8.1.3. Реляционное исчисление доменов

В реляционном исчислении с переменными на доменах используются те же операторы, что и в реляционном исчислении с переменными-кортежами.

Атомы формул могут быть двух типов [11, 17].

1. R(x₁x₂...x_k), где R – k-арное отношение; х_i - константа или переменная на некотором домене.

Атом R(x₁x₂...x_k) указывает, что значения тех x_i, которые являются переменными, должны быть выбраны так, чтобы (x₁x₂...x_k) было кортежем отношения R.

2. xθy, где х и у – константы или переменные на некотором домене, θ – оператор сравнения.

Атом хθу указывает, что х и у представляют собой значения, при которых истинно xθy.

Формулы в реляционном исчислении с переменными на доменах также используют логические связки , ,  и кванторы (x), (х), где х – переменная на домене. Аналогично используются понятия свободных и связанных переменных.

Реляционное исчисление с переменными на доменах имеет вид

где φ – формула, обладающая тем свойством, что только ее свободные переменные на доменах являются различными переменными x₁, x₂, ..., x_k. Например, выражение

имеет место для бинарных отношений R₁ и R₂ и означает множество кортежей в R₁, таких, что ни один из их компонентов не является первым компонентом какого-либо кортежа отношения R₂.

С целью учета ограничения – конечности реальных отношений – аналогично вводятся безопасные выражения.

Реляционное исчисление с переменными на доменах называется безопасным, если выполняются следующие условия:

1. из истинности φ(х₁, х₂, ..., x_k) следует, что x_i принадлежит D(φ);

2. если (u)(φ₁(u)) является подформулой φ, то из истинности φ₁(u), следует, что и принадлежит D(φ);

3. если (u)(φ₁(u)) является подформулой φ, то из истинности φ₁(u), следует, что и не принадлежит D(φ).

Выражение исчисления с переменными на доменах, эквивалентное заданному выражению исчисления с переменными-кортежами {t |φ(t)}, строится следующим образом:

1. если t является кортежем арности k, то вводится k новых переменных на доменах t₁, t₂, ..., t_k;

2. атомы R(t) заменяются атомами R(t₁, t₂, ..., t_k);

3. каждое свободное вхождение t[i] заменяется на t_i;

4. для каждого квантора (u) или (u) вводится т новых переменных на доменах u₁, и₂, ..., и_т, где т – арность кортежа и. В области действия этой кванти-фикации выполняются замены:

5) выполняется построение выражения

где φ’ – это φ, в которой выполнены соответствующие замены.

Например, {t R₁(t)R₂(t)} перепишется так:

В реляционном исчислении с переменными на доменах существуют следующие две теоремы.

Теорема 4.2. Для каждого безопасного выражения реляционного исчисления с переменными-кортежами существует эквивалентное безопасное выражение реляционного исчисления с переменными на доменах [17].

Теорема 4.3. Для каждого безопасного выражения реляционного исчисления с переменными на доменах существует эквивалентное ему выражение реляционной алгебры [17].

Примером реального языка запросов, реализующего реляционное исчисление с переменными на доменах, является QBE. Это графический язык, предоставляющий пользователю графическое отображение структуры отношения. Пользователь создает некий образец желаемого результата, а система возвращает затребованные данные в указанном формате.