2.4. Системы массового обслуживания

2.4.1. Основные понятия, используемые в системахмассового обслуживания

В окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские, информационные системы, вычислительные устройства и т.д.

Каждая СМО состоит из определенного количества обслуживающих единиц  каналов обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, кассиры, продавцы, устройства ЭВМ и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Всякая СМО предназначена для обслуживания потока заявок (или требований), поступающих от одного или нескольких источников в случайные моменты времени, например звонков в справочную службу телефонной станции. Обслуживание заявки продолжается какое-то случайное время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается большое число заявок (они будут становиться в очередь либо покидать СМО необслуженными, т.е. получать отказ); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать. СМО можно представить в виде схемы (рис. 2.6).

4

0 0 0...0 0 0 0...0  ...

2 3 5

1

Рис.2.6. Схема работы системы массового обслуживания

В соответствии с представленной схемой СМО включает в себя следующие элементы: 1  источники заявок; 2  входной поток заявок; 3  очередь заявок на обслуживание, которых может быть одна или несколько; 4  узел обслуживания, включающий один или несколько параллельно работающих каналов; 5  выходящий поток обслуженных заявок.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты прихода новой заявки или окончания обслуживания очередной.

Системы массового обслуживания делятся на типы по ряду признаков.

1. По условию ожидания начала обслуживания заявки:

 СМО с отказами, у которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему необслуженной;

 СМО с очередью, у которых заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной;

 СМО с ограниченной длиной очереди, у которых заявки получают отказ, если количество мест в очереди на обслуживание исчерпано;

 СМО с ограниченным временем ожидания, у которых срок пребывания каждой заявки в очереди ограничен.

2. По дисциплине обслуживания заявок:

 в порядке поступления;

 в случайном порядке;

 обслуживание с приоритетом, когда заявки определенного типа обслуживаются вне очереди.

3. По месту нахождения источников заявок:

 открытые СМО, в которых характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии находится сама СМО (сколько каналов занято);

 замкнутые СМО, в которых характеристики потока заявок зависят от состояния СМО; обычно это происходит, когда источники заявок находятся внутри самой СМО.

Для описания СМО введем следующие обозначения:

k	 число заявок в СМО (в очереди и узле обслуживания);
s	 число заявок в очереди;
	 число заявок в узле обслуживания;
n	 число каналов (устройств обслуживания);
r	 число незанятых каналов.

Очевидно, что k = + s, n =+ r.

В большинстве случаев поток требований, поступающих в систему, можно считать простейшим пуассоновским потоком, поэтому вероятность поступления m требований за время t

.

Для полного описания потока достаточно знать параметр   математическое ожидание числа заявок, поступающих в систему в единицу времени (интенсивность потока заявок).

Время обслуживания заявки каналом можно рассматривать как случайную величину, имеющую показательный закон плотности распределения

,

где   математическое ожидание числа заявок, обслуженных каналом в единицу времени (интенсивность обслуживания); 1/  математическое ожидание времени обслуживания. Если узел обслуживания состоит из n > 1 одинаковых устройств, то − математическое ожидание числа требований, обслуженныхn каналами за единицу времени. Отношение называюткоэффициентом загрузки системы (или приведенной интенсивностью потока заявок).

Согласно формуле Литта среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок:

.

(2.67)

Точно таким же образом среднее время пребывания заявки в очереди связано со средним числом заявок в очереди:

.

(2.68)

Формальное описание СМО можно выполнить с помощью цепи Маркова, соответствующей схеме гибели и размножения. Расчет финальных вероятностей цепи Маркова позволяет определить  вероятность того, что в системе находится k заявок. Для систем с отказами вероятность того, что число заявок в системе равно числу n каналов обслуживания, соответствует вероятности отказа очередной заявки: .

Теория массового обслуживания позволяет установить зависимость вероятностных характеристик СМО от интенсивности потока заявок, производительности и числа каналов и т.д. и часто включает экономический аспект. Например, стремятся найти наименьшую полную стоимость C потерь, связанных со временем ожидания заявок на обслуживание в очереди и временем простоя каналов обслуживания:

,		(2.69)
где	стоимость единицы времени ожидания одной заявки; стоимость единицы времени простоя одного канала.

Характеристиками эффективности СМО являются:

А  абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q  относительная пропускная способность, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуженных системой;

среднее число занятых каналов.