7.2.4. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями складских помещений

Эта модель предназначена для систем управления запасами, включающие m видов продукции, которая хранится на одном складе [26]. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции и может быть включено в модель как ограничение. Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для m видов продукции. ограничение на потребность в складских помещения примет вид:

(7.22)

где a_i – площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида;

n_i - количество продукции i-го вида.

Предположим, что дефицит не допускается, запас каждого вида пополняется мгновенно и скидки отсутствуют. Суммарные затраты, которые необходимо минимизировать имеют вид:

(7.23)

при ограничениях

ni>0 для i=1,..,m.

(7.24)

Общее решение этой задачи находится методами одномерной оптимизации или множителей Лагранжа. Однако необходимо вначале установить действуют ли ограничения на площадь склада для решения

Если оно выполняется, то оно избыточно и им можно пренебречь. Ограничение действует, если оно не выполняется для значения n_i. В таком случае необходимо найти повое значение n_i, удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида

(7.25)

Оптимальное значение n_i и  можно найти, приравняв к нулю соответствующие частные производные. Отсюда получаем

(7.26)

где ^* оптимальное значение множителя .

Пример 7.4. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов продукции, исходные данные которой приведены в табл.7.2.

Таблица 7.2. Исходные данные

Вид продукции	с1, д.е.	bi, ед.	с2, д.е.	ai, м2
Прод.1	10	2	0,3	1
Прод.2	5	4	0,1	1

Общая площадь складского помещения составляет А=25 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции.

Запишем модели суммарных затрат в единицу времени и ограничений

Оптимальный размер заказа для каждого вида продукции без ограничений на емкость склада

_{Так как n1+n2=31,5>25, то необходимо учитывать ограничения на емкость склада. Выразив n2=25  n1 и подставив его в формулу суммарных затрат. Получим зависимость С(n1), решая которое методом одномерной оптимизации найдем приближенное значение n1=10 ед., тогда n2=2510=15 ед. При этом С(n1,n2)=5,58 д.е.}

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.В некоторой фирме работает 1000 инженеров. Текучесть в среднем составляет 50 человек в год. Перед тем как приступить к работе, вновь принятые инженеры проходят в фирме стажировку, которая обходится в 25000 руб. на человека. Если нет возможности предоставить место новому инженеру по окончании стажировки, то фирма теряет 500 руб. на человека в месяц. Определить, сколько инженеров следует принимать на стажировку, с какой частотой следует ее организовывать.

Задание 2. Некоторая компания производит товар, годовой спрос на который равен 5000 единицам. Издержки хранения составляют 20 д.е. за единицу товара в год, а подача одного заказа независимо от размера обходится компании в 30 д.е. Величину спроса можно считать постоянной. Потери от нехватки запасов составляют 10 д.е. на единицу товара. Определить оптимальный объем заказа и суммарные затраты.

Задание 3. Для условия задачи 7.1. необходимо определить, следует ли владельцу магазина, покупая товар, воспользоваться скидками, которые предоставляет поставщик (табл.7.3.).

Таблица 7.3. Размер скидок

Размер заказа	Скидки %	Цена за упаковку, д.е.
0199	0	2,00
200499	2	1,96
500 и более	4	1,92

Задание 4. Три различные вида продукции хранится в запасе с целью непрерывного использования в производственном процессе. Интенсивность спроса постоянна для всех видов. Дефицит не допускается, и запас должен пополнятся мгновенно после поступления запаса. Исходные данные для каждого вида продукции приведены в табл.7.4.

Таблица 7.4. Исходные данные

Вид продукции	с1, д.е.	bi, ед.	с2, д.е.	ai, м2
Прод.1	100	10	0,1	1
Прод.2	50	20	0,2	1
Прод.3	90	5	0,2	0,5

Общая площадь складского помещения составляет А=500 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции.

Задание 5.Составить собственную задачу управления запасами и привести ее решение.

Контрольные вопросы

1. Какими основными характеристиками определяются задачи управления запасами?

2. Какие затраты следует учитывать при оптимизации запасов?

3. Дать определение понятия «оптимальный объем поставки».

4. Перечислите основные составляющие оптимального объема поставки.

5. Когда выгодно применять статическую модель с «разрывами» цен?

6. В чем отличие модели управления запасами с дефицитом?

7. Пояснить методику расчета оптимального заказа для нескольких видов продукции и с ограничениями на емкость склада.

8. Какие задачи можно решить на основе модели управления запасами?