Неопределенный интеграл. Введение
Данные методические указания ставят своей целью оказать существенную помощь студенту в овладении техникой интегрирования.
Рекомендации состоят из 8 параграфов. В них излагаются методы решения типовых задач интегрального исчисления, приводятся подробные решения примеров и пояснения к этим решениям. В конце параграфа предлагаются упражнения для самостоятельной работы.
§ 1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
Первообразной
функцией для функции
называется такая функция
,
производная которой равна данной
функции, то есть
.
Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на промежутке ,отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.
Доказательство.
В самом деле, пусть
-
некоторая
функция, определенная
на промежутке [a;b]
,и
ее первообразные, т.е.
.
