8.1. Теоретические языки запросов

Для получения информации из отношений необходим язык манипулирования данными, способный выполнять соответствующие операции над отношениями. Наиболее важной частью ЯМД является его раздел для формулировки запросов. Поскольку запросы в общем случае представляют собой произвольные функции над отношениями, необходимо решить вопрос о требуемой выразительности языка запросов. Для исследования этого вопроса были разработаны три типа теоретических языков [2, 17]:

1) реляционная алгебра;

2) реляционное исчисление с переменными-кортежами;

3) реляционное исчисление с переменными-доменами.

Языки запросов первого типа – алгебраические языки – позволяют выражать запросы средствами специализированных операторов, применяемых к отношениям.

Языки запросов второго и третьего типов – языки исчисления – позволяют выражать запросы путем спецификации предиката, которому должны удовлетворять требуемые кортежи или домены.

Теоретические языки служат эталоном для оценки существующих реальных языков запросов [17]. Они были предложены Коддом для представления минимальных возможностей любого разумного языка запросов для реляционной модели данных. По своей выразительности все три языка оказались эквивалентными между собой.

8.1.1. Реляционная алгебра

В этом разделе на ряде примеров рассматриваются операции реляционной алгебры [11]. Для представления каждой операции будем использовать терминологию как алгебры, так и исчисления. Последняя базируется на системе понятий, использованной Коддом. Пять операций являются основными:

• проекция;

• объединение;

• разность;

• декартово произведение;

• селекция.

Другие часто используемые операции пересечения, соединения и деления можно выразить через пять основных операций. Ниже представлены отношения, используемые в примерах [11].

Описание каждого отношения состоит из имени отношения, за которым в круглых скобках следует список атрибутов (это описание называется интенсивналом или схемой отношения). Под описанием приведено некоторое заполнение кортежей отношения (экстенсионал отношения). В последующих примерах буквы R и S используются для обозначения отношений, а буквы А и В – для обозначения списка атрибутов (для простоты можно считать, что список состоит из единственного атрибута).

Операция проекции представляет собой выборку из каждого кортежа отношения значений атрибутов, входящих в А, и удаление из полученного отношения повторяющихся строк. В исчислении t обозначает «кортежную» переменную, значениями которой являются кортежи исходного отношения R, a t[A] – часть кортежа R с атрибутами из А. В соответствии с определением отношения неявно предполагается удаление дубликатов кортежей результирующего отношения.

Пример

Объединение

Для того чтобы объединение было возможным, отношения-операнды (R и S) должны быть совместимы по объединению, т.е. их атрибуты должны быть определены над совместимыми доменами.

Пример

Пример

Декартово произведение

Из обозначений видно, что операция декартова произведения осуществляется между кортежами отношений-аргументов, а результатом является конкатенация (обозначаемая ||) соответствующих кортежей. При этом

Отсюда следует, что результирующее отношение может иметь очень большие размеры. (На практике используется ограниченный вариант этой операции, называемый соединением.) Пусть

Тогда

Степень результирующего отношения равна 4 (22), а мощность – 8 (24).

Селекция (Ограничение)

В приведенном определении υ обозначает константу, а В – атрибут отношения R, отличный от А. Символ 6 используется для обозначения одной из операций сравнения (<, ≤, =, ≠, ≥, >).

Примеры

P[D₁>D₂]= (пустое множество) поскольку в отношении отсутствуют кортежи, где D₁ > D₂.

Пересечение

Пересечение RS=R-(R-S), что соответствует области, отмеченной звездочкой на диаграмме Венна для операции разности.

Пример

Соединение

Алгебра	Исчисление
R[AθB]S	{(r||s)| rRsS(r[А]θs[В])}

Как видно из определения, операция соединения имеет сходство с декартовым произведением. Однако здесь добавлено условие, согласно которому вместо полного произведения всех строк в результирующее отношение включаются только строки, удовлетворяющие определенному соотношению между атрибутами соединения (А, В) соответствующих отношений. Имеется несколько вариантов операции соединения:

a) тета- и эквисоединение. При этой операции А и В являются совместимыми атрибутами соединения, а степень результирующего отношения равна сумме степеней отношений-операндов. Такое соединение называется θ-соединением (тета-соединением). В случае сравнения на равенство соединение называется экви-соединением;

б) естественное соединение. В этом случае атрибуты соединения имеют общие (одинаковые) домены, и после соединения один из атрибутов отбрасывается. Степень результирующего отношения на единицу меньше суммы степеней отношений-операндов;

в) композиция. Это соединение отличается от естественного тем, что из результирующего отношения удаляются оба атрибута соединения. Поэтому степень результирующего отношения на две единицы меньше суммы степеней отношений-операндов.

Примеры

Тета-соединение R[Q > A]S

При выполнении соединения необходимо для каждого кортежа из R взять значение атрибута Q и сравнить его со значением атрибута A из каждого кортежа S. В результате получим

Следует отметить, что кортеж < ω 50 1 b > отношения R не вошел в результирующее отношение.

Естественное соединение P[D₃ = D₄]Q

Деление

Атрибуты А и В являются совместимыми и/или общими атрибутами деления. Для упрощения объяснения можно считать R бинарным отношением, состоящим из А и дополнения А, которое обозначается и содержит атрибуты, отличные от А. Для каждого раздела из R[], т.е. для каждого уникального кортежа r[], необходимо выполнить следующее:

• выбрать допустимые строки кортежей r[] изR[], обозначив полученное множество кортежей черезT = g_R(r[]). МножествоТ называется также множеством-образом;

• в результирующее отношение входят кортежи r, для которых выполняется S[B]Hg_R(r[]).

Примеры

P[D₃÷D₄]Q= (пустое множество), так как

Следовательно, подходящие р[] отсутствуют.