книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток
.pdfМетоды решения |
121 |
при достаточно большом Р, считая, что при этом получается приблшкенное решение с необходимой точностью. Следуя описанной выше процедуре, выразим хР через x N:
Х р — У] ( — I)9 (bpiv)9 x N i |
(68) |
9 = О
где L pn = Kj} (К Р — KjY). Таким образом, используя выражение (68), можно уточнить первоначальное приближенное решение.
Заметим, что при получении выражений (67) и (68) необходимо увеличить размерность (т. е. следует расширить ранг K N), так как приближенное ядро K N обычно имеет меньшую размерность, чем ядра К и К Р. Это можно сделать разными способами. Удобно, например, левую верхнюю подматрицу N X N расширенной мат рицы приравнять первоначальной матрице K jY, а затем дополнить ее так, чтобы диагональные элементы были равны диагональным элементам К или К Р, а недиагопальные элементы были равны нулю, т. е.
( |
для i, |
j ^ N , |
|
|
N или j > iV, |
||
KnE;j = КриЬи или К и 8ij для i > |
|||
|
|
|
(69) |
где K ne .- — элементы расширенной матрицы. |
Аналогично |
x N |
|
можно расширить до x NE, полагая x NE = {{%}, 0, 0, . . ., |
0}. |
||
В результате обращение расширенной матрицы будет не сложнее, чем обращение первоначальной матрицы.
Определим |
теперь |
последовательность векторов (х)\ |
i = 1 , 2 , . . . , |
как частичную сумму ряда Неймана (66), т. е. |
|
|
(a;)° = |
a;jY, |
|
(а;)1 = хЕ — LhXn , |
|
|
|
(70) |
(я)8 = 2 ( - 1 rb%xN. 5=0
Каждый вектор можно представить в форме
(a;)r = {(a:)i, (xf2, (х)\, . . .}.
Интересно отметить, что первая коррекция равна нулю для первых N компонент (а;)1 — (а;)0:
(а:)1 — (х)° = {0, 0, ... , 0, Да:Л-+1, AxN+2, •••,}, |
(71) |
где Aa:jY+1 = (а?)дг+1—(х)%+1 и т. д. Поэтому необходимо суммиро вать ряд Неймана, начиная со второго члена, чтобы получить уточнение для первых N компонент приближенного решения.
122 |
Глава 3 |
Выражение (65) представляет значительный интерес, так как с его помощью можно оценить отклонение приближенного решения от точного только через оператор L N и приближенное решение x N.
Возможны другие способы преобразования уравнения (1) в форму, удобную для применения итерационного процесса. Например, можно представить матрицу К в виде
К = N — Р. |
(72) |
Тогда уравнение (1) можно записать в виде
Nx = Рх + у. |
(73) |
Это выражение пригодно для получения нового решения, если под ставить в правую часть известный вектор. Для успешного приме нения такого процесса необходимо, чтобы определитель N не был равен нулю. Итак, начиная с произвольного вектора х 0, получим
xL= N^Pxo-^N-hj,
x2 = N -1Px1-\-N-1ij= N -1PN-1Px0-\-N-1P (N^y+y) . (74)
Очевидно, матрицу N надо выбрать так, чтобы легко было найти обратную к ней матрицу. Достаточное условие сходимости процес са состоит в том, чтобы наибольшее собственное значение матрицы N~XP было меньше 1. Это условие оказывается также необходимым, если процесс должен сходиться независимо от первоначального приближения £0.
Известно много способов расщепления исходной матрицы. Спе циальный случай N;j = К и 8и , P tj = Кц8и — K tj, называется итерационным процессом Якоби, или процессом одновременных итераций. Процесс Гаусса — Зайделя, пли процесс последователь ных итераций, приводит к выбору N в виде
М |
f |
K-ijt |
|
о,' i < j . |
|
Особый способ построения расширенной матрицы K N, указанный |
||
в соотношении (69), иногда |
называется процессом блочных |
|
итераций. |
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Е 1
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И МЕТОД МОМЕНТОВ
Чтобы доказать, что решение, полученное методом Ритца — Галеркина, автоматически удовлетворяет закону сохранения энер гии, рассмотрим уравнение (22) для электрического поля в апер
Методы решения |
123 |
туре:
СО
2 ^ ( I V ( r ) = |
j |
{ 2 |
y j O j { T ) O j ( r ' ) + |
|
|
|
A |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
(!•) |
(r') } • E( (r') dr' ■ (22) |
|
|
|
7 7 1 = 1 |
|
|
Напомним, |
что |
уравиеипе |
выведено для |
случая возбуждения |
|
решетки типом волны Ф,- (г).
