книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток
.pdfКаноническая решетка из тонкостенные: волноводов |
141 |
житель. В этом случае ортонормированные собственные функции для внутренней области имеют вид
У (2 — £>0q)/c cos |
q— четное |
|
У (2 — S0g)/csin |
г/) , q— нечетное |
при |
|
||
|
при других у |
|
где q = 0, 1, 2, . . оо. Волновые проводимости равны
|
, к2— (л/а)2 |
|
|
У9 = --------г— , |
|
где |
copoYg |
|
|
|
|
|
У к2— (п/а)2 — (qji/c)2 |
для |
У9 = |
— j У (n/a)2-\-{qn/c)2—к2 |
для |
|
||
,
(14)
(15)
представляют собой постоянные распространения. Типы волн (моды) во внешнем пространстве оказываются подобными типам волн для случая сканирования в Я-плоскости. Таким образом,
W'm{y) = y i f d e № m*+Wdlv, т = 0, ± 1 , ± 2 , ...,± < х > . (16)
Волновые проводимости и постоянные распространения (в направ лении оси z) для этих типов волн равны соответственно
|
у . |
/с2— (я/а)2 |
|
|
|
|
И |
|
“ Л |
|
|
|
|
Г |
V lc2—(n/a)2—[{2mn + ^)/d]2, |
к2^ |
( |
^ |
- ) ~ + ( 2, , г ^ |
|
\ — ] У {nla)2+[{2mn+y)/d}2—k2, |
/с2< |
( |
" |
-f ( 2wItrf' ^ ) 2, |
||
где для краткости опущен индекс у в фу. |
|
|
|
(17) |
||
|
|
|
|
|||
Используя методы, рассмотренные выше, запишем интеграль ные уравнения для случая возбуждения антенной решетки с низ шим типом волны Ф' (у). Интегральное уравнение относительно тангенциальной составляющей магнитного поля имеет вид
d/2 оо
э д о / ) = J { 2 л е д е н и т
— d / 2 g=0
оо
+ 2 Z A’ { y ) ^ { y ' ) } H x {y')dy'. |
(18) |
142 Глава 4
Интегральное уравнение относительно тангенциальной составля
ющей электрического |
поля |
записывается |
в виде |
|
|
с/2 |
сю |
|
|
|
|
2 « М = |
{ 2 2 /^ G /) < W ) + |
|
|
||
- с / 2 |
д = 0 |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
(у) ^ |
(х/0 } ^ (г/0 rfi/'. |
(19) |
4. КАНОНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ ВОЛНОВОДНОЙ РЕШЕТКИ
Интегральные уравнения, полученные в разд. 2, справедливы для случаев, когда решетка состоит из параллельных пластин конечной толщины, т. е. при условии 6 > а в режиме сканирова ния в квази-Е-плоскости. Интегральные уравнения для электри ческого поля в раскрыве остаются справедливыми даже в том случае, когда в раскрыве антенной решетки помещены тонкие диаф рагмы, при условии, что интегрирование осуществляется только для свободной части раскрыва. Положение диафрагм в раскрыве необязательно должно быть симметричным. Однако интегральное уравнение для тангенциальной составляющей магнитного поля при наличии диафрагм в раскрыве сильно усложняется [22].
Если стенки волноводов имеют конечную толщину, то интег ральные уравнения решаются только приближенными методами. В гл. 5 рассмотрено применение метода моментов с использованием различных систем базисных и весовых функций для численного решения этих уравнений. В данной главе обсуждаются только осо бые частные случаи, допускающие решение задачи точными мето дами.
Точные решения возможны, если все стенки волноводов имеют бесконечно малую толщину. Это означает, что при сканировании в //-плоскости должно выполняться условие а = Ь, а при скани ровании в квази-Е-плоскости — условие с = d. Для получения точного решения интегральных уравнений эти уравнения сначала преобразуются с помощью специальных пробных функций в ма тричные уравнения. В качестве примера рассмотрим решение урав нения (19). (Аналогичным образом можно решать и другие интег ральные уравнения.) .
