т |
/ Yn+ Yo \ |
/ Гп— уо \ |
___Тр_ \ e j(2Yod/Jt la 2 |
(73а) |
|
|
|
V Yn—Уо / VГп + Yo I \ г_п+уо / |
|
|
||
7 1 = 1
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
173 |
<р, гр а д
Рпс. 4.15. Коэффициент отражения антенной решетки в анизо тропной плазме.
является коэффициентом отражения. Величины
Г„ = ]/&§ — [(2пп + i[))/d]2 и уп = Ук \ — (mild)2
представляют собой постоянные распространения для волн с индек сом п во внешней области и внутри волноводов соответственно. Поле во внешней области при z ^ О представляется в виде
/ (х , z) ~ Т (ф) |
(736) |
174 Глава 4
где |
|
|
|
|
|
|
|
Т W - 2) sh -i W + M ) - ”‘^ |
+ |
f |
г° |
( - ^ Г |
) х |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
у ( |
s m ^ |
|
) |
Т Т |
( Л » _ + 1 ° _ Л у |
|
|
V cli a o d —cos ф |
) |
j - l |
у 7„ —Vo |
/ |
|
||
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
х |
( r n 7 |
T° |
) |
( -^~n T V° ) еЯ( ГоvoW«]in 2 ( 73в) |
|||
|
V r„ + Vo |
/ |
\ r_„+Vo / |
v |
' |
||
является коэффициентом передачи.
Как видно из соотношения (73а), коэффициент отражения, несмотря иа геометрическую симметрию антенной решетки, не яв ляется ин четной, ни нечетной функцией управляющей фазы ф
1 |
1 |
a0d), |
вследствие присутствия члена sh -g- (/ф — ;r0d)/sh |
у (уф -f- |
обусловленного анизотропией среды. Асимметрия проявляется, однако, только в фазе коэффициента отражения R.
Коэффициент отражения зависит от расстояння'между элемен тами п угла сканирования и, кроме того, от параметров среды. На рпс. 4.15 приведена зависимость коэффициента отражения от управляющей фазы ф при d/X0 = 0,4 и X = (сор/со) 2 = 0,49. Величина Y = соь/со играет роль параметра. Так как Y влияет на постоянную распространения ке и, следовательно, на электри ческое расстояние между элементами d/Xe, диапазон управляющих фаз, при которых существует излучение, также зависит от У. Отметим, что в отличие от случая аналогичной антенной решетки в свободном пространстве коэффициент отражения решетки, помещенной в плазму, не обращается в пуль при положении луча, перпендикулярном плоскости раскрыва.
10.2.Анализ взаимного влияния элементов решетки
Вразд. 6 установлено, что коэффициент отражения каждого элемента можно представить как сумму воздействий всех других элементов. Заметим, что коэффициент связи Сп в выражении (30а) характеризует поле, наведенное элементом с индексом п, в нуле вом элементе, а не наоборот. Это поле может быть не равно полю, наведенному нулевым элементом в элементе с индексом п, так как условие взаимности не выполняется для анизотропной среды. Эти два поля будут равны, если при нахождении поля, наведен ного нулевым элементом в элементе с индексом п, решетка ока зывается помещенной в среду, где направление статического маг нитного поля изменено на противоположное. При отсутствии
потерь это эквивалентно изменению знаков недиагональных чле нов тензора диэлектрической проницаемости. Однако поле, наве денное элементом с индексом п в нулевом элементе, равно полю,
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
175 |
наведенному нулевым элементом в элементе с индексом —п, так как задача инвариантна по отношению к смещению на период структуры.
Для расчетов коэффициентов взаимной связи по коэффициенту отражения можно по-прежнему использовать уравнение (31). Аналитическое решение задачи — выражение (73а) оказывается удобным для проведения таких расчетов. Коэффициент связи
Рпс. 4.16. Зависимость коэффициентов взаимной связи для ближних элементов от параметра Y .