Для перехода от уравнения (22) к системе лииейиьтх алгебраи ческих уравнений применим метод моментов с системой базисных
функций rjj (г), (i = |
1, 2, |
. . |
I) и с системой весовых функций |
||||
т|* (г) (i |
= 1, 2, . . |
I). |
В результате получим |
|
|||
|
|
di |
I — [Lji] |
di 1 |
, |
(П.1) |
|
где |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
dj = 2y}>{Ф}>, |
|
|
(П.2а) |
|||
|
|
л*). |
|
||||
|
|
|
|
м |
|
|
(П.26) |
Ljt = 2 |
Уп ('Hi) ф») (Фп, |
ф ) + |
2 Y„ (Л*. |
'Em) ('Em, Г]*) |
|||
7 1 = 1 |
|
|
|
7 7 1 = 1 |
|
|
|
и аг — неизвестные коэффициенты разложения. Заметим, что при получении системы (П.1) введено приближенное выражение для ядра путем обрыва двух рядов прп значениях N и М. Это экви валентно использованию N типов волн в волноводе и М гармоник Флоке в свободном пространстве при применении метода сшивания гармоник. Таким образом, электрическое поле в апертуре пред ставляется в виде
N |
|
I |
Eg ~ (1+ Д ,0 фу (г)+ 2 |
и,)Ъ Ж (Г) ^ |
2 ащ(г) (П.За) |
Еа ~ 2 ^т'Ещ (г) ~ 2 аЭ1г (г). |
(П.Зб) |
|
771=1 |
1 = 1 |
|
Индексы g жа соответственно обозначают поле в волноводе и в сво бодном пространстве. Магнитные поля Hg и На определяются выражениями
|
N |
|
— z х Нg=ijj' (1 — Ry) Фх (г) — 2 УпЪ'пФп (г), |
(П.4а) |
|
М |
71=1 |
|
|
(П.46) |
|
— Z X На= 2 УгНт'Е(г). |
|
|
т=1 |
|
|
124 |
Глава 3 |
Из выражений (И.За) и (П.Зб) можно найти неизвестные модаль ные функции с помощью коэффициентов аь:
I
1 + Д ,'= |
2 |
ОН. |
Фу')в/. |
(П.5а) |
|
i=i |
|
|
|
|
I |
СПг, |
Фп) at, |
(П.56) |
Ь п = |
2 |
|||
|
1=1 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
/1т = 2 ( ф , ЧГ^а,. |
(П.5в) |
|||
|
г=1 |
|
|
|
Мощность, переносимую в прямом и обратном направлении к апер туре, можно оценить с помощью г-й составляющей вектора Пойнтннга. Из условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей в апертуре имеем
|
|
|
Jz.E*xHJdr' = jz.EaxH;dr. |
|
|
(П.6) |
||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
Используя выражения |
(П.З) — (П.5), |
найдем |
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
Уго-i (Фг> |
110 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
I |
и |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
2 |
2 |
aiaj [2 |
у*(1li, |
Фп) (Фп, |
11*)+ |
|
|
||||
|
|
|
i = l j = l |
|
п = 1 |
м |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
Y % ( r u , |
4 + ) |
('F m, + ) ] . |
(П.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
7 7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Из сравнения выражений (П .1) |
и (П .7) |
вытекает, |
что выражение |
|||||||||||
(П .7) |
является квадратичной формой, полученной из выражения |
|||||||||||||
(П .1): |
|
|
/ . |
\ * |
|
|
|
|
/ |
• \ |
* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
{ • • • a-i |
■■■} I |
di |
= { . . . at |
...} [L}i\* I |
at |
I . |
(П.8) |
|||||
Таким образом, |
мы показали, |
|
что |
выбор Ln = (t]|, Lip) |
ведет |
|||||||||
к сохранению энергии. Соотношение взаимности при таком выборе не удовлетворяется при комплексных значениях {тр}. Однако в ряде задач используются действительные значения {тр} и тогда приближенное решение по методу Ритца — Галеркина удовлетво ряет как принципу взаимности, так и закону сохранения энергии.
