ALL_
.DOCСодержание.
Тема1. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши……………………………………………………………………………. |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм………………………………………………………………………………… |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Тема2. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача………………………………………………………………………… |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм…………………………………………………………………………………. |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Тема3. Уравнение теплопроводности. Явная и неявная схемы………………. |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм…………………………………………………………………………………. |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Тема4. Волновое уравнение. Уравнение гиперболического типа…………….. |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм…………………………………………………………………………………. |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Тема5. Стационарное уравнение…………………………………………………… |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм…………………………………………………………………………………. |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Тема6. Методы оптимизации.ю……………………………………………………… |
|
Постановка задачи…………………………………………………………………….. |
|
Алгоритм…………………………………………………………………………………. |
|
Варианты………………………………………………………………………………… |
|
Задание № 1.
Тема: Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.
Постановка задачи.
Алгоритм.
Задание:
Решить задачу Коши методами Эйлера, Рунге–Кутта 2, Руне–Кутта 4 и прогноз–коррекции.
Варианты.
Задание № 2.
Тема: Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача.
Постановка задачи.
Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:
Простейшая двухточечная краевая задача для уравнения (1) ставится следующим образом:
Требуется найти функцию , которая внутри отрезка удовлетворяет уравнению (1), а на концах отрезка – краевым условиям:
Алгоритм метода прогонки для краевой задачи.
-
Описание и инициализация массивов и переменных:
-
Определение массивов:
-
Вычисление по формулам:
- прямой ход прогонки.
-
Вычисление по формуле:
-
Вычисление по формуле:
- обратный ход прогонки
-
Печать вычисленных значений.
Задание:
-
Используя метод прогонки, решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения; шаг h=0.05
-
Используя метод конечных разностей, решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения; h–шаг; h=0.1
Варианты.
-
2.
-
4.
-
6.
-
8.
-
10.
-
12.
-
14.
-
16.
-
18.
-
20.
-
22.
-
24.
-
26.
-
28.
-
30.
-
32.
-
34.
Задание № 3.
Тема: Уравнение теплопроводности. Явная и неявная схемы.
Постановка задачи.
Алгоритм.
Задание:
Используя метод сеток, решить смешанную задачу для дифференциального уравнения параболического типа
(уравнение теплопроводности)
при заданных начальных условиях:
, где
Решение выполнить при h=0.1, для , =1.0.
Использовать:
-
Явную схему;
-
Неявную схему.
Варианты.
1. 2. 3.
; ; ;
; ; ;
. . .
4. 5. 6.
; ;
; ;
. .
7. 8. 9.
; ; ;
; ; ;
. . .
10. 11. 12.
; ; ;
; ; ;
. . .
13. 14. 15.
; ; ;
; ; ;
. . .
16. 17. 18.
; ; ;
; ; ;
. . .
19. 20. 21.
; ; ;
; ; ;
. . .
22. 23. 24.
; ; ;
; ; ;
. . .
Задание № 4.
Тема: Волновое уравнение. Уравнение гиперболического типа.
Постановка задачи.
Алгоритм.
-
Вводим шаг по оси x:
h и определяем число точек по оси x – k:
.
-
Вводим шаг по времени τ. Условие устойчивости вычислений : τ < h (можно τ ≤ h). ; .
-
Создаем массивы смещений:
- значения смещений при
- значения смещений при
- значения смещений при
Т.е. будем использовать следующие обозначения:
обозначаем ,
обозначаем ,
обозначаем .
-
Заполняем массивы при :
и , .
, ;
, .
-
Определяем значения смещений на границах:
, , где .
-
Строим график зависимости смещения от координаты в начальный момент времени:
-
Организуем цикл по времени от до с шагом τ. На каждой итерации цикла будем выполнять следующее:
-
Делаем шаг по времени ;
-
Организуем цикл по x от до шагом (или организуем цикл по точкам от i = 2 до i = n-1,то есть i принимать значения i = 2,3,4,…,n-1) и вычислим новые значения смещений, которые запишем в вспомогательный массив , по формуле:
-
;
.
-
Вычислим новые значения смещений в краевых (граничных) точках по формулам:
; //
; //
-
Рисуем график зависимости смещения от координаты для нового момента при времени .
-
Переприсваиваем значения смещений:
1) Значения присваиваются переменной :
, или .
2) Значения присваиваются переменной :
, .
-
Проверяем условия окончания итерационного процесса по времени:
?
Если условие истинно, то переходим к пункту 7.0.
Иначе:
-
Конец вычислений.
Алгоритм.
1*. Дискретизация пространства и времени – 1 и 2.
2*. Описание переменных – 3.
3*. Определение смещений в начальный момент времени:
во внутренних точках – 4, на границах исследуемого участка – 5.
4*. Вывод графика U(x,0) – 6 .
5*. Основной цикл по времени – 7, включающий в себя:
-
Определение - 7.0;
-
Вычисление новых значений смещений во внутренних точках – 7.1, на границах – 7.2;
-
Вывод графика - 7.3;
-
Переприсваивание значений – 7.4;
-
Проверка условия окончания цикла по времени – 7.5.
6*. Конец вычислений.
Задание:
Используя метод сеток, решить задачу для управления колебания струны
с начальными условиями:
U(x,0)=f(x),
0 ≤ x ≤ 1;
и краевыми условиями:
U(0,t)=φ(t),
U(1,t)=ψ(t),
c=1.0;
Решение выполнить с шагом h = 0.1.
Варианты.
1. 2.
; ;
; ;
; ;
. .
-
4.
; ;
; ;
; ;
. .
-
6.
; ;
; ;
; ;