нулевого элемента с элементом с индексом п отличается от коэф фициента связи с симметрично расположенным элементом с индек сом —п. Различие между ними зависит от степени анизотропности среды. Результаты расчетов коэффициентов взаимной связи для X = 0,49 и d/X0 — 0,4 приведены на рис. 4.16. При Y = 0 среда изотропна и коэффициенты Сп и С_п равны между собой. При уве личении Y различие между коэффициентами увеличивается, одна ко для очень больших значений У среда снова становится изотроп ной и коэффициенты взаимной связи Сп и С_п стремятся к одним и тем же значениям. На рис. 4.17 приведена зависимость коэффи
циента взаимной связи от местоположения элемента при X = |
0,49 |
и d/X0 = 0,4. Из графиков видно, что коэффициент связи |
для |
элементов, расположенных в положительном направлении оси х от возбужденного элемента, отличается от коэффициента связи для элементов, расположенных в отрицательном направлении оси х. Для элементов, находящихся на большом расстоянии от
Рис. 4.17. Зависимость модуля коэффициента взаимной связи и приращения его аргумента от местоположения элемента врешетке
а — .Дл я э л е м е н т о в , р а с п о л о ж е н н ы х |
в о т р и ц а т е л ь н о м н а п р а в л е н и и оси |
° — Д л я э л е м е н т о в , р а с п о л о ж е н н ы х в п о л о ж и т е л ь н о м н а п р а в л е н и и |
|
о си |
ж. |
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
177 |
возбужденного элемента, коэффициент взаимной связи с возбуж денным элементом убывает монотонно так же, как для решетки, помещенной в изотропную среду. Для расстояний более 10 перио дов решетки коэффициенты взаимной связи убывают асимптотиче ски по закону г- 2 /3 (г — расстояние между рассматриваемым эле ментом п возбужденным).
10.3. Асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи
Асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи можно также исследовать аналитически. В выражении (73а) при d/Xe < 1/2 только один коэффициент Г0 может обратиться в нуль. Перепишем выражение (73а) в виде
|
|
Д (ф )= ( |
То —Гр |
(74) |
|
где |
1 |
Yoi-Гр )^(Ф ). |
|||
С/(ф) |
sh тг (/ф —a 0d) |
00 |
Уп+Уо \ v |
|
|
sli (/ф~ a-gd) |
П ( |
|
|||
Vn-Уо ) Х |
|
||||
|
|
|
|
Гп+ 7о )(Г-п + У0 |
|
|
|
|
|
X Уд Уо |
Г-п Уо j gi(2v0d/^)ln 2 |
является непрерывной функцией с непрерывными производными. Выражение для коэффициента взаимной связи Сп, будет иметь вид
Сп = ~ к \ Н Ц ) е - ^ с Щ =
—Я
“ i f |
<75> |
Интегрируя это выражение по частям, получаем
2,,с" = т г -171 |
■ |
(76) |
|
Первое слагаемое равно 0, так как R (ф) — периодическая функ ция с периодом 2я. Дифференцируя выражение (74), находим
d R (ф) = |
d U (ф) |
/ 7о —Г0 \ _______ 2у0ф |
Тт / . ч |
(77) |
||
# |
ЛР |
\ Уо + Гр / |
<72(7о+ Г0)2Г0 |
и W |
||
|
||||||
Первое слагаемое в этом выражении является непрерывной функ цией от ф, а второе имеет особенности в нулях функции Г0. Это слагаемое определяет асимптотическое поведение коэффициентов
1 2 - 0 1 6 8
178 |
Глава 4 |
связи. Таким образом, |
|
нш & С , =± J ^ |
о,,г, и < + > «гф+ о („ -) (78) |
При ф = ± lied
Г0 = К /с |- ( г И )2 = 0 .
Подынтегральное выражение имеет особенности при двух значе ниях ф (—ked и ked). Разобьем интервал интегрирования иа четыре участка и вычислим интеграл иа каждом участке отдельпо. Рас смотрим сначала интеграл
|
е |
|
л- 1 |
2Yo7l> |
U (гр) e_7ml’ йф = |
d2(Yo + Го)2 Го |
hed
Применяя способ преобразования, использованный при получении соотношения (37), найдем
|
|
|
' + |
0 |
(0 - |
Аналогично получаем |
|
|
|
|
|
о |
2уоФ |
|
|
|
|
-J |
• U (ф) е- '7"’!’ d\|з = |
|
|
||
<*2 (Yo + Го)2 Г0 |
|
|
|||
|
V |
|
|
|
|
|
!2Yo4> |
|
U ( — ф) e771111 cZ-vp = |
|
|
|
i ^2(Yo + ro)2 r 0 |
|
|
||
|
о |
|
к __ \ 1/2 j(n h d + n /4 ) + |
|
|
= j 3 £ n ( - k d ) ( - |
|
0 |
(n"1). |
||
Видно, что интегралы Ax и Л2 дают одинаковый вклад в асимп тотическое поведение коэффициентов связи. Вычисляя затем интегралы в пределах от 0 до ked и от ked до л (чтобы определить вклад особенности при ф = ked), обнаруживаем, что вклады этих двух интегралов равны по величине, ио имеют противоположные знаки. Таким образом, вклад в асимптотическое поведение коэф фициентов взаимной связи особенности в точке ф = ked имеет
более |
высокий |
порядок |
малости, чем О (п~г). |
Следовательно, |
|||
|
К тт, |
, ,ч / 2 |
\ i/2 |
1 |
X |
|
|
lim Cn — — U (— ked) |
( H V ) |
)i3/- |
|
||||
„„oo |
Yo ' |
' |
\ |
) |
Xe (raft |
jt/4>+ 0(n -2), |
|
|
|
|
|
|
|
||
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
179 |
т. е. при больших п коэффициенты взаимной связи |
убывают |
по закону п~3/2. Разность фаз коэффициентов связи для смежных элементов асимптотически приближается к величине ked, являю щейся электрическим расстоянием для волны, распространяющей ся в свободном пространстве. Подобное асимптотическое поведе ние коэффициентов взаимной связи совпадает с асимптотическим поведением коэффициентов взаимной связи для решетки в изотроп ной среде (разд. 6 ). Поскольку даже анизотропия среды ие изме няет асимптотической зависимости взаимного влияния элементов при больших расстояниях, то предположение о том, что подобная асимптотическая зависимость является общим свойством ФАР, лишний раз оправдывается. Обобщение этой закономерности на случай плоских антенных решеток подтверждается значитель ным числом примеров в гл. 7.
