книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток

Вкачестве примера рассмотрим использование этого подхода

крешению задачи о решетке, изображенной на рис. 3.4. Предполо­ жим, что волноводы возбуждаются ТЕМ волнами и решетка скани­ рует в плоскости Е. Задача ставится так, что неизвестной функци­

ей является поле Е х, которое имеет особенности вида (х + а!2)-1/3

12

Рпс. 3.4. Решетка пз волноводов с острыми кромками.

при + а /2. Для выделения сингулярной части запишем поле в апер­ туре в виде

где А ± к А 2— неизвестные коэффициенты, а %х (х) — гладкая функция, которую можно аппроксимировать конечной суммой волноводных мод Фп (х). Таким образом,

Это выражение подставляем в интегральное уравнение и вы­ числяем моменты для получения системы линейных алгебраичес­ ких уравнений. При этом интегрирование первых двух слагаемых в выражении (52а) вместе с ядром интегрального уравнения чаще всего проводится численно. Поскольку третье слагаемое является разложением гладкой функции, может потребоваться немного чле­ нов этого разложения. В результате можно получить хорошие результаты при значительно меньшем числе учитываемых гармо­ ник, чем при решении без выделения сингулярной части. Однако вычисление элементов матрицы может вызвать больше трудно­ стей, так как при использовании выражения (52а) необходимо выполнять численное интегрирование. Это обстоятельство необ­ ходимо взвесить по отношению к сокращению размера матрицы для сравнения двух изложенных нами возможностей.

112 Глава 3

5. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ РЕШЕНИЯ

Численное решение фпзпческпх задач часто связано с рядом математических приближений. Перевод математических формул в вычислительные алгоритмы иногда оказывается весьма слож­ ным. Кроме того, вычислительные машины являются пассивными устройствами, следующими лишь указаниям программиста. Все это приводит к необходимости иметь методы коптроля вычислений, чтобы иметь уверенность в корректности и точности пайдепных решений. Для этой цели рекомендуется применять следующие методы [S, 19]: принцип взаимности [6], закон сохранения энергии [21], проверку сходимости, использование различных базисов [19], сравнение с результатами других методов [14], выполнение гра­

Ниже мы обсудим достоинства и недостатки каждого метода контроля. Следует отметить, что очень часто вычислительные про­ граммы составляются для широкого диапазона исходных пара­ метров. В этом одно из главных преимуществ использования вычис­ лительных машпн. Методы же контроля применимы лишь в огра­ ниченной области исходных параметров, поэтому никакой метод контроля не может дать полной уверенности в правильности реше­ ния и следует использовать несколько методов проверки, чтобы удостовериться в истинности результатов.

5.1. Принцип взаимности

Как было показано, решение системы линейных уравнений, полученной из интегрального уравнения, точно удовлетворяет принципу взаимности независимо оттого, пасколько приближен­ ным является это решение. Следовательно, взаимность является необходимым, но не достаточным условпем, которому должно удов­ летворять найденное решение. Тем не менее соотношение взаимно­ сти оказывается полезным средством контроля на ранних стадиях вычислений как грубый критерий адекватности алгоритма и до­ пустимости ошибок округления. Такой контроль выполняется сравнительно легко и поэтому является желательным.

5.2. Закон сохранения энергии

По закону сохранения энергия, падающая на пассивное рассеи­ вающее устройство, должна равняться полной энергии, переноси­ мой отраженными волнами. В ФАР мощность возбуждающего типа волны превращается в мощность различных распростра­ няющихся волн, существующих внутри и вне элементов решетки. На первый взгляд может показаться, что численное решение,

к большим ошибкам округления.

Для проверки рекомендуется брать диапазон параметров зада­ чи как можно шире. Число гармоник базиса должно увеличиваться до тех пор, пока рост этого числа будет вызывать малые изменения интересующих величин. Степень допустимых изменений опреде­ ляется желаемой точностью (это могут быть доли процента или несколько процентов). На практике часто требуется включить в рассмотрение большое число параметров задачи. Тогда время вычислений становится важным фактором. Для инженерных задач достаточна точность в несколько процентов. Поэтому целесообраз­ но выбирать порядок матрицы исходя из инженерной точности. Однако для уверенности в том, что эта точность достигается рав­ номерно в диапазоне параметров задачи, следует провести выбо­ рочный контроль вычислений. Если это возможно, то надо уде­ лить особое внимание тем значениям параметров, при которых наблюдаются резкие изменения расчетных результатов.

5.4. Использование различных базисов

Как говорилось выше, скорость сходимости решения зависит от выбранной системы базисных функций. Если эта система вклю­ чает как можно больше независимых свойств решения, можно надеяться, что для получения хорошего результата потребуется небольшое число функций. С точки зрения выяснения правильно­ сти решения надо взять два существенно разных базиса и, если ре­ зультаты будут близки, можно считать, что оба приближения удов­ летворительны. Чем сильнее различаются базисы, тем больше вероятность правильности решения при совпадении результатов. Единственным недостатком этого способа контроля является необходимость дважды решить задачу при выборе алгоритма и со­ ставлении программы, что увеличивает время, затрачиваемое на решение задачи.

5.5. Сравнение с результатами других методов

В ряде случаев рассматриваемая задача для определенного набора параметров может быть эквивалентна задаче, для которой известны точные решения [15, 24, 25]. В качестве примера рассмот­ рим решетку из параллельных пластин, сканирующую в плоско­ сти Е. Если угол сканирования равен нулю, задачу методом зер­ кальных изображений можно, очевидно, свести к задаче о стыке двух волноводов из параллельных пластин, которая решается раз­ ными методами [28]. Следовательно, имеется много результатов для сравнения. Аналогично при сканировании той же решетки в плоскости Н при значении управляющей фазыф = л задача сво­

ченпям коэффициентов взаимной связи на основе линейной супер­ позиции можно рассчитать на ЭВМ зависимость коэффициентов отражения от угла сканирования. При таком моделировании диапазон углов сканирования не ограничен. В результате получа­ ем смешанный расчетно-экспериментальный способ проверки реше­ ния, который обходится гораздо дешевле чем экспериментальное исследование большой ФАР.

