книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток

коэффициентов связи между гармониками. Напомним, что в урав­ нениях для электрического поля в элементы матрицы входили модальные проводимости. Важно отметить, что модальные сопро­ тивления внешнего пространства присутствуют только в диаго­ нальных элементах-матрицы, а модальные сопротивления внутрен­ ней области — во всех элементах.

Обращая матрицу системы (37), найдем амплитуды простран­ ственных гармоник (модальные токн) тангенциального магнитного поля. Амплитуды типов волн в волноводе можно определить из условия непрерывности [выраженпе, аналогичное формуле (28)]. В результате получпм

м

(38)

Р = 1

После вычисления амплитуд гармоник можно найтп коэффициенты отражения и передачи.

Элементы матрицы выражений (24а) и (37а) содержат бесконеч­ ные суммы, получающиеся из произведений модальных проводи­ мостей (или сопротивлений) н коэффициентов связи между гармо­ никами. Можно показать, что эти суммы являются сходящимися рядами по крайней мере для решеток из прямоугольных и круглых волноводов, для которых известны выражения для 4§]q в явном виде. Однако суммирование рядов с точностью до пяти и более значащих цифр требует учета многих членов. Как мы увидим ниже, это эквивалентно учету большего числа гармоник в одной из областей. Кроме того, для большинства ФАР размер апертуры элемента сравним с размером единичной ячейки. Это позволяет ожидать, что для описания поля в плоскости решетки требуется примерно одно и то же число гармоник независимо от того, из какой области они берутся. На этом основании суммы в элементах матрицы можно оборвать на номере, сравнимом с порядком матри­ цы. Например, в выражении (24а) суммирование можно прекра­ тить при т — М, где М ~ N. Таким же образом в выражении (37а) сумма вычисляется до / = N, где N ~ М. Очевидно, при этом в решение вводится новый источник приближения. Однако это приближение незначительно ухудшает точность решения.

Если раскрыв волновода и единичная ячейка имеют существен­ но различные площади, число используемых гармоник в каждой из областей сильно зависит от геометрических факторов. Интерес­ но отметить, что при использовании конечного числа гармоник, например N типов волн в волноводе и М пространственных гармо­ ник во внешней области, решения, полученные из уравнения для электрического поля и полученные из уравнения для магнитного поля, совпадают. В частном случае решения системы (24) с матрич-

где ’Sjp — коэффициенты связи между гармониками, определяемые по формуле (246). Точно так же, умножая второе уравнение (39) на Фп (г) и интегрируя в пределах А, получим

м

ресным свойством матрицы является ее разделение на четыре под­ матрицы, из которых две оказываются диагональными. Это свойство наводит на мысль, что выражения (40а) и (406) можно записать в следующей форме:

V' = [i?]v' + b,

d - [ y ] v ' = [S][Y]r.

Подставляя V' из выражения (42а) в выражение (426), исключим У', чтобы получить уравнение только для и'. После небольших преобразований находим

Ранг матрицы ([г/] + [£] [У] Ш]) равен N. Число неизвестных компонент вектора У' также равно N. Запишем q-e уравнение в форме

N N М

Полагая v'j> = 1 + Rj'i уравнение (44a) можно записать в виде

Это уравнение идентично уравнению (24), выведенному для электрического поля с помощью метода моментов при использова­ нии в качестве базиса волноводных мод. После того как найдены о', из выражения (42а) можно определить V'. Преобразуя выражение (42а), можно показать, что оно совпадает с выражением (29).

Исключая г/ из выражений (42а) и (426), можно записать урав­ нение только для V':

Выражение (45а) является системой из М уравнений для М неиз­ вестных Г . Уравнение с номером q имеет вид

МN

Сравнивая уравнения (456) и (37), можно заметить, что эти два уравнения отличаются только множителем zp в правой части. Это вызвано тем, что при выводе уравнения (37) падающая волна имела единичный модальный ток для волны Фр, а при выводе уравнения (456) падающая волна имела единичное модальное напряжение для той же волны. Отношение амплитуд падающих волн равно модальному импедансу zp. Так как система линейна, это отношение оказывается просто множителем пропорциональ­ ности между двумя решениями.

в разложении поля одно п то же. Вопрос о том, сколько гармоник надо брать в каждой области пространства для получения точного решения, до сих пор не решен.

Преимущества метода интегральных уравнений состоят в том, что этот метод дает ясное представление о характере вводимых приближений н за счет выбора различных базисных и весовых функций позволяет получать матричные уравнения в требуемой форме. Это особенно важно, так как в зависимости от конкретной ситуации приходится пользоваться разными системами функций.

4.3.Разделение гармоник

Вряде случаев на практике удобно в качестве излучателей ФАР использовать открытые концы волноводов. Эти волноводы можно размещать так, что единичная ячейка будет содержать два или более волновода (рис. 31). Одно из возможных применений такой системы заключается в использовании малых волноводов

Единичная

Рис. 3.1. Решетка с дроссельными элементами.

как дроссельных элементов для реактивной нагрузки в апертуре решетки (другое важное применение рассмотрено в гл. 7).

При составлении интегральных уравнений для ФАР с такими элементами в качестве неизвестной функции можно брать либо тангенциальную составляющую магнитного поля на всей единич­ ной ячейке, либо тангенциальную составляющую электрического поля на сумме апертур в единичной ячейке. При использовании метода моментов для решения интегральных уравпеиий возникает вопрос, сколько типов волн в каждом нз волноводов ячейки следу­ ет учитывать. По этому вопросу опубликовано относительно мало

работ. Важность вопроса о разделении гармоник можно проиллю­ стрировать на примере задачи о разветвлении в волноводе (рис. 3.2).

