Решение

1. Векторы Х и Y для данной схемы

Х ;

Y .

Тогда уравнения состояния

(1.29)

(1.30)

2. Для нахождения элементов матриц А, В, С и D заменим катушку индуктивности в коммутационной цепи на источник тока , а конденсатор на источник ЭДС . В результате получим резистивную схему на рис. 1.68.

Используя принцип суперпозиции, рассмотрим три частичные схемы, в каждой из которых действует только один источник ЭДС или тока.

3. Первая частичная схема приведена на рис. 1.69. В ней оставляем только источник ЭДС, соответствующий напряжению на конденсаторе.

Из анализа схемы следует, что ;;или

;

.

Отсюда получаем ;;.

4. Вторая частичная схема представлена на рис. 1.70. В ней оставляем только источник тока, соответствующий токукатушки индуктивности.

Для этой схемы ;;или

;

.

Отсюда получаем ;;.

5. Третья частичная схема приведена на рис. 1.71. В ней оставляем только источник ЭДС е(t).

Из анализа этой схемы вытекает ;;или

;

.

Отсюда получаем ;;.

6. Принимая во внимание, что ;и, имеем

А;

В;

С

D

7. Для расчета вектораХ(0) начальных значений переменных состояния запишем систему уравнений по методу контурных токов для цепи на рис. 1.72:

где

Решая эту систему, получаем Тогда

Отсюда находим Таким образом,Х(0)=.

Пример 1.4.

В цепи на рис. 1.73 ;;;С=31,85 мкФ.

Найти напряжение на конденсаторе после замыкания ключа, еслии.

Решение

1. Ищем напряжение на конденсаторе в виде

. (1.31)

2. Для определения принужденной составляющей напряжения рассчитаем комплекс амплитуды этого напряжения в соответствии с соотношением

, (1.32)

где

;

.

Отсюда

(1.33)

и

.

3. Свободную составляющую напряжения на конденсаторе имеем в виде

где

.

Таким образом,

. (1.34)

4. Подставив (1.33) и (1.34) в (1.32), получим:

. (1.35)

5. Для определения постоянной интегрирования запишем (1.35) для :

. (1.36)

В соответствии со вторым законом коммутации определяется в результате расчета цепи на рис. 1.71 до коммутации. На основании теоремы об активном двухполюснике для тока в ветви с конденсатором можно записать:

.

Отсюда комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе до коммутации

и, следовательно,

.

Тогда, решив с учетом найденного значения уравнение (1.36) относительно постоянной интегрирования, получим

.

Таким образом, искомое выражение напряжения на конденсаторе имеет вид

.

51