Предположим, что приближенное решение имеет вид
N |
(20) |
Еу(у)^ 2 »пФ'п(у)- |
|
7 1 = 0 |
|
Мы будем предполагать, что N -*■ оо. По мере возрастания N качество аппроксимации улучшается и в пределе соотношение (20)
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
Ш |
становится равенством. При подстановке соотношения (20) в урав нение (19) получаем
N оо
2Уо^о (У) — 2 |
ип[Уп®п(у) 4" 2 Yrn^m (у) ^пт], |
(21) |
п = 0 |
т = —оо |
|
где коэффициенты связи между типами волн определяются из соот ношений (14) и (17) следующим образом:
с /2
%пт = |
' Фп (У) |
(У) dlj = |
|
-с/2 |
|
|
1/2 —б0„ |
2 ( - l)n/2+m[(2mn+ i|)),/d] |
~ |
d |
Гт — Уп |
sm■ -Ф|- при четном гг,
Ф
cos -g- при нечетном гг.
При вводе этого выражения было использовано соотношение
Умножая левую и правую части соотношения (21) на функцию (у) (q =0, ± 1 , . . .) и интегрируя в пределах от—с/2 до с/2,
получаем
2у'0Щя= 2 v’n [(y’n+ Y'q)<S*q], 3 = 0, ± 1 , ... . |
(22) |
п=0 |
|
Подставляя в уравнение (22) выражения для у'п, Y'q и 4gng, пола гая N -*- оо и
v'0= l + v'o, |
|
v'n = Vn, П>о, |
(23) |
и перенося затем известные величины в левую часть равенства, получаем
У 2/d - |
)-= |
2 |
7 7 ^ |
В п ПРИ |
7= °. |
± 1 . ± 2> •••• Ь О О , |
||
VoUoT^W |
• |
ЛГд— Уп |
|
|
|
(24) |
||
где |
|
71=0 |
4 Х |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
Ф |
для |
четного гг, |
Вп = ( |
п/2 j / 2 |
— 6on_. |
|
|
|
|||
1) |
|
|
d |
Уп cos -г)- |
для нечетного /г. |
|||
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
Соотношение (24) представляет собой бесконечную систему алгебраических уравнений особого вида. Если эти уравнения пред ставить в матричной форме, то элемент матрицы с индексами (гг, q) равен 1/(Гд — y(i), т. е. коэффициент уп оказывается в столбце
144 Глава 4
с номером п, а коэффициент Г, — в строке с номером q. Несмотря на то что число уравнений и число неизвестных Вп бесконечно велико, эта система уравнений благодаря особой структуре может быть решена точными методами. Решение подобной системы урав нений детально рассмотрено в гл. 3.
Эта задача решается также методом Винера — Хопфа (см.
разд. 10).
Решение для модальных коэффициентов v'n имеет вид беско нечных произведений. Таким способом можно вычислить коэффи циенты для всех типов волн. Ниже приведены результаты только для распространяющихся типов волн. В реальных антенных решет
ках |
условия распространения выполняются только для низшего |
|
типа |
волны. Ширина |
волноводов удовлетворяет соотношению |
V 1 - |
(ш ь )2 < m d . |
при этом условии в свободном простран |
стве существует распространяющаяся волна, если управляющая
фаза изменяется в интервале |
0 ^ фц ^ (2ndl%) ]/Т — (Х/2Ь)2. |
При выполнении соотношения |
2яd/X К 1 — (Х/2Ъ)2 ^ фу ^ я рас |
пространения энергии не происходит. Так как решетка обладает симметрией, можно рассмотреть интервал изменения управляющей фазы 0 ^ фу ^ я.