Методы решения |
125 |
П Р И Л О Ж Е Н И Е 2
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В МЕТОДЕ ВЫЧЕТОВ
Функция g (и?) выбирается в следующей форме:
СО |
л |
|
р И ( и»-Гй [] (ш -Г ')(ш -П д)(й/25я)2Р0^ |
|
|
_________ Я=±_________________________ |
(П.9) |
|
оо |
|
|
{^ + Уо)(ч’ — У'о) П (Tn — w) W nn) ewd/nx
п—1
где р (w) — целая функция, определяемая ниже. При выборе g (w) распределение нулей и полюсов принимается в соответствии с усло виями 1 и 2, указанными в разд. 6. Экспоненциальные множители в бесконечных произведениях введены для обеспечения сходимо сти. Присутствие р (w) необходимо для выполнения условия 3, т. е. | g (if) | ->- 0 при | if | — оо. Для определения функциональ ного вида р (if) полезно заметить, что для больших т
т п |
И |
2тл — \р |
Ут ■ |
d |
|
|
|
Следовательно, g (w) в окрестности бесконечно удаленной точки отличается на ограниченную функцию от функции
Рм ( » - г » ц ( » - ^ ) |
( 4 г ) 2*” "к |
glW = -------------------------------- - --------------------------------------------- |
= |
<»+«<”-»» п ( т - “) Ш
7 1 = 1
М » ) ( » - Г 1 ) Г ( ^ ) Г ( ^ ) , | Д ( ^ * ) , , „ ( ^ )
я (“' + ?£) (u> —Yo) г ( ^ - ) sinwd
(П.10)
где Г (if) — гамма-функция. Итак, для определения поведения функции g (if) при больших if необходимо только исследовать изменение функции gx (w) при w -> оо. Если w стремится к беско нечности, первый член формулы Стирлинга для гамма-функции имеет вид
Г (z) ~ У 2п/z е2 |п2-2.
Подстановка асимптотического выражения для гамма-функции в выражение (П.10) приводит к следующей асимптотической фор муле:
gi М ~ !п 2.
126 Глава 3
Для обеспечения алгебраического роста gx (w) на бесконечности функцию р (w) выбираем равной А'е('г<,/'л)|п2 где К — констапта, удовлетворяющая условию 4. При таком выборе р (w) функции gx (w) п g (w) стремятся к 1/шп/2 при w оо. Можно пока зать, что такое поведение поля удовлетворяет условию на кромке [27]. Функция g (w) теперь имеет вид
g (w) = Ke(wcl'^ ln 2 |
|
( W - Q П |
(w -T '0) ( w - T ' _ q)(cl/2qn)^ewd^ |
|
|
||||||||
|
--------- — ------- ---------------------------- |
|
(11.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
(u’ + Yo) (w—Yo) [J |
(y'n —w)(d/nn)ewcI/nn |
|
|
|||||
|
Из условия 4 |
|
|
|
11=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
(w + y'0) g(w) = |
У Ш Sin.,l|)/2 • |
|
|
||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K = — V2-id |
sin i|;/2 |
|
(v'd/я) in 2 |
2yj |
|
|
|
|
|
|
|||
/■ |
|
e"o- |
Yi-l-ri7- X |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
To |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ц |
(Yn+ Yo) W reJl) e |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
X |
71=1 |
|
|
|
|
|
|
(П.12) |
|
|
|
|
|
П №+Г^)(т1+Г1в)(«*/29л)2е |
- V ' d / q n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
v» |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
q— i |
|
|
|
|
|
|
|
Используя это выражение для К, найдем |
|
|
-ГД |
|
|
||||||||
( w ) = — Y 2ld sini|,/2 e{w+Y*)Wn) ln 2 |
л?. —1_ |
1 |
|
X |
|
||||||||
' |
t |
r |
' |
Yo |
|
|
|
|
|
|
|||
|
oo |
|
|
|
|
Yo + |
TJ (w^H-Yi) (*o —Yo) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
■я д |
(tc—Гд)(ш —T l q) |
e(w+vj)£f/e^ |
|
|
||||
x |
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||
(Yn ~T Yd) g-IVo+wM'njt |
|
|
|
) |
|
|
(П.13) |
||||||
71=1 |
(Yn —“0 |
|
|
■(Yo~r Г1) (Yo+ Г'_ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
9 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Зная функцию g (w), |
непзвестиые коэффициенты B„ можно найти |
||||||||||||
с помощью выражения (58). |
Затем с помощью |
выражения |
(55а) |
||||||||||
можно определить v'n — модальные коэффициенты в разложении неизвестного поля в апертуре по нормальным типам волн в волно воде.
