Результаты численного интегрирования тестовой задачи.

Кол-во Разби- Ений n	Методы
	Прямоугольников			трапеций	Симпсона
	левых	Правых	средних
1	2,000000	3,718282	2,648721	2,859141	2,718661
2	2,324361	3,183502	2,700513	2,753931	2,718319
4	2,512437	2,942007	2,713815	2,727222	2,718284
10	2,675683	2,761597	2,718103	2,718640	2,718282
20	2,675683	2,761597	2,718103	2,718640	2,718282
100	2,709705	2,726888	2,718275	2,718296	2,718282
500	2,716564	2,720001	2,718282	2,718282	2,718282
1000	2,717723	2,719141	2,718282	2,718282	2,718282
10000	2,718196	2,718368	2,718282	2,718282	2,718282
100000	2,718273	2,718290	2,718282	2,718282	2,718282

Результаты расчета показывают, что при использовании методов левых и правых прямоугольников для обеспечения даже невысокой точности вычисления приходится проводить с очень мелким шагом, приводящим к значительному увеличению продолжительности счета. При этом незначительное усовершенствование методов и переход к формулам средних прямоугольников или трапеций в несколько раз снижает погрешность вычислений, причем преимущество усовершенствования возрастает с увеличением требуемой точности расчета. По этой причине методы левых и правых прямоугольников практически не используются.

Как и следовало ожидать, наиболее точным оказался метод Симпсона. Применение трехточечной формулы позволяет проводить вычисления с более широким шагом интегрирования. При заданной точности вычисления интеграла общее количество вычислений функции меньше, несмотря на то, что по методу Симпсона в зависимости то выбранной схемы на каждом шаге производится два или три обращения к функции по сравнению с однократным обращением в методах средних прямоугольников и трапеций.

Погрешность метода средних прямоугольников при вычислениях с постоянным шагом x оценивается величиной

,

где - вторая производная функцииf(x).

Погрешность метода трапеций приблизительно равна

.

В общем случае погрешность формулы средних прямоугольников примерно вдвое меньше, чем у формулы трапеций. Поэтому, если значения функции одинаково легко определяются в любых точках, то лучше вести расчет по более точной формуле средних прямоугольников. Метод трапеций употребляют в тех случаях, когда функция задана только в узлах сетки, а в середине интервала ее значения неизвестны.

Главные члены погрешностей у формул средних прямоугольников и трапеций имеют различные знаки, поэтому, если вести расчеты по обеим формулам, точное значение интеграла будет, как правило, находиться в вилке между ними. Используя это свойство, можно добиться повышения точности расчетов. Так как

,,

то, применяя комбинированную формулу

,

сократим основные источники погрешностей. Подставляя в нее конкретные значения, получим формулу

,

соответствующую методу Симпсона, погрешность которого оценивается величиной

.

В методах средних прямоугольников и трапеций уменьшение шага интегрирования x вдвое уменьшает погрешность оценки площади элементарного прямоугольника в 8 раз, однако, общее количество этих прямоугольников увеличивается в 2 раза, поэтому общая погрешность уменьшается приблизительно в 4 раза. Коэффициент уменьшения ошибки пропорционален величине второй производной и обычно не равен в точности 4, посколькуне является константой и сказывается также влияние членов более высокого порядка. Однако, при реальных вычислениях с функциями, имеющими непрерывные ограниченные вторые производные, можно ожидать, что удвоение числа элементарных отрезков для любой формулы – средних прямоугольников или трапеций – приблизительно учетверяет точность.

Если в методе Симпсона уменьшить шаг x в два раза , то каждое

уменьшится в 32 раза, при этом общее количество элементарных фигур возрастет в 2 раза. Погрешность в целом уменьшится приблизительно в 16 раз.

При выборе количества разбиений n или величины шага x заранее неизвестно, какова будет погрешность вычисления интеграла. Кроме того, точное значение интеграла также неизвестно и сравнить полученное значение с точным нельзя.

Для оценки точности вычисления сравнивают два последовательных приближения к результату. Сначала задают некоторое начальное n₁, для которого вычисляют приближенное значение S₁. Затем число участков удваивают, n₁=2n₁, соответственно длины участков сокращаются вдвое, . Далее вычисляют новую сумму площадей более узких фигурS₂. Она точнее приближает искомое значение интеграла. Разность сравнивают с наперед заданным малым положительным числом. При считают, чтоS₂ можно принять за приближенное значение интеграла, полученное с заданной точностью . В противном случае процесс деления отрезков повторяют, принимая n₃=2n₂, вычисляют S₃ и сравнивают с.

Для непрерывных функций условие должно наступить обязательно, если>_маш. Следует отметить, что выполнение условия в общем случае не означает, что погрешность вычисления интеграла меньше величины. Здесь сравнивается окончательное значение S_k не с точным значением, а с вычисленным ранее при более крупном шаге интегрирования. Тем не менее, для многих функций такая оценка величины погрешности является достаточной.