Коэффициент отражения и коэффициент передачи определяются соответственно выражениями
{ ~ ’2 [® (1°'+ arclg ГПГТ—“гс1гШ ])
|
для 0^ ф у ^(2 яй Д ) ]/Ч — (А./26)2^ я , |
|
||
ехР {> |
- |
a r c t g - ^ - a r c t g - ^ - - a r c l g A |
] } |
|
|
|
для |
(2ndl%)Y{ — (^/26)2^ ф у ^ я , |
|
_ |
|
|
|
(25) |
То |
|
|
|
|
- |
G ( у ’0) - arctg |
+ arctg А - ] } |
|
|
где |
для |
0^ф у^(2яй /Я ))/г 1 — (V2b)2^ n , |
(26) |
|
|
|
|
|
|
G(x) = —-^ln24 -arctg -^ -j- + 2 |
arctg-г^ |
|
||
|
|
71=2 |
|
|
- arctg гёт) •
Коэффициент передачи нормирован так, что величина | Т0 |2 равна передаваемой мощности, если к каждому волноводу подводится единичная мощность.
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
145 |
Для решения задачи при сканировании в //-плоскости можно использовать описанные выше методы. Распространение единствен ного типа волны в волноводе возможно в том случае, если выпол няется условие У2 < Ь/Х < 1 . При этом во внешней области будет существовать также одна распространяющаяся[волна и диаграмма
направленности решетки будет |
иметь |
один главный |
лепе |
сток, если выполняется условие |
0 ^ фд. ^ |
2я (1 — Ъ /X). |
Если |
2л (1 — ЫХ) ^ фд. ^ л, во внешней области возможно существо вание двух распространяющихся типов воли, и диаграмма направ ленности решетки содержит наряду с главным лепестком один дифракционный лепесток. Коэффициент отражения в этих двух диапазонах изменения угла сканирования определяется разными выражениями. Обозначим коэффициент передачи для главного лепестка диаграммы направленности через Т0, а коэффициент передачи для дифракционного лепестка — через Т_х. В результате решения задачи для случая сканирования в //-плоскости [1] полу чаем
(HTvi) е*Р{2ФТ- ? - ‘И*тг-п]}
R - I
для о < ф* < 2л (1 — Ь/Х),
(27)
?1 + Г -
для 2я(1 —
T ^ e x P |
{ j [ n + F (Го) + a r c t g ^ - - |
F (Yl) - a r c t g ^ ] |
} |
|
|
|
для 0 < фд. <.2л (1 —Ь/Х), |
||
V W o i / 7 |
) (iSfe1)ехр {/ |
^(Го) - ^Ы) |
|
|
Го+ TiK I |
|
|||
|
|
ДЛЯ 2л (1 — Ь/Х) < тра- С |
л |
|
|
|
|
(28) |
|
Г-1 = ^ 5 ^ ] / [ г Ц ? ) (г |
|
|
||
l - 1 + Yi * |
|
Го+1 ) ехр{у[л-ЬЕ(Г_1) - / ’(у1)} |
|
|
М о — 1 - 1 / W o |
|
|
||
для 2я(1 — Ь/Х) < фж^ л , (29)
где
F(x) = —■ ln 2 + arctg
+ 2 (аг^ т а +ис18ттУт-агс‘«т^т)-
10-0168
146 |
Глава 4 |
5. |
ПРИМЕРЫ |
|
Решения, полученные выше, являются точными и применимыми |
в тех случаях, когда стенки волноводов имеют бесконечно малую толщину. С помощью этих решений можно производить расчеты для волноводов различных размеров с высокой степенью точности. В этом разделе приведены результаты расчета для двух рассмот ренных режимов сканирования.
Расчетные значения коэффициента отражения для режима сканирования в квази-2?-плоскости показаны на рис. 4.4. Напомним, что при сканировании в квази-Е-плоскостн стенки волново дов, параллельные падающему электрическому полю (т. е. парал лельные плоскости г/г), не оказывают влияния на распределение поля и могут быть удалены из системы (рис. 4.3). Если фу = О, то каждый ряд элементов находится в одних и тех же условиях. Поэтому каждому ряду элементов соответствует одно и то же рас пределение поля. Так как падающее электрическое поле в каждом
элементе |
перпендикулярно |
плоскостям у = |
pd/2, где р = О, |
|
± 1, |
± 3 , |
± 5, . . ., то вторичное электрическое поле также долж |
||
но |
быть |
перпендикулярно |
этим плоскостям. |
Таким образом, |
не нарушая структуру полей, можно продолжить стейки волново дов, параллельные плоскости х — г, во внешнюю область до беско нечности. При этом обнаруживается, что в области раскрыва неод нородности отсутствуют, и волноводная решетка оказывается пол ностью согласованной. Коэффициент отражения при излучении по нормалп равен нулю, что также видно из рис. 4.4.
