книги из ГПНТБ / Амитей Н. Теория и анализ фазированных антенных решеток

в матричной форме. Пусть квадратная матрица [Ктп] и векторстолбцы а и у определены выражениями

Таким образом, интегральное уравнение свелось к системе линейных алгебраических уравнений. Эффективность решения этой системы зависит от многих факторов. Так как система содержит бесконечное число уравнений и неизвестных, то найти ее точное решение не удается, за исключением одного-двух частных случаев. Поэтому приходится ограничиться приближенным решением. Для представления неизвестной функции' берется конечное число N аппроксимирующих функций, т. е. вместо выражения (2) мы полагаем

N

Неизвестные коэффициенты а'п в общем случае отличаются от коэффициентов ап точного решения и являются функциями числа N. Подстановка выражения (6) в уравнение (1) дает

Теперь левая и правая части выражения (7) не равны между собой и их разность представляет ошибку решения. Для минимизации этой ошибки в пространстве, перекрываемом системой функций gm (т — 1, 2, . . ., N), потребуем, чтобы обе части выражения (7) имели одинаковые проекции иа систему {gm}. Другими словами, разность между левой и правой частями выражения (7) должна быть ортогональна к каждому элементу системы {gm}. В результате

получим систему из N уравнений с N неизвестными, которую сно­ ва запишем в матричной форме

Систему функций {/„} можно записать как вектор-строку:

=h, - . ; М ,

где индекс Т обозначает транспонирование. Приближенное решение примет компактную форму:

Заметим, что систему уравнений, полученную с помощью конеч­ ного разложения (7), можно найти путем соответствующего обрыва бесконечной системы уравнений (5). Можно ожидать, что с увели­ чением N точность приближения будет расти. В частности, если ifn) и 0?п} образуют полные системы функций, приближенное решение стремится к точному решению при N —>■оо. Однако с ростом N увеличиваются трудности, связанные с обращением матрицы. Выбор величины N при заданной точности решения зави­ сит от конкретной задачи.

Процесс сведения операторного уравнения к системе линейных алгебраических уравнений обычно известен как метод моментов [2, 3]. Если {/„} ={§■„}, этот процесс называют методом Галеркина или Ритца — Галеркина. Система функций {/п}, по которой раз­ лагается неизвестная функция х, называется системой базисных функций (базисом), а система {#„} — системой испытательных или весовых функций. Хотя базисные и весовые функции могут быть совершенно произвольными, их выбор играет первостепенную роль с точки зрения точности и легкости решения. На практике

успешное решение задачи может зависеть от легкости вычисления элементов матрицы, а также от обусловленности матрицы [29], влияющей на точность обращения матрицы. Хорошо обусловлен­ ную матрицу легко обратить точно, в то время как для обращения плохо обусловленной матрицы требуются специальные приемы, чтобы получить удовлетворительный результат. В общем случае при выборе базиса следует учитывать как можно больше предва­ рительных сведений о решении задачи.

В настоящее время обращение матриц выполняется на элект­ ронных вычислительных машинах по стандартным программам. Математические вопросы обращения матриц рассмотрены в книгах по линейной алгебре.

3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И МЕТОД МОМЕНТОВ

Во многих физических задачах важнее определить некоторые величины, зависящие от скалярного произведения заданной функции у' и решения х уравнения (1), чем само решение х. Запи­ шем скалярное произведение х) в виде

В частности, заданная функция может быть связана с падаю­ щей волной у и интересующая нас величина запишется в виде

выражения для величин А и В. Условие симметрии можно напи­

т. е. в уравнении (1) у заменяется на у '. Тогда симметрия операто­

Это соотношение является математической формулировкой теоре­

*) Введенное нами скалярное произведение не означает комплексную сопряженность одной из функций, как это обычно делается в математике и физике. Данное здесь определение более удобно для задач рассеяния элек­ тромагнитных волн. Для обозначения сопряженных функций мы будем поль­ зоваться звездочкой.

Преимущество записи выражения (11) в форме выражения (15) состоит в том, что выражение (15) является вариационным выра­ жением для А. Это значит, что выражение (15) оказывается ста­ ционарным по отношению к малым независимым изменениям функций х н .г' в окрестности их точных значений, являющихся решениями уравнений (1) п (13) соответственно. Другими словами, чтобы вычислить А, необходимо найти решение х из уравнения (1) плн решение х нз уравнения (13). В общем случае эти решения получить довольно трудно. Предположим, что каким-то способом мы нашли приближенные решения этих уравнений. Если эти решения отличаются от точных решений на малые величины поряд­ ка е, то вычисление А по формуле (15) дает ошибку порядка е2.

•Поэтому чем точнее аппроксимируются решения, тем ближе бу­ дет А к своему точному значению. Функции, используемые для оценки величины А, часто называют пробными. Заметим, что не­ удачный выбор пробных функций может привести к ухудшению первоначальной оценки для А. Па практике стационарные свой­ ства выражения (15) используются для нахождения приближенных решений уравнений (1) и (13). Этот путь решения называется процедурой Релея — Рптца. После того как приближенные реше­ ния найдены, их подставляют в формулу (15) для оценки величи­ ны А.

Оказывается, что процесс получения приблпженного решения на основе стационарных свойств выражения (15) эквивалентен методу моментов, т. е. применение процедуры Релея — Рптца

квариационному выражению (15) и применение метода моментов

куравнениям (1) и (13) приводят к одной и той же системе линей­ ных алгебраических уравнений. Поэтому подстановка прибли­ женного решения, найденного методом моментов, в формулу (15) не увеличивает точность при вычислении величины А. Ниже пока­ зано, что приближенные решения, полученные методом моментов, автоматпческп удовлетворяют принципу взаимности [2, 6].

Вариационное выражение (15) было впервые рассмотрено Леви­ ном и Швингером [7] и поэтому иногда называется принципом Левина — Швингера. В частном случае, когда представляющий интерес параметр определяется по формуле (12), уравнение (13) становится идентичным уравнению (1). Вариационное выражение тогда принимает вид

Возможны и другие формы вариационных выражений. Согласно Ритцу, их можно записать в виде

Чтобы убедиться в том, что применение вариационного прин­ ципа и применение метода моментов ведет к одному п тому же результату, рассмотрим более простое выражение (18). Это выра­ жение показывает, что В является функционалом от х, т. е. ком­ плексное число В зависит от того, какая функция х подставляется в выражение. Пусть

N

Подставляя это выражение в уравнение (18), преобразуем функ­ ционал в функцию неизвестных переменных:

_ _ _ _ _ _ ___ JV ___ N ____ IV ___

Так как выражение (20) является стационарным, его вариация

Мы использовали метод Релея — Ритца для определения неиз­ вестных а ;. Уравнения (21) образуют систему 7V уравнений отно­ сительно 7V неизвестных. Из сравнения выражения (8) для случая {gm} ={fn) с выражением (21) видно, что получены идентичные результаты. Следовательно, метод моментов и вариационный метод приводят к одним и тем же результатам.

Можно также начать с выражения (16) и вывести систему уравнений, основанную на стационарных свойствах этого выра­ жения [6]. Этот подход также приводит к идентичной системе уравнений. Кроме того, вывод можно распространить на более общий случай, описываемый выражением (15). Таким образом, приближенные решения, найденные методом моментов, действи­ тельно удовлетворяют теореме взаимности независимо от того,, насколько эти решения близки к точным.