ALL_

Содержание.

Тема1. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши…………………………………………………………………………….
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм…………………………………………………………………………………
Варианты…………………………………………………………………………………
Тема2. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача…………………………………………………………………………
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм………………………………………………………………………………….
Варианты…………………………………………………………………………………
Тема3. Уравнение теплопроводности. Явная и неявная схемы……………….
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм………………………………………………………………………………….
Варианты…………………………………………………………………………………
Тема4. Волновое уравнение. Уравнение гиперболического типа……………..
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм………………………………………………………………………………….
Варианты…………………………………………………………………………………
Тема5. Стационарное уравнение……………………………………………………
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм………………………………………………………………………………….
Варианты…………………………………………………………………………………
Тема6. Методы оптимизации.ю………………………………………………………
Постановка задачи……………………………………………………………………..
Алгоритм………………………………………………………………………………….
Варианты…………………………………………………………………………………

Задание № 1.

Тема: Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

Постановка задачи.

Алгоритм.

Задание:

Решить задачу Коши методами Эйлера, Рунге–Кутта 2, Руне–Кутта 4 и прогноз–коррекции.

Варианты.

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

Задание № 2.

Тема: Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевая задача.

Постановка задачи.

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

Простейшая двухточечная краевая задача для уравнения (1) ставится следующим образом:

Требуется найти функцию , которая внутри отрезка удовлетворяет уравнению (1), а на концах отрезка – краевым условиям:

Алгоритм метода прогонки для краевой задачи.

1. Описание и инициализация массивов и переменных:

2. Определение массивов:

3. Вычисление по формулам:

- прямой ход прогонки.

4. Вычисление по формуле:

5. Вычисление по формуле:

- обратный ход прогонки

6. Печать вычисленных значений.

Задание:

1. Используя метод прогонки, решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения; шаг h=0.05

2. Используя метод конечных разностей, решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения; h–шаг; h=0.1

Варианты.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

Задание № 3.

Тема: Уравнение теплопроводности. Явная и неявная схемы.

Постановка задачи.

Алгоритм.

Задание:

Используя метод сеток, решить смешанную задачу для дифференциального уравнения параболического типа

(уравнение теплопроводности)

при заданных начальных условиях:

, где

Решение выполнить при h=0.1, для , =1.0.

Использовать:

1. Явную схему;

2. Неявную схему.

Варианты.

1. 2. 3.

; ; ;

; ; ;

. . .

4. 5. 6.

; ;

; ;

. .

7. 8. 9.

; ; ;

; ; ;

. . .

10. 11. 12.

; ; ;

; ; ;

. . .

13. 14. 15.

; ; ;

; ; ;

. . .

16. 17. 18.

; ; ;

; ; ;

. . .

19. 20. 21.

; ; ;

; ; ;

. . .

22. 23. 24.

; ; ;

; ; ;

. . .

Задание № 4.

Тема: Волновое уравнение. Уравнение гиперболического типа.

Постановка задачи.

Алгоритм.

1. Вводим шаг по оси x:

h и определяем число точек по оси x – k:

.

2. Вводим шаг по времени τ. Условие устойчивости вычислений : τ < h (можно τ ≤ h). ; .

3. Создаем массивы смещений:

- значения смещений при

- значения смещений при

- значения смещений при

Т.е. будем использовать следующие обозначения:

обозначаем ,

обозначаем ,

обозначаем .

4. Заполняем массивы при :

и , .

, ;

, .

4. Определяем значения смещений на границах:

, , где .

4. Строим график зависимости смещения от координаты в начальный момент времени:

4. Организуем цикл по времени от до с шагом τ. На каждой итерации цикла будем выполнять следующее:

   0. Делаем шаг по времени ;

   1. Организуем цикл по x от до шагом (или организуем цикл по точкам от i = 2 до i = n-1,то есть i принимать значения i = 2,3,4,…,n-1) и вычислим новые значения смещений, которые запишем в вспомогательный массив , по формуле:

;

.

0. Вычислим новые значения смещений в краевых (граничных) точках по формулам:

; //

; //

0. Рисуем график зависимости смещения от координаты для нового момента при времени .

1. Переприсваиваем значения смещений:

1) Значения присваиваются переменной :

, или .

2) Значения присваиваются переменной :

, .

0. Проверяем условия окончания итерационного процесса по времени:

?

Если условие истинно, то переходим к пункту 7.0.

Иначе:

4. Конец вычислений.

Алгоритм.

1*. Дискретизация пространства и времени – 1 и 2.

2*. Описание переменных – 3.

3*. Определение смещений в начальный момент времени:

во внутренних точках – 4, на границах исследуемого участка – 5.

4*. Вывод графика U(x,0) – 6 .

5*. Основной цикл по времени – 7, включающий в себя:

1. Определение - 7.0;

2. Вычисление новых значений смещений во внутренних точках – 7.1, на границах – 7.2;

3. Вывод графика - 7.3;

4. Переприсваивание значений – 7.4;

5. Проверка условия окончания цикла по времени – 7.5.

6*. Конец вычислений.

Задание:

Используя метод сеток, решить задачу для управления колебания струны

с начальными условиями:

U(x,0)=f(x),

0 ≤ x ≤ 1;

и краевыми условиями:

U(0,t)=φ(t),

U(1,t)=ψ(t),

c=1.0;

Решение выполнить с шагом h = 0.1.

Варианты.

1. 2.

; ;

; ;

; ;

. .

3. 4.

; ;

; ;

; ;

. .

5. 6.

; ;

; ;

; ;