5.8. Другие способы контроля

При некоторых условиях одну и ту же ФАР можно рассматри­ вать как решетку с прямоугольной сеткой расположения эле­ ментов п как решетку с треугольной сеткой расположения элемен­ тов. Примеры таких ситуаций приведены в гл. 5 и 7. В этих усло­ виях решения для двух математических моделей одной решетки должны давать одинаковые результаты. Это факт можно использо­ вать для контроля вычислительных алгоритмов.

Для целей контроля можно использовать симметрию геомет­ рии решетки. Допустим, в определенных плоскостях сканирования, например в Е- пЛ-плоскостях, геометрия решетки такова, что опре­ деленный тип волны не возбуждается. Подтверждение этого факта при численном решении может служить некоторым указанием на правильность алгоритма и программы.

6. КАНОНИЧЕСКОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

До сих пор мы рассматривали приближенные решения инте­ гральных уравнений, основанные на методе моментов. Это связано с тем, что задачи анализа ФАР слишком сложны, чтобы можно было применять чисто аналитические методы. Однако существует такая модель решетки, для которой при определенной идеализации возможно точное решение либо функционально-теоретическим методом [23, 24], либо методом Винера — Хопфа [25, 26]. Ниже мы кратко опишем оба метода.

Этот особый вид решетки представляет собой решетку из тон­ ких параллельных идеально проводящих пластин (рис. 3.4). Интегральные уравнения для такой решетки выводятся способом, описанным в гл. 2 и 4. Переход от интегральных уравнений к сис­ теме линейных алгебраических уравнений осуществляется обыч­ ным путем, за исключением выбора базиса. Обычно, если рассмат­ ривается уравнение для электрического поля, использование типов волн в волноводе в качестве базисных и весовых функций оказы­ вается весьма эффективным. В уравнении для магнитного поля целесообразно использовать в качестве базисных и весовых функ­ ций пространственные периодические гармоники внешней обла­

сти (гармоники Флоке). При выборе одного вида функций в каче­ стве базисных, а другого — в качестве весовых элементы матрицы получаются более сложными, чем при использовании только одно­ го вида функций. Однако, если стенки волноводов бесконечно тон­ кие, выбор смешанного базиса может привести к значительному упрощению элементов матрицы, так как апертура волновода теперь занимает почти всю площадь единичной ячейки. Более того, функ­ циональная форма элементов матрицы такова, что можно получить точное аналитическое решение бесконечной системы линейных уравнений.

Для иллюстрации возьмем решетку, возбуждаемую низшим типом волн ТМ (можно также взять волну ТЕМ) и сканирующую в плоскости Е (случай возбуждения волной ТЕ анализируется аналогично). Интегральное уравнение для электрического поля имеет вид

d/2 °о

j{ 2 i # W ) (W ) +

-c l/2 5=0

oo

Неизвестное электрическое поле можно представить в виде следую­ щего разложения:

Подставляя выражение (54) в уравнение (53) и вычисляя моменты с функциями {XF| (у), q = 0, + 1, ± 2, . . .}, после ряда алгебраи­ ческих преобразований получим (см. гл. 4).

00

прост и зависит только от разности (Г^ — уй). Уравнения такого типа решаются с помощью функционально-теоретического метода, известного под названием метод вычетов. В этом методе вводится интеграл от специальной аналитической функции и затем вычеты

уравнения (1) можно записать в виде

Вопрос о существовании обратного оператора выходит за рамки данной книги. Нахождение обратного оператора является трудной задачей и поэтому для ее решения приходится использовать при­ ближенные методы (например, метод моментов). Кроме приближе­ ния, связанного с усечением бесконечной матрицы в методе мо­ ментов, причиной погрешности могут быть ошибки округления при обращении матрицы на ЭВМ. Однако в настоящее время ошиб­ ки округления можно свести к минимальным. Из-за ошибок, свя­ занных с усечением бесконечной матрицы и больших затрат време­ ни на вычисление обратной матрицы, иногда желательно исполь­ зовать итерационные методы решения линейных уравнений. Пере­ пишем уравнение (1) в виде

где I — единичный оператор. Предположим, что мы нашли приб­ лиженное решение х0. Подставив это решение в правую часть урав­ нения (60), получим новое приближенное решение хг. Мы надеемся, что новое решение дает лучшее приближение к точному решению, чем предыдущее, и что, повторяя процесс, в конце концов придем к точному решению. Такой процесс называется итерационным. Сходимость процесса зависит от свойств оператора М. Достаточ­ ные условия сходимости будут рассмотрены ниже. Предположим что Мх в некотором смысле мало. Тогда этим слагаемым можно пренебречь и рассматривать у как приближение нулевого поряд­ ка, т. е.

Заметим, что нижний индекс обозначает число выполненных ите­ раций. Подставляя выражение (61) в урвнение (60), получим

Таким образом, итерационный процесс порождает решение в виде ряда. Если процесс продолжается бесконечно, получаем беско­ нечный ряд, называемый рядом Неймана. Сразу же возникает вопрос, сходится ли ряд, а если сходится, то действительно ли к точ­ ному решению? В работах [1, 2, 4] показано, что если || М || < 1, || М || — норма оператора М, то итерационный процесс сходится абсолютно. Необходимо подчеркнуть, что это условие является достаточным, но не необходимым. При выполнении этого условия ряд не только сходится к точному решению, но его сходимость