Если разветвление в волноводе осуществляется бесконечно тон­ кой металлической перегородкой, задача имеет точное аналитиче­ ское решение, в котором учитывается действие всех высших типов

у

Рис. 3.2. Вид спереди (а) и сверху (б) волноводного разветвле­ ния.

воли, возбуждаемых неоднородностью. Если сначала берется конеч­ ное число типов волн в каждой области для построения прибли­ женного решения, а затем число типов волн устремляется к бес­ конечности, то решение полностью зависит от способа предельного перехода [12]. В частности, показано, что если количества типов волн в областях II и III относятся как Ь/с, то решение будет схо­ диться к точному. Проблема разделения числа гармоник возникает также в задачах о решетках из волноводов с диафрагмами [13].

4.4. Кусочно-гладкий базис

При использовании модальных функций в качестве базиса в ме­ тоде моментов предполагалось, что каждая такая функция опре­ делена иа всей апертуре волновода пли на всей единичной ячейке. Теперь рассмотрим базис, состоящий из функций другого вида.

Перепишем интегральное уравнение для электрического поля (22)в виде

оо

2Уу Фу (Г) = J { 2 У1ф1(г) ф ; (г') + A

СО

+ 2 Y mW,n (г) 'Em (г') } •Е, (г') d r ' , г е и . (22)

7 ) 1 = 1

Предположим, что поперечное сечение волновода разбито на под­ области, пли участки [14,15]. Такое разбиение можно провести мно­ гими способами. Довольно простой способ разбиения с помощью линий, параллельных осям декартовых координат, показан на

где

ААщ

Из-за векторного характера неизвестных величин (у каждого е„ имеются две компоненты) система уравнений (49) содержит 2N уравнений и 2N неизвестных и может быть решена обычным спо­ собом, например обращением матрицы.

Другой путь сведения функционального уравнения (48) к системе линейных уравнений заключается в том, чтобы равен­ ство выполнялось в N точках, каждая из которых лежит внутри одного участка. Таким образом, считая, что rm £ ДЛпг, потребуем, чтобы выполнялись равенства

N СО оо

Этот шаг эквивалентен выбору системы дельта-функцпй б (г — гП1)

вкачестве весовых функций. Процедура приравниванпя обеих частей уравнения (48) в выбранном числе точек называется методом согласования в точках (методом коллокации). Нетрудно показать, что, поступая таким образом, мы выполняем граничные условия

вконечном числе точек апертуры. При вычислении элементов матрицы по методу коллокацип число операций интегрирования уменьшается на единицу по сравнению с вычислением, использую­ щим функции (46) в качестве весовых. В задачах об излучении решетки во внешней области это различие может быть существен­ ным, так как ядра интегральных уравнений для таких задач обычно не интегрируются в замкнутой форме. Это заставляет обращаться

кчисленным методам при нахождении элементов матрицы.

Прп вычислении элементов матрицы модальные функции {ФД и {lFm} интегрируются в пределах участка. В случае прямоуголь­ ного волновода это осуществляется довольно просто, так как используются только тригонометрические функции. Однако в дру­ гих случаях, например для круглого волновода, когда исполь­ зуются цилиндрические функции, численное интегрирование представляет значительные трудности. Другим важным 'аспектом численных методов является сходимость рядов для каждого эле­ мента матрицы. Модальные проводимости и сопротивления увели­ чиваются с ростом индекса для одного типа воли и убывают для другого типа волн. Если в задаче фигурирует только один тип волны, можно выбрать уравнение для электрического или магнит­ ного поля, чтобы добиться сходимости рядов. Если же присутству­

ют оба типа волн, использование любого из двух уравнений не ре­ шает проблемы сходимости. Частные случаи рассмотрены в гл. 5.

Приближение, полученное в уравнении (48) за счет базисных функций (46), эквивалентно замене интеграла его рпмаповой сум­ мой. Существуют и другие способы вычисления интегралов, среди которых наиболее известны метод трапеций, метод Симпсона и квад­ ратуры Гаусса. Преимущества каждого метода рассмотрены в ра­ боте [16]. В общем случае эти методы численного интегрирования можно интерпретировать как использование определенных весовых коэффициентов па различных участках. Пусть {Dn: п = 1, 2, . . .} — коэффициенты, определяемые тем или иным методом интегриро­ вания. Тогда вместо уравнения (48) можно записать

N со

Сведение уравнения (61) к системе линейных алгебраических урав­ нений осуществляется описанным выше способом.

4.5. Использование предварительных сведений о решении

Как уже указывалось, при выборе базиса в методе моментов желательно максимально учесть заранее известные сведения о ре­ шении. Такой предварительной информацией для тангенциальных полей в апертуре может быть их изменение вблизи кромки волно­ вода или их асимптотическое поведение относительно некоторого параметра.

Граничное условие Е ( = О автоматически удовлетворяется в апертуре, если в качестве базиса используется система типов волн в волноводе. Если имеются острые кромки, нормальные (к кромке) составляющие электрического и магнитного поля имеют особенности вблизи кромки (являются сингулярными функциями). Ряд Фурье для сингулярной функции обычно плохо сходится. Другими словами, конечное число членов ряда дает очень неточное представление сингулярной функции. Для улучшения сходимости можно записать неизвестное поле в виде суммы регулярной и син­ гулярной частей [17—18]. Сингулярная часть представляет собой функциональную зависимость, описывающую сингулярное пове­ дение вблизи кромок, с одним пли песколькпмп неизвестными коэффициентами. Регулярная часть является гладкой функцией, для которой требуется небольшое число членов ряда Фурье. При заданной погрешности таким путем можно значительно уменьшить необходимое число членов в представлении решения.