Можно также вычислить модальные коэффициенты в разложе нии поля по гармоникам Флоке. Для этого воспользуемся непре
рывностью тангенциальных |
составляющих поля в |
апертуре |
|||
|
ОО |
|
СО |
|
(П.14а) |
(1 + R) Ф0 (у) -Ь 2 |
упФп(у) |
2 |
ТлДДг ( у ), |
||
|
71=1 |
|
|
|
|
— г/о(1 — Щ ФДг/)+ 2 |
y’nVncK (y ) = — |
2 |
ТжУтЧД, (у). |
(П.146) |
|
71=1 |
|
7П— — 00 |
|
|
|
Умножая выражения |
(П.14а) и (П.146) на xFg* (у), интегрируя по |
||||
апертуре волновода |
(0, d) |
и учитывая |
ортоиормированиость |
||
Методы, решения |
127 |
функций (XF')> найдем |
|
|
|
|
У<2— (1 4" Щ |
+ 2 |
nqVn |
(П.15а) |
|
|
П = 1 |
|
|
|
— Y'qV'g = - у ' (1 - |
R) « 0*3+ |
S ^UVnVn- |
(П.156) |
|
Комбинируя эти уравпеиия, получим |
|
п= 1 |
|
|
|
|
|
||
- 2Y'У' = - { ¥ ’„ + у'0) Щ0 + ( - ¥ |
’„ + у'0) Д«* + |
|
||
|
+ |
00 |
(Ijn-Y'q)%*qv'n. |
(П.16) |
|
2 |
|||
|
|
п= 1 |
|
|
Подставляя сюда выражения для у'„, |
Y q и 7?ng, после некоторых |
|||
упрощений получим |
|
|
|
|
оо
71=0
Сравнивая выражение в квадратных скобках с выражениями (57) и (58), находим, что это выражение можно оценить с помощью интеграла
.) |
Р - 18> |
Cs |
|
где точка w = —Гд является полюсом подынтегральной функции. Устремляя контур Cs в бесконечность, с помощью теоремы Коши о вычетах найдем
g ( - ¥ „ ) + |
3 |
Г(Уп) |
/ 2/d |
sin г|)/2 |
1 |
= |
0. |
|
Yo |
Tq— Уо |
|||||
|
|
|
|
|
|
п=0
Таким образом, V'q можно определить с помощью той же аналити ческой функции g (w):
|
Vq — ( — l)9 ( |
) ^ ( — Гд). |
(П.19) |
|||
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|||
1. F r i e d m a n |
B . Principles and |
Techniques |
of |
Applied |
Mathematics, John |
|
Wiley and |
Sons, New York, |
1960; |
V u l i k h |
B . |
Introduction to Functional |
|
|
Analysis for Scientists and Technologists, Addison Wesley Publishing |
|||||||||
2. |
Company, |
Reading, |
Mass, |
1963. |
|
|||||
К а н т о р о в и ч |
Л . В . , |
К р ы л о в |
В . И . Приближенные методы высшего ана |
|||||||
3. |
лиза, |
Гос. |
|
тех. |
теорет. издат», изд. 3, М. — Л., 1950. |
|
||||
H a r r i n g t o n |
R . F . |
Field Computation by Moments Method, The Macmillan |
||||||||
4. |
Company, |
New York, |
1968. |
Wiley |
||||||
I s a a c s o n |
E . , |
K e l l e r |
I I . |
B . |
Analysis of Numerical Methods, John |
|||||
5. |
and Sons, New York, 1966. |
|
«Phys. |
|||||||
B u m s e y |
V . |
|
I I . The |
Reaction Concept in Electromagnetic Theory, |
||||||
6. |
Review», 1954, Series 2, v. 94, p. 1483—1491. |
|
||||||||
J o n e s |
D . |
S . |
A Critique of the Variational Method in Scattering Problems, |
|||||||
|
«IRE |
Trans. Antennas |
and |
Propagation», 1956, v. AP-4, p. 297—301. |
||||||
128 |
|
|
|
|
|
|
Глава 3 |
|
|
|
|
|
7. |
L e v i n e |
I I . , |
S c h w i n g e r |
|
J . |
On the Theory of Diffraction by an Aperture in |
||||||
|
an Infinite Plane Screen I and II, «Phys. Review», 1948, v. 74, p. 958— |
|||||||||||
8. |
974 and 1948, v. 75, p. 1423-1432. |
|
|
|
|
|||||||
W u С . |
P . , |
G a l i n d o |
V . |
Surface-Wave Effects on Dielectric Sheathed Phased |
||||||||
9. |
Arrays |
of Rectangular Waveguides, «В. S. T. J.», 1968, v. 47, p. 117—142. |
||||||||||