П Р И Л О Ж Е Н И Е
ФАКТОРИЗАЦИЯ В МЕТОДЕ ВИНЕРА — ХОПФА
Факторизация выражения
2 w (cos ф— ch w d ) |
(П.1) |
|
d (Y5 —y 2) sh w d |
||
|
||
осуществляется следующий! образом. В множителе |
|
|
cos ф— chwd = 2 sin 1 (ф— / wd) sin -1у (ф + jwd) |
|
синусоидальные функции заменяются бесконечными произведе ниями
cos ф — ch wd =
СО
(ф —j w d f - |
|
|
|
4«2я2 |
|
|
|
00 |
] |
|
|
(чр Н-7'шд?)2 |
|
||
4п2я2 |
|
||
7 1 = 1 |
|
||
СО |
|
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
Ьт + л|? |
(П.2) |
||
d |
|
||
Обозначийг |
|
|
|
2 ля-)-ф \ 2 |
(П.З) |
||
3 |
] |
||
|
|||
12*
180 |
Глава 4 |
Выражение (П.2) можно написать в виде
2
-^2 - (cos ф — сh wd) =
= <v! - r i> П ( = |
) > |
* —Г1»> Ш |
(П.4) |
||||
п= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
sh wd = wd Ц |
( |
) |
12 |
(Y2 - Yn). |
(П.5) |
||
где |
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
о |
/ 1171 |
\ ^ |
(П.6 ) |
|
|
Y„= kc — ( — ) • |
||||||
Подставляя выражения (П.4) п (П.5) |
в выражение (П.1), получаем |
||||||
2ш (cos i|>—ch w d ) _ |
|
|
|
|
|
|
|
d (Y5—у2) sh w d |
|
|
|
|
|
|
|
— ( Y2 —Tg \ |
( d / 2 n n ) 2 (Y2r„) { d / 2 i m ) 2 (y2—IT,,) |
(П.7) |
|||||
~~ VVo —Y2 / n=l |
|
|
|
d / n n ) 2 (Y2—Yn) |
|||
|
|
|
|
||||
Предполагается, что среда обладает небольшими потерями, т. е. к е = к'е — ]к"е. Более того, для обеспечения сходимости обратных преобразований Фурье [выражение (72)] необходимо подходящим образом выбирать контур интегрирования в плоскости комплекс ного переменного у. При этом постоянные распространения уп п Г„ имеют отрицательные мнимые части. Таким образом, выра жение
L+(y) = i ( |
У— Гр |
)П |
(d/2nn)2{y |
Гтг) (у — Г-п ) ej(yd/n)]n 2 |
Yo — Y |
(j'd/пл) |
— Yn) |
||
|
|
|
(y |
является регулярной и аналитической функцией в верхней части плоскости Yt а выражение
1 |
У + г |
\ |
Т Т |
№/2пп)2 (Y + Гп) (У + Г_п) e- j{vd/7[)]n 2 |
L-{y) |
1 \ Уо— У |
/ |
1 1 |
{ — jdlnn)(у+ у„) |
П= 1
—регулярной и аналитической функцией в нижней части плоско
сти у- Итак,
2ш (cos т[) — ch wd) L+ (у)
d (у5—У2) sh wd ~ L_ (y)
Экспоненциальные множители в функциях L+ (у) и L_ (у) введены для обеспечения сходимости бесконечных произведений. Заметим также, что
L+(у) = 1 /М — Y)-