6.Оценка погрешности при косвенных измерениях.

Чаще всего интересующая нас величина не получается непосредственно из измерений, а вычисляется как функция измеренных значений каких–то других величин. Рассмотрим случай, когда искомая величина Z является функцией нескольких переменных a, b, с,…, значения которых определяются непосредственно из серий измерений:

Z=

Будем считать (это справедливо в подавляющем большинстве случаев), что погрешности измерений …малы по сравнению с самими величинами. Будем считать, что все эти погрешности определяются для одного и того же значения доверительной вероятности , абсолютная погрешность величины Z в этом случае будет определяться по формуле:

(6.1)

Здесь , , - частные производные функции по переменным a, b, c соответственно. Частная производная функции многих переменных по одной переменно, скажем а, является обычной производной функции по а, причем другие переменные b, c и т.д. считаются постоянными параметрами. Все производные вычисляются при значениях , , .

Относительная погрешность величины Z=f(a, b, c,…)

будет определяться по формуле:

(6.2)

Для того, чтобы можно было найти явный вид формулы для расчета погрешности косвенных измерений, не зная правил нахождения производственной функции, в Приложении 2 приведены формулы для нахождения абсолютной и относительной погрешности наиболее типичных функций. В частности, если Z=a+b, то

, ,

Если , то

,

Приведем общую схему оценки погрешности косвенных измерений.

1. Для каждой серии измерений величины а, b, c, входящих

в определение искомой величины , проводится обработка, как описано в предыдущем параграфе. При этом для всех измеряемых величин задают одно то же значение доверительной вероятности L.

2. Вычисляется среднее значение результата косвенных измерений:

.

3. По формулам (6.1) и (6.2) или с помощью таблицы Приложения 2 находятся выражения для абсолютной или относительной погрешности искомой величины, исходя из конкретного вида функциональной зависимости . Находить выражения для абсолютной и относительной погрешности одновременно нет смысла, поскольку они связаны простыми соотношениями:

и

Какую из величин или вычислять первой зависит от конкретного вида функции, точнее от того, какое из выражений (6.1) или (6.2) получается менее громоздким и легче поддается вычислению. Единых рекомендаций здесь дать невозможно. Отметим только, что, если искомая величина Z представляет собой произведение (или частное) нескольких переменных, то проще вычислять вначале, поскольку логарифмирование разбивает произведение на ряд слагаемых и находить производную в этом случае довольно просто.

4.По полученной в п.3 формуле для абсолютной (или относительной) погрешности вычисляется значение и , причем производные , …. Вычисляются при , , .

5. Окончательный результат записывают в виде:

Замечание 1. В ряде случаев обработку результатов косвенных измерений проводят отличным от изложенного выше способом. Значения функции вычисляются для каждого отдельного измерения, т.е. находятся , , и т.д. Затем обработку величин Z₁, Z₂, Z_3, …, т.е. нахождение среднего значения , доверительного интервала и т.д. производят также как и в случае прямых измерений по схеме, изложенной в предыдущем параграфе.

Замечание 2. При нахождении результата косвенных измерений иногда необходимо использовать значения величин, известные из других, ранее проведенных измерений. Например, при нахождении ускорения свободного падения с помощью математического маятника (), необходимо значение числа . Число является не совсем обычной константой, это иррациональное число U, в зависимости от того, сколько знаков после запятой мы оставим, будет различная точность определения величины g. Следовательно, число должно характеризоваться некоторой погрешностью, за величину которой принимают половину единицы последнего разряда (если, например, = 3,14, то = 0,005). Это замечание относится и к другим «постоянным» величинам, таким, как заряд электрона , постоянная Планка h, число Авогадро N_A и т.д.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2. Вычислить погрешность измерения площади сечения проволоки. Диаметр проволоки измеряется микрометром, количество измерений равно пяти. Пусть результаты измерения диаметра в точности такие же как и в пример 1. т.е. , в мм равны: 3,24; 3,25; 3,23; 3,24; 3,25. Площадь сечения определяется выражением

1. Расчет погрешности прямых измерений здесь проводить не будем (он детально рассмотрен в примере 1). Приведем окончательный результат: = 3,24мм; =0,001мм; =0, 003=0,3%; = 0,95.

2. Вычислим среднее значение площади сечения :

3. Найдем выражение для расчета относительной погрешности:

4. Вычислим относительную погрешность:

Вычисляем абсолютную погрешность:

(мм²)

5. Запишем окончательный результат:

мм² с доверительной вероятностью =0,95.

Пример 3. Вычислить погрешность определения ускорения свободного падения g с помощью математического маятника. Величина g определяется выражением:

,

где l-длина математического маятника:

T –период колебаний;

t–время, за которое совершается N колебаний.

Пусть длина l измеряется три раза сантиметровой линейкой:

l₁=1,84м; l₂=1,85м; l₃=1,85м. Четыре измерения времени t, за которое совершаются N=20 колебаний - t₁=54,55с; t₂=54,40с; t₃=54,62с; t₄=54,58с.

1.Обработка прямых измерений (l_i и t_i) производится в соответствии со схемой параграфа 5. Приведем окончательные результаты:

l= (1,85 0,01) м с доверительной вероятностью =0,95.

t=(54,60,2) с с доверительной вероятностью =0,95. =0,005%, =0,004=0,4%.

2.Вычислим среднее значение :

(м/с²)

3.Определим для расчета относительной погрешности

4.Вычислим относительную погрешность:

Вычислим абсолютную погрешность:

(м/c²)

5.Запишем окончательный результат:

(м/c²) с доверительной вероятностью =0,95