A m i t a y |
N . , |
G a l i n d o |
V . |
Application of a New Method for Approximate Solu |
||||||||
|
tions and Error Estimates to Waveguide Discontinuity and Phased Array |
|||||||||||
10. |
Problems, Radio Science», 1968, v. 3 (New Series), p. S30—843. |
|||||||||||
C l a r r i c o a i s P . J . B . , |
S l i n n K . R . |
Numerical Solution of Waveguide-Discon |
||||||||||
11. |
tinuity Problems. «Ргос. 1ЕЕ», 1967, v. 114, p. 878—886. |
|
||||||||||
C o le W . |
J . , |
N a g e l b e r g |
E . |
R . , N a g e l С . M . |
Interactive Solution of Waveguide |
|||||||
12. |
Discontinuity Problems, «Bell System Tech. J.», 1967, v. 46, p. 649—722. |
|||||||||||
M i t t r a |
R . |
Relative |
Convergence of the Solution of a Doubly Infinite Set |
|||||||||
13. |
of Equations, «J. Research», Series D., |
1963, v. 67D, p. 245—254. |
||||||||||
M a s t e r m a n |
Р . Н . , C l a r r i c o a i s P . J . В I I |
a n n a j o r d C. |
D . Computer Methods |
|||||||||
14. |
of Solving IVaveguide-Iris Problems, «Electron. Lett.», 1969, v. 5, p. 23—25. |
|||||||||||
M e i К . |
K . , |
V a n B l a d e l |
J . G. Scattering by Perfectly Conducting Rectangular |
|||||||||
15. |
Cylinders. «IEEE Trans. Anten. and Propag.», 1963, v. AP-11, p. 185—192. |
|||||||||||
G a l i n d o |
V . , |
W u С . |
P . |
Numerical Solutions for an Infinite Phased Array of |
||||||||
|
Rectangular Waveguides with Thick Walls, «IEEE Trans. Antennas and |
|||||||||||
16. |
Propagation», 1966, v. AP-14, p. 149—158. |
|
|
|
||||||||
H i l d e b r a n d |
F . B . Methods of Applied Mathematics, Prentice-Hall, Engle |
|||||||||||
17. |
wood Cliffs, N. J., p. 444—460, 1952. |
|
|
|
|
|||||||
N e u r e u t h e r |
A . R . , Z a k i |
K . Numerical Solutions of Electromagnetic Boun |
||||||||||
|
dary Value Problems by Means of the Asymptotic Anticipation Method, |
|||||||||||
18. |
«Radio Science», 1968, v. 3 (New Series), p. 1158—1167. |
|
||||||||||
A b d e l m e s s h i n S . , S i n c l a i r G. Treatment of Singularities in Scattering from |
||||||||||||
|
Perfectly Conducting Polygonal Cylinders — a Numerical Technique, «Can |
|||||||||||
19. |
J. Phys.», 1967, v. 45, p. 1305—1318. |
|
|
|
|
|||||||
G a l i n d o |
F., W u С . |
P . |
Dielectric Loaded and Covered Rectangular Wave |
|||||||||
20. |
guide Phased Arrays, «Bell System Tech. J.», 1968, v. 47, p. 93—116. |
|||||||||||
A m i t a y |
N . , |
G a l i n d o |
V . The Analysis of Circular Waveguide Phased Arrays. |
|||||||||
21. |
«Bell System Tech. |
J.», 1968, v. 47, p. 1903—1932. |
|
|
||||||||
A m i t a y |
N . , |
G a l i n d o |
V. |
On Energy Conservation and the Method of Moments |
||||||||
|
in Scattering Problems, |
«IEEE |
Trans. Antennas and Propagation», 1969, |
|||||||||
22. |
v. AP-17, p. 747—751. |
|
|
|
|
Mutual |
Coupling and |
|||||
A m i t a y |
N . , |
C o o k J . |
S . , |
P e c i n a |
R . G . , |
W u |
С . P . |
|||||
|
Matching Conditions in Large Plannar Phased Arrays, 1964 PTGAP Inter |
|||||||||||
23. |
national Symposium |
|
Program and Digest, p. 150—156. |
|
||||||||
B e r z F . |
Reflection and Refraction of Microwaves at a Set of Parallel Metallic |