При расчете размеры волноводов выбирались таким образом, чтобы излучение во внешней областп отсутствовало при значе
ниях управляющей фазы, превышающих (2лd/X) У~1 — (Х/2Ь)2. Поэтому коэффициент отражения равен по модулю 1, если значе ния управляющей фазы находятся в пределах
(2лd/X) У 1— (Х/2Ь)2 <фу С л.
При этом условии вся падающая мощность полностью отра жается от раскрыва. Фаза коэффициента отражения в этой области изменяется довольно быстро.
При полном отражении от раскрыва низший тип волн образует стоячую волну внутри волноводов. На больших расстояниях от раскрыва нераспространяющиеся волны, возбуждаемые в об ласти раскрыва, сильно затухают, а тангенциальная составляющая электрического поля обращается в нуль в некоторых периодически повторяющихся сечениях. Без нарушения распределения полей в этих случаях можно расположить металлические перегородки. При этом волноводную решетку можно рассматривать как реб ристую структуру, полностью изолированную от области источ
Каноническая решетка из тонкостенных волноводов |
147 |
ников возбуждения. Решение задачи о волноводной решетке при данных условиях можно рассматривать как решение задачи рас пространения волн без возбуждающих источников для соответ ствующей ребристой структуры. Так как в рассматриваемом случае не происходит излучения энергии в свободное простран ство, то вся энергия сосредоточена вблизи поверхности ребристой
1ру /(2лЬ/Л )
Рис. 4.4. Коэффициенты отражения при сканировании в квази- Е-плоскостп.
структуры. Следовательно, решение задачи в данном случае мож но рассматривать как поверхностную волну, распространяющуюся вдоль ребристой структуры [3]. Расчеты на основе теоремы Пойнтинга показывают, что направление потока энергии совпадает с направлением изменения фазы. Таким образом, поверхностная волна является прямой волной и, кроме того, замедленной, так как наклон изменения фазы превышает волновое число для сво бодного пространства. Условия возникновения такой волны явля ются следствием геометрии волноводной решетки.
10*
'148 Глава 4
Возможны однако, случаи, когда явление полного отражения не может быть достоверно предсказано без фактического решения граничной задачи. Поверхностная волна, направляемая модифи цированной структурой, обладает рядом интересных и необычных характеристик, специфичных для ФАР. Эти вопросы рассмотрены более подробно в последующих главах.
На рис. 4.5 и 4.6 приведены результаты расчета коэффициентов отражения и передачи при сканировании в //-плоскости. Так как в этом случае расстояние между элементами Ы%> 1/2, то дифракционный лепесток возникает при условии 2л (1 — ЫХ) ^ ^ фк ^ я. Величина коэффициента отражения уменьшается, если сканпрованпе происходит вдали от нормали. В области существо вания двух главных лепестков наблюдается сильное уменьшение модуля коэффициента отражения при возрастании управляющей фазы. Из этого следует, что прн иалпчнп двух главных лепестков улучшается согласование импеданса в раскрыве с волновым сопротивлением волновода. Случай ф* = 180° аналогичен случаю фж= 0 для сканирования в квази-А’-плоскости; при этом волновод ная решетка полностью согласована и вся падающая мощность излучается в свободное пространство. Два главных лепестка сим метрично расположены по отношению к нормали, и в каждый из этих лепестков ответвляется половина падающей мощности
(см. рис. 4.6.).
