§2 Криволинейное движение материальной точки. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения при криволинейном движении

Направим вектор единичной длины по направлению вектора скорости, тогда, а вектор ускорения

. (_*)

Выясним, каким образом направлен вектор производной .

Обозначим через поло- жение вектора в момент времениt, а через- в момент времени. По определению.

При уменьшении угол между векторамии(перпендикулярен векторуи направлен в сторону его поворота) уменьшается и в пределе стремится к 0. Таким образом, производнаяесть вектор, перпендикулярный векторуи направленный в сторону его поворота.

Обозначим через длину вектора, получим. Таким образом, выражение (_*) запишется, т.е.можно представить в виде суммы двух взаимно ортогональных векторов, один из которыхпараллелен вектору скорости и называется вектором тангенциального ускорения, а другойперпендикулярен вектору скорости и называется вектором нормального ускорения.

По теореме Пифагора . Т.к. вектор направлен параллельно вектору скорости,

то можно сказать, что он не изменяет направления вектора скорости, а изменяет лишь его модуль (абсолютную величину).

Т.к. вектор перпендикулярен вектору скорости, то можно сказать, что он не изменяет модуля вектора скорости, а изменяет лишь его направление. Модульнаходим из теоремы Пифагора:

§3 Движение материальной точки по окружности. Связь угловых и линейных величин

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности того или иного радиуса и в любой момент времени имеют равные угловые скорости и угловые ускорения. Поэтому кинематику твердого тела можно свести к кинематике движения материальной точки по окружности.

Положение материальной точки при движении по окружности можно однозначно охарактеризовать углом поворота , который можно отсчитывать от положительной части оси ОХ против (по) часовой стрелки до радиусаR, проведенного от начала коор-

динат к материальной точке (выбор направления отсчета произволен).

Угол, отсчитываемый в противоположном от выбранного направления, считается отрицательным.

[рад] 1 рад ==57,3^°.

Положение материальной точки на окружности можно характеризовать числом оборотов N, которое может быть нецелым, тогда связь междуNиопределяется

. (_*)

Производная от угла поворота материальной точки по времени называется угловой скоростью

При равномерном вращении угловая скорость численно равна углу поворота в единицу времени [рад/с].

Производная от числа оборотов Nпо времени есть частота вращения.

При равномерном вращении частота численно равна числу оборотов в единицу времени [Гц].

Продифференцировав правую и левую части уравнения (_*), получим

В общем случае изменяется с течением времени.

Производная угловой частоты по времени – угловое ускорение .

Определим связь линейных и угловых величин при вращательном движении, для чего отметим, что координаты материальной точки (x,y) связаны ссоотношениями

Дифференцируя их по времени, получим

(_**)

По теореме Пифагора найдем модуль вектора скорости .

Поскольку мы находим модуль вектора скорости, нас интересует арифметическая величина корня, а может быть меньше 0.

Учитывая, что , продифференцировав его, получим.

Продифференцировав проекции скорости () по времени с учетом (_**), получим

Тогда

Модуль вектора находим по формуле

Замечание

В случае движения материальной точки вдоль произвольной плоской траектории, бесконечно малый участок вблизи любой точки траектории можно рассматривать как дугу окружности, радиус которойR, называемый радиусом

кривизны траектории в рассматриваемой точке. Соотношение для величин в этом случае остается таким же, как и в случае движения материальной точки по окружности радиусаR.