|||||||||||
24. |
Plates, «Proc. IEE (London)», 1951, v. 98, Part III, p. 47—55. |
|||||||||||
W u С . |
P G a l i n d o |
V. |
Properties of a Phased Array of Rectangular Wave |
|||||||||
|
guides with Thin Walls, «IEEE |
Trans. Antennas and Propagation», 1966, |
||||||||||
25. |
v. AP-14, p. 163—172. |
E . The Reflection of an Electromagnetic Wave by |
||||||||||
C a r l s o n |
J . F . , H e i n s |
A . |
||||||||||
26. |
an Infinite Set of Plates, «Quarterly Appl. Meth.», 1947, v. 4, p. 313—329. |
|||||||||||
N o b l e B . Wiener-Hopf Technique, Pergamon |
Press, |
N.Y., |
1958, имеется |
|||||||||
27. |
русский перевод: П о б э л |
В . Метод Впнера-Хопфа, ИЛ, М., 1962. |
||||||||||
C o l l i n R . Е . Field Theory of Guided Waves, McGraw-Hill, New York, 1960. |
||||||||||||
28. |
M a r c u v i t z |
N . ( ed . ) . |
|
Microwave Handbook, MIT Radiation Laboratory |
||||||||
29. |
Series, v. 10, McGraw-Hill, New York, p. 59. |
|
|
|||||||||
F o r s y t h |
G . , |
M o l e r |
C. |
Computer Solutions of Linear Algebraic Systems, |
||||||||
30. |
Prentice-Iiall, Englewood Cliffs, N.J., |
1967. |
|
|
|
|||||||
V a n B l a r i c u m G. F . , |
J r . , |
M i t t r a |
R . A Modified Residue Calculus Technique |
|||||||||
|
for Solving a Class of Boundary Value Problems, Part II: Waveguide Pha |
|||||||||||
|
sed Arrays, Modulated Surfaces, and Diffraction Gratings, «IEEE Trans. |
|||||||||||
|
Microwave |
Theory and Techniques», 1969, v. MTT-17, p. 310—318. |
||||||||||
4. Каноническая прямоугольная решетка из тонкостенных
прямоугольных волноводов
1. ВВЕДЕНИЕ
Интегральные уравнения в задачах о фазированных антенных решетках оказываются в общем случае очень сложными и, как правило, их нельзя решить чисто аналитическими методами. Одна ко задача о решетке из прямоугольных волноводов, размещенных в узлах прямоугольной сетки, представляет исключение из этой закономерности. Если предположить, что стенки волноводов в та кой решетке бесконечно тонкие, и ограничиться рассмотрением случаев сканирования только в Е- или только в //-плоскости, то сложное двумерное векторное интегральное уравнение упрощается и становится скалярным и одномерным. Используя метод моментов, можно свести данное интегральное уравнение к бесконечной систе ме линейных алгебраических уравнений. При этом оказывается возможным выбрать базисные и весовые функции таким образом, что алгебраические уравнения можно решить точными аналитиче скими методами. Одним из преимуществ аналитических методов решения является то, что с их помощью можно получать численные результаты с желаемой степенью точности и эти результаты оказы ваются полезными для оценки данных, полученных в результате решения задачи численными методами. Таким образом, осуще ствляется проверка корректности постановки задачи и оценка точности численных методов решения. Еще важнее то, что анализ точных решений часто приводит к получению качественной Инфор мации, которую значительно труднее извлечь из решений, найден ных численными методами. Многие важные свойства антенных решеток могут быть рассмотрены и проанализированы при реше нии задачи точными аналитическими методами.