Прн изменении управляющих фаз имеются критические состоя ния, соответствующие моментам появления или исчезновения основного лепестка или дифракционного лепестка. При сканиро вании в квази-А-плоскости имеются два луча, симметрично распо ложенные относительно плоскости yz. При фи = 0 положение этих
лучей определяется |
углами 0 = arc sin (Х/2b), ф = 0 и 0 = |
= arc sin (%12Ъ), ф = |
я. При увеличении ф;/ эти лучи отклоняются |
от нормали в плоскостях, параллельных плоскости yz до тех пор, пока не будет достигнуто критическое значение управляющей
фазы] фхкрит = (2яй/Л) ]/Ч — (Х/2Ь)2, при котором лучи пропа дают. При сканировании в //-плоскости условие соответствует возникновению дифракционного луча. Этот луч параллелен раскрыву волноводной решетки, если управляющая фаза точно равна критическому значению управляющей фазы фжкрит.
Появление или исчезновение лучей сопровождается резким изменением наклона зависимостей коэффициентов отражения и передачи от углов сканирования. Действительно, первая произ водная от коэффициентов отражения имеет особенность в точках, соответствующих критическим углам. Ниже показано, что поря док этой особенности определяет асимптотическое поведение коэф фициентов взаимной связи при больших расстояниях между эле ментами.
Модуль R
Фаза R, град
----1-------- |
1-------- |
1-------- |
1---- |
L— |
---1,0 |
О |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,3 |
sin в
TQили T-,
Рис. 4.5. Коэффициенты от ражения при сканировании в //-плоскости стрелки со ответствуют,. ф = 2 я (1 —
Рис. 4.6. Коэффици ент передачи мощно сти при сканирова нии в //-плоскости.
|
|
|
------ |
МОЩНОСТЬ |
в основ |
|
|
|
ной лепесток; |
— — — |
|
|
|
|
мощность в дифракцион |
||
О |
0,1 0,г |
0,3 0,4 0,5 |
0,6 0,7 0,8 0,9 |
ный лепесток. |
|
sin в
150 Глава 4
6. ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ
До сих пор при исследоваиии волноводной решетки мы пред полагали, что ее элементы возбуждаются источниками, имеющими одинаковые амплитуды и линейное распределение фаз. Это позво лило изучить свойства такой решетки в режиме сканирования. Явления, обусловленные взаимной связью элементов, при этом учитываются в постановке задачи.
Характеристики ФАР можно также исследовать, рассматривая случай возбуждения одного элемента. Этот способ позволяет находить непосредственно диаграмму направленности элемента в решетке и взаимную связь элементов [4—6]. Коэффициенты взаимной связи между элементами в сканирующей антенной решет ке можно определить с помощью коэффициента отражения решет ки, используя принцип линейной суперпозиции. Для бесконечной ФАР соотношение между коэффициентами взаимной связи и коэф фициентом отражения имеет вид ряда Фурье.
Обозначим символом ф коэффициент взаимной связи (коэф фициент рассеяния) единственного возбужденного элемента с ин дексом п в решетке с элементом с индексом т, определяемым при условии, что все элементы ФАР, кроме возбужденного, нагружены на согласованные сопротивления. В этом разделе будет рассмотре но взаимодействие элементов при учете только низших типов волн. Взаимодействие элементов при учете высших типов волн рас смотрено ниже (разд. 3.7). Коэффициент отражения элемента с индексом т определяется выражением
(30)
П
Коэффициенты отражения элементов бесконечной антенной решетки одинаковы. Без потери общности достаточно рассмотреть один элемент с нулевым индексом, расположенный в начале коор динат. Опуская для удобства индекс 0, запишем выражение для коэффициента отражения этого элемента в бесконечной антенной решетке:
СО |
(30а) |
R = S Спе~’**, |
где Сп — коэффициент связи между элементами с индексами 0 и тг. Уравнение (30а) можно рассматривать как разложение коэф фициента отражения в ряд Фурье, в котором коэффициенты Сп являются коэффициентами этого разложения. Следовательно,
JT
(31)