2.7.2. Угловое ускорение.

Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется о величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случаеизменяется по направлению). Для характеристики быстроты изменениявводится физическая величина, называемаяугловым ускорением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Средним угловым ускорениемназывается величина, гдеt– промежуток времени за который произошло изменение угловой скорости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Мгновенным ускорениемназывается величина равная;

Если направление оси вращения в пространстве постоянно, то угловая скорость изменяется только по величине и в этом случае.

Если под понимать проекцию векторана направление, то последняя формула примет вид. Здесь– алгебраическая величина и

если , то>0 (векторыиодного направления),

е

Рис. 2.16

сли, то<0 ().

1) Если >0вращение равноускоренное () (рис. 2.16).

2) Если <0 – () (рис. 2.16).

В системе СИ []=рад/с².

Для равноускоренного движения:

Следовательно,  = ₀ + ·(t - t₀). Приt₀= 0 получаем = ₀ + ·t.

Тогда ;

Окончательно

(2.6)

Теперь установим

2.7.3. Связь между линейной и угловой скоростью.

Пусть за малый промежуток времени t тело повернулось на угол(рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянииRот оси, проходит при этом путьS = R.По определению линейная скорость точки будет равна

Рис. 2.17

.

Итак, v = ·R и чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем теперь линейное ускорение точек вращающегося тела. Нормальное ускорение равно

. Итак,

Модуль тангенциального ускорения .

Отсюда

.

Итак,

(2.7)

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением R(R– расстояние от точки до оси вращения).

Полученное ранее уравнение v=Rустанавливает связь между модулями векторови. Пользуясь специальным математическим аппаратом («векторное исчисление») можно установить связь между самими векторами.

И

Рис. 2.18

звестно: векторным произведением двух векторовиназывается вектор(обозначение:), обладающий следующими свойствами:

1. Модуль вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угламежду ними (рис. 2.18).

2

Рис. 2.19

. Векторперпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектораи, причем направление его связано с направлениямиипо правилу правого винта: если смотреть вслед вектору, то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Пусть тело вращается вокруг оси Zс угловой скоростью(рис. 2.19). Легко видеть, что векторное произведениена радиус–векторточки, скоростькоторой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектороми имеющий модуль, равныйrsin=R, т.е.v.

Таким образом, векторное произведение

.

Иногда применяют другие обозначения векторного произведения

или

Учитывая, что , получим

Первое слагаемое в последнем выражении равно нулю, т.к. sin= 0. Следовательно,.

Итак,

, (2.8)

где - перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-вектора, проведенного из точки, взятой на оси.

Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение AB·sinчисленно равно площади параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2.20), векторв этом случаеплоскости чертежа и направлен за чертеж.

ЛЕКЦИЯ 3