Пример 6.1. Вычисление коэффициента ассоциации и контингенции

Изучается проблема представления услуг патентного поиска различным категориям пользователей. Результаты опроса за последний месяц сведены в табл.6.3.

Таблица 6.3. Исходные данные для вычисления коэффициентов ассоциации и

контингенции

Факторы		Категории пользователей х1
		Предприятия	Физические лица
Патентный поиск х2	удовлетворили потребность	а=14	b=21
	не удовлетворили потребность	с=25	d=10

Тогда, проведя расчет, получим следующее (табл.6.4):

Таблица 6.4. Данные для расчета

х1 х2	1-й уровень	2-й уровень	Сумма
1-й уровень	а=14	b=21	a+b=35
2-й уровень	с=25	d=10	c+d=35
Сумма	a+c=39	b+d=31	a+b+c+d=70

Коэффициент ассоциации

= – 0,57895.

Коэффициент контингенции

= – 0,31636.

Значение коэффициента ассоциации показывает наличие зависимости удовлетворенности при патентном поиске от категории пользователей.

Пример 6.2. Расчет биссериального коэффициента корреляции.

Изучается проблема удовлетворенности представленными консультативными услугами пользователями с различным опытом работы. Результаты опроса за последний год сведены в табл.6.5, расчетные данные сведем в табл.6.6.

Таблица 6.5. Данные для вычисления биссериального коэффициента корреляции

Факторы		Опыт работы
		2 – 5 лет	5–10 лет	10–15 лет	15–25 лет
Консультативные услуги	удовлетворены услугами (1 гр)	y11=5	y12=7	y13=6	y14=4
	неудовлетворены услугами (2 гр)	y21=9	y22=4	y23=2	y24=1

Таблица 6.6. Расчетные данные

	Средние значения по группам числового признака (опыт работы)
	3,50	7,50	12,50	20	Всего
1 группа	5	7	6	4	22
2 группа	9	4	2	1	16
итого	14	11	8	5	38
вероятность	0,37	0,29	0,21	0,13

Cредние значения по 1 группе:

=3,5·5/22+7,5·7/22+12,5·6/22+20,0·4/22= 10,23.

Cредние значения по 2 группе:

=3,5·9/16+7,5·4/16+12,5·2/16+20,0·1/16=6,66.

Общее средние:

Y ср общ=3,5·0,37+7,5·0,29+12,5·0,21+20,0·0,13= 8,72.

Дисперсия фактических значений признака от среднего уровня:

=(3,5–8,72)²·0,37+(7,5–8,72)²·0,29+(12,5–8,72)²·0,21+

+(20,0 – 8,72)²·0,13,

СКО =5,48,

р =22/38=0,58, q =16/38=0,42.

Z_{таблич.}(р)=0,3975,

Биссериальный коэффициент корреляции:

.

Вывод: биссериальный коэффициент корреляции показывает, что связь между удовлетворенностью консультативными услугами и опытом работы есть, но она не является сильной.

3. Применение математических методов при анализе количественных факторов

3.1. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ предполагает установление линейной и нелинейной зависимости между измеряемым и требующим управления откликом y и влияющими на него факторами x = (x₁, . . ., x_p):

(6.4)

где  – некоторая случайная величина. Случайное слагаемое  выражает либо внутренне присущую отклику y изменчивость, либо влияние на него факторов, не учтенных в соотношении (6.4), либо и то и другое вместе.

Для того чтобы задача о подборе функции отклика y была осмысленной, нужно определить набор допустимых функций f (x). При изучении связи показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи.

Так при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

= a0 + a1x.

(6.5)

При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

– полулогарифмическая = a0 + a1lgx;	(6.6)
– показательная = a0 · a1 x;	(6.7)
– степенная ;	(6.8)
– параболическая = a0 + a1x + a2x2;	(6.9)
– гиперболическая	(6.10)
и другие.

Задача регрессионного анализа заключается в выборе функциональной зависимости и определении оценок параметров этой функции. Вычисление параметров функции осуществляется способом выравнивания эмпирических данных методом наименьших. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений экспериментальных данных y_i от данных, полученных по модели :

.

(6.11)

После определения оценок параметров уравнения регрессии возникает необходимость испытания этих параметров на значимость. Применительно к совокупностям, у которых n < 30, для проверки значимости параметров уравнения регрессии используется t-критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия.

Для параметра а₀: . (6.12)

Для параметра а₁: . (6.13)

В формулах (6.12) и (6.13):

среднеквадратическое отклонение результативного признака y от модельных значений .

среднеквадратическое отклонение факторного признака x_i от общей средней .

После построения модели необходимо проверить ее адекватность. Для этого прежде всего определяется дисперсия адекватности:

,

(6.14)

здесь  расчетное значение отклика у, полученное по модели (8);

y_j  наблюдаемое в ходе эксперимента значение отклика;

k  количество коэффициентов, включенных в уравнение регрессии.

Следующим этапом проверки адекватности является сопоставление дисперсии адекватности с дисперсией эксперимента:

.

(6.15)

Здесь  оценка математического ожидания наблюдений у.

Расчетный критерий Фишера вычисляется по следующей формуле:

.

(6.16)

Расчетное значение сопоставляется с критическим для выбранного уровня значимости q и соответствующих степеней свободы, которые для числителя равны ₁ = n – k, а для знаменателя – ₂ = n – 1. Если наблюдаемое значение меньше критического, то модель можно признать адекватной. Такая модель может быть использована для прогноза в будущем. Если модель неадекватна, то следует рассмотреть более сложные нелинейные модели.

Следует отметить, что математический аппарат регрессионного анализа подробно рассматривается в литературе по математической статистике¹.

Пример 6.3. Пример построения регрессионного уравнения.

Проводится исследования о влиянии затрат х на рекламу, на объем продаж некоторого товара у (табл.6.7). Построим линейную модель у=f(x)=a₀+а₁ x.

Таблица 6.7. Исходные данные для расчета

y (тыс.шт)	433	616	900	1113	1305	1488	1645	1914	2411
x (тыс.руб.)	15	21	27	32	34	36	37	40	37

Для определения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей зависимость у=f(x), можно использовать метод наименьших квадратов. Таким образом, уравнения для расчета параметров a₀ и а₁ будут иметь вид:

(6.17)

Отсуда получаем:

(6.18)

Проведем дополнительные вычисления, которые сведем в табл.6.8:

Таблица 6.8. Расчетные данные построения линейной модели регрессии

										Сумма
y	433	616	900	1113	1305	1488	1645	1914	2411	11825
x	15	21	27	32	34	36	37	40	37	279
xy	6495	12936	24300	35616	44370	53568	60865	76560	89207	403917
x^2	225	441	729	1024	1156	1296	1369	1600	1369	9209

Тогда

Таким образом, получаем уравнение:

y= – 753,26+66,68x.

Оно показывает, что с увеличением х величина у будет увеличиваться.

Проверим адекватность модели. Для этого определим следующее:

• дисперсию адекватности при n=9, k=3

=107589,18;

• дисперсию эксперимента

=397311,1;

• расчетный критерий Фишера

.

Наблюдаемое значение сравниваем с критическим, взятым из статистических таблиц для уровня значимости q=0,05 и степеней свободы для числителя ₁ = n – k=6 и для знаменателя ₂ = n – 1=8, =3,58. Так как наблюдаемое значение меньше критического, то модель можно признать адекватной.