Прямоугольные решетки из волноводов представляют интерес и с других точек зрения. Такие решетки благодаря простоте удоб ны для проведения экспериментов и для проверки новых гипотез. Соответствующим образом спроектированная прямоугольная решетка из волноводов может применяться также в качестве реаль ной антенны.
Из принципа линейной суперпозиции следует, что коэффициен ты взаимной связи элементов и коэффициент отражения антенной решетки связаны между собой конечным преобразованием Фурье. Это соотношение можно использовать для расчетов коэффициентов взаимной связи, исходя из коэффициента отражения, и наоборот.
9-0168
130 Глава 4
Из результатов расчета следует, что взаимная связь с увеличением расстояния менаду элементами монотонно уменьшается; для боль ших расстояний скорость спада коэффициентов взаимной связи обратно пропорциональна расстоянию между элементами, взятому в степени 3/2. •
Такое асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи обнаруживается и при решении задачи аналитическими мето дами. Анализ получаемых результатов позволяет дополнительно установить, что отмеченная выше зависимость коэффициентов связи от расстояния менаду элементами является следствием син гулярности производной коэффициента отражения при угле ска нирования, соответствующем возникновению дифракционного лепестка. Такая зависимость, по опубликованным данным, в на стоящее время является общим свойством бесконечных антенных решеток и может служить критерием для проверки результатов решений, полученных численными методами. Практически этот критерий применяется к большинству решений, приведенных в данной книге. Включая в понятие взаимной связи взаимодей ствие по высшим типам волн, можно показать, что диаграмма направленности элемента (т. е. диаграмма направленности беско нечной антенной решетки, в которой возбужден один-едииственный излучатель, а все остальные излучатели нагружены на согласован ные сопротивления) пропорциональна коэффициенту передачи (как функции угла сканирования) антенной решетки при возбуж дении всех ее элементов.
Наконец, на примере бесконечной прямоугольной решетки из волноводов удается исследовать влияние анизотропной плазмы. Несмотря на анпзотропность параметров среды, можно найти точное решение задачи методом Винера — Хопфа. Детали этого решения будут рассмотрены ниже. Анизотропность среды приво дит к асимметричным зависимостям коэффициентов отражения и взаимной связи при сканировании. Однако отмеченное асимпто тическое поведение коэффициентов взаимной связи сохраняется таким же, как и в случае изотропной среды. Из этих данных (а так же из результатов, полученных другими методами) следует, что асимптотическое поведение коэффициентов взаимной связи может быть общим свойством всех ФАР. Обобщение этих результатов на некоторые плоские антенные решетки рассмотрено в гл. 7.
2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ РЕШЕТКИ ИЗ ВОЛНОВОДОВ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ РЕШЕТКИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПЛАСТИН [ 1, 2]
Прямоугольные антенные решетки из волноводов могут обра зоваться путем расположения прямоугольных волноводов вплот ную друг к другу по направлениям двух координатных осей.