книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток
.pdfКаноническая решетка из тонкостенных волноводов |
161 |
щ/ряь/л)
Рис. 4.8. Коэффициент отражения центрального элемента конеч ной антенной решетки ( N = М = 5) (для сравнения приведены
кривые, соответствующие N = . о о ) .
а — с к а н и р о в а н и е в Н -п л о с к о с т п ; б — с к а н и р о в а н и е в к в а в и - Е - п л о с к о с т и .
между парой элементов в антенной решетке почти не зависит от местного положения этой пары при условии, что ни один из элементов этой пары не находится на краю решетки [16, 17]. Это позволяет предположить, что выражение (53) достаточно хоро шо описывает конечную антенную решетку, если она на краях содержит хотя бы несколько рядов пассивных, нагруженных на согласованные сопротивления элементов. Расчетные значения
11-0168
162 |
Глава 4 |
Ч>3цгяс1Щ
Рис. 4.9. Коэффициент отражения центрального элемента конеч ной антенной решеткп ( М = N = 9) (для сравнения приведены кривые, соответствующие N = о о ) .
а — с к а н и р о г а н н е в Н -п л о с к о с т п ; б — с к а н и р о в а н и е в к в а з н - Е - п л о с к о с т и .
коэффициента отражения центрального элемента при М = N = 5 и М = N = 9 приведены иа рис. 4.8 и рис. 4.9.
Расчет коэффициентов отражения конечной антенной решетки сводится по существу к вычислению частичных сумм ряда Фурье, представляющего собой коэффициент отражения для бесконечной антенной решетки. Скорость сходимости частичных сумм опреде ляется свойствами аппроксимирующей функции и сильно зависит от угла сканирования. В области углов сканирования, где коэф фициент отражения является гладкой и медленно меняющейся
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
163 |
Рис. 4.10. Коэффициенты отражения крайних элементов антен ной рсшеткп с различным числом элементов при сканировании в //-плоскости ( а/ Х — 0,5714).
функцией, частичные суммы сходятся хорошо. В области, где коэффициент отражения имеет быстрые изменения, например в окрестности точки возникновения или исчезновения луча, схо димость обычно плохая. Как видно из рис. 4.9 и 4.10, коэффициен ты отражения центрального элемента (М = N) в конечной антен ной решетке близки к их значениям для бесконечной антенной решетки, если луч антенны не занимает положения, близкого
кскользящему. При увеличении числа возбужденных элементов
вантенной решетке эта аппроксимация улучшается и увеличи вается область углов, в пределах которой приближение справедливо. Это озпачает, что точность моделирования большой решетки зави сит от интервала сканирования. На практике дифракционные лепестки являются нежелательными и сектор сканирования не со держит углов возникновения дифракционных лепестков. Поэтому для моделирования условий бесконечной антенной решетки доста точно иметь по пять пассивных согласованных элементов с каждого края реальной антенной решетки. Необходимо отметить, однако, что в антенных решетках с диэлектрическими вставками или ди электрическим покрытием возможны некоторые резонансные явле ния. В этом случае для моделирования условий бесконечной решет ки общее число элементов необходимо увеличивать. Более под робно этот вопрос рассмотрен в гл. 8 .
Коэффициенты взаимной связи для бесконечной антенной решетки можно также использовать для оценки краевых эффектов. В конечных антенных решетках противоположные края могут взаимодействовать друг с другом, если они находятся на неболь-
11*
164 |
Глава 4 |
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рпс. 4.11. Коэффициенты отражения крайних элементов антен ных решеток с различным числом элементов ( М — N ) при ска нировании в квази-Я-плоскости (d / X = а / Х = 0,5714).
шом расстоянии. Для выделения действия только одного края необходимо рассматривать полубесконечпуго антенную решетку. Этого можно достигнуть путем выбора большого значения N в вы ражении (53) и задания величине М значений 0, 1, 2 и т. д. (т. е. вычисляя сначала коэффициент отражения самого крайнего элемента, а затем элемента, смещенного от края на одну позицию, и т. д.)
Результаты расчетов показывают, что при М = N = 40 обес печивается очень хорошее приближение к условиям бесконечной антенной решетки для большинства углов сканирования. Поэтому N = 40 можно считать достаточным условием для моделирования бесконечной решетки. На рис. 4.10 и рис. 4.11 приведены значе ния коэффициентов отражения при М = 0, 1, 2 и 3. Для сравнения дана зависимость коэффициента отражения бесконечной антенной решетки. Так как активные элементы антенной решетки располо жены несимметрично относительно элемента с нулевым индексом, расчеты производились для отклонения луча в обе стороны от нор мали. Коэффициенты отражения при М .= 0 и 1 значительно отли чаются от коэффициента отражения бесконечной антенной решетки.
Это различие уменьшается с увеличением М. |
При сканировании |
|
в |
ТУ-плоскости это происходит быстрее, чем |
при сканировании |
в |
квази-2?-плоскости. |
|
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
165 |
В конечной антенной решетке для моделирования условий бесконечной решетки требуется около 5 элементов с каждой сто роны излучателя; в полубесконечной же антенной решетке доста точно сместить излучатель от края решетки на 2 —3 позиции. Это различие связано с тем, что в полубесконечной решетке необходимо, очевидно, учитывать действия только одного края.
10. ВЛИЯНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ п л а з м ы
В данном разделе рассмотрены свойства бесконечной антенной решетки, помещенной в анизотропную плазму [20, 21]. Эта модель, во-первых, допускает в некоторых случаях точное решение задачи об излучении антенной решетки методом Винера — Хопфа. Во-вто рых, получаемое аналитическое решение можно использовать для исследования взаимной связи между элементами в такой решетке. Значительный интерес представляет асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи между одиночным возбужденным элементом и другим элементом, находящимся на большом расстоя нии от первого.
Показано, что вследствие анизотропии среды зависимость коэф фициента отражения от угла сканирования несимметрична. Следо вательно, связь с элементом, расположенным с одной стороны от возбужденного элемента, отличается от связи с элементом, расположенным симметрично с другой стороны, несмотря на гео метрическую симметрию антенной решетки. Однако характер асим птотического поведения коэффициентов взаимной связи для антен ной решетки в анизотропной плазме сохраняется таким же, как для антенной решетки в однородной среде.
На рис. 4.12 показана решетка из параллельных тонких плас тин в бесконечном пространстве, заполненных плазмой. Однород ное статическое магнитное поле В0, направленное вдоль оси у, создает анизотропию среды. Плазму можно охарактеризовать тензором диэлектрической проницаемости, имеющим следующую структуру [18]:
|
|
0 |
jEz |
|
е |
0 |
е3 |
0 |
(54) |
где |
— /е2 |
0 |
8 j |
|
|
|
|
|
' - ( t H v - ? ) " . |
<55> |
|
, |
/ Шр \ 2 |
|
(ор — плазменная частота и |
©ь — циклотронная |
частота. |
166 |
Глава 4 |
Предположим, что поля не зависят от у. Тогда поля можно разделить на ТЕ- и ТМ-волны (относительно z), что легко видеть из уравнения Максвелла. Статическое магпптное поле не оказывает влияния на ТЕ-волны, а плазма лишь изменяет диэлектрическую постоянную среды. (Диэлектрическая постоянная, конечно, в этом случае зависит от частоты.) Следовательно, решение задачи для
г
Рпс. 4.12. Бесконечная антенная решетка, помещенная в ани зотропную плазму.
ТЕ-волн можно получить методом, изложенным в разд. 4 (как если бы антенная решетка была расположена в свободном про странстве).
ТМ-волны имеют три составляющие электромагнитного поля — Ну, Ех и Ez, связанные между собой соотношениями
= ее, ее = — , е = е^—г\ и /с0 — 2 лД 0, ei
— длина волны в свободном пространстве
Каноническая, решетка из тонкостенных волноводов |
167 |
Так как среда анизотропна, имеются две области частот, в ко торых выполняется условие к\ > 0 , и, следовательно, для этих зиачеиий частот существуют распространяющиеся волны. Для частот, не попадающих в эти области, к\ < 0 и, следовательно, распространение воли невозможно. Из соотношений (55) и (57) можно найти интервалы частот, в которых могут существовать
распространяющиеся волны: |
, |
||
— -тг + ( ©г+ ~г~ ) 1/2 < © < (©£+ ©ь) 1/2 — нижняя полоса, |
|||
V |
„ |
|
(58) |
Ш Ь / |
Ш Ь \ |
I < со < |
оо — верхняя полоса. |
-у -+ Iсор + -^- |
|||
Типы волн, которые могут существовать в волноводе, заполненном анизотропной плазмой, не совпадают. Эти волны можно опреде лить методом разделения переменных из уравнений (56) при
Рис. 4.13. Области частот, в которых выполняются условия распространения для падающей волны ( X =(сор/ш)2,
Y = (со;,/со)2, ----- Б ц ------------ ее = |
(ej — е |)/ei). |
соответствующих граничных условиях. |
Простейший тип волны |
в волноводе, заполненном анизотропной плазмой, описывается следующими компонентами электромагнитного поля:
Ну = етаo*TjV
(59)
Ех = ^ - етао ^ У . COB08i
где у0 = к0У ч и а 0= к0г2/У&г. Эта волна является ТЕМ-волной, так как электромагнитное поле не содержит продольных компо нент. Однако она отличается от обычной ТЕМ-волны. Во-пер
168 Глава 4
вых, в ней имеется экспоненциальная зависимость поля в попереч ном сечении волновода, зависящая от направления распростра нения волны. Кроме того, волна является распространяющейся только в том случае, если величина у0 действительна, т. е. при е* > 0. Условия распространения данного типа волны иллюст рируются на рис. 4.13, на котором величина Y = со^/со выбрана в качестве независимой переменной, а X = (ар/со)2— в качестве параметра. Условия распространения основного типа волны:
при |
Х < 1 , |
0 ^ У < / 1 = Х , 1 < Y; |
при |
Х > 1 , |
1 < У . |
10.1. Решение задачи методом Винера — Хопфа
Предположим, что волноводы возбуждаются волной типа ТЕМ и что в решетке созданы равномерное амплитудное и линейное фазовое распределения. [Для волны, распространяющейся в на правлении оси z, нужно брать знак минус в формуле (59).] В этом случае можно найти точное решение задач методом Винера — Хопфа [19, 20]. Обозначим для удобства составляющие вторичного поля I f у и Ez через / (х , z) и g (х , z) соответственно. Эти состав ляющие должны удовлетворять волновому уравнению (56). Таким образом,
g(x, z) = ( qi- ^ + qi- ^ ) f ( x , z)
и |
(60) |
|
- ^ 2 + ke) f ( x, Z) = 0. |
Обозначим через F (х , у) |
интеграл Фурье от функции / (х, z): |
оо |
|
F (х , у) = ('2 ^ ) 1 ^2 j / (x>z) ewdz. Применив преобразование Фурье
ОО
к левым и правым частям уравнений (60), получаем |
|
|
G {х, у) = |
— Шг) F(x, Y) |
(61a) |
/ д2 |
- W2) F(x, y ) = 0 , |
(616) |
V Ьх2 |
|
|
где w2 = у2 —ке. Для сходимости интегралов Фурье предположим, что среда имеет небольшие потери (т. е. к0 = к'о — jk'o). Такое предположение является существенным моментом в методе Вине ра — Хопфа. После завершения анализа потери полагаются рав ными нулю.
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
169 |
|
Общее решение уравнения (616) |
имеет вид |
|
F (ж, у )= А (у) sli wx + |
В (у) ch wx, |
(62а) |
где А (у) и В (у) — неизвестные, которые требуется определить. Из уравнений (61) и (62а) находим
G (ж, у) = [ —Ш А (у) + qyoB (у)] sh wx +
+ [qiwA (у) —jq2yB (у)] ch wx. (626)
Следующий шаг заключается в определении неизвестных коэф фициентов А (у) и В (у) из граничных условий. Для периодиче ской антенной решетки с равномерным амплитудным и линейным фазовым распределениями вторичные поля должны удовлетворять граничным условиям Флоке вида
F{x-f md, у) = F (ж, у) е™1*,
G (х-j- md, у) = G (ж, у)
Применяя эти условия к уравнению (626) при х = 0 и т = 1, получаем
[— ШгуА (у) + qLwB (у)] sh wd + [qLwA (у) — jq2yB (у)] ch wd =
= [qywA (y) — jq2yB (y)].
это выражение можно использовать для определения коэффи циента В (у) через А (у):
Б . . = д р о (е^ —ch w d ) - \ - j q 2у sh w d |
д , . |
q p v sh w d - \ - j q 2у ( e ^ —ch wd ) |
|
Подставляя этот результат в уравнения (62а) и (626), исключаем один из неизвестных коэффициентов (например, В (у)). После выполнения преобразований получаем
F (х, у) = {А (у) {q±w [еИ’ ch wx — ch w (d— ж)] -f-
+ № 7 1У’1sh wx -j- sh w (d— x)]}\/{qLw sh wd +
+ }qzy (еИ’ — ch wd)},
n I \ |
л i \ i i 2 i 2 |
sh w x |
~ |
sh w ( d —я) |
G (ж, у) = |
A (у) (q;w2+ д у ) ----— ■ |
--Д----f- |
||
q p v sh w d -j-j q 2у (e5^—ch w d)
(64a)
(646)
Граничные условия требуют, чтобы тангенциальная состав ляющая электрического поля обращалась в нуль на проводящей поверхности, а тангенциальная составляющая магнитного поля была непрерывной в области z О 0. Это означает, что должны выполняться соотношения
g (ж, z) = 0 при ж = md, z < 0 , |
(65) |
170 |
Глава 4 |
И
ГГУ(х = md+, z) -+-/ (х — md+, z) = Hi (x = md , z) + / (ж = «id , z)
при z^O .
Введем следующие стандартные обозначения, используемые обычно прп применении метода Винера — Хопфа [19]:
с о
F+ (я, у) = (-2^ ) 1/2 j / (х, z) е^* dz
F - (*. Т) = ( 2^г) 1/2 j / (®> z) eiTZ dz-
Индексы + и — обозначают, что данные выражения являются аналптпчными в верхней пли нижней частях плоскости комплекс ного переменного у (рис. 4.14). Этот результат вытекает из теории
гшу
Рис. 4.14. Плоскость комплексного переменного у
преобразования Фурье [19]. |
Применяя |
преобразование Фурье |
|
к граничным условиям (65) при т = |
0, |
получаем |
|
е _ ( 0 , у) = о |
|
( 66) |
|
и |
|
|
|
[П (0 \ у) + F+(0+, у)] - |
[Р\ (0-, |
у) + F+(0-, у)] = 0, |
|
где F'l+является преобразованием Фурье магнитного поля падаю щей волны и определяется соотношением
^(*’?)= (-5г) |
J (e“' _JV02) ejv* dz = |
|
1 |
i |
для Im(y — У о ) > 0 |
|
Y—Vo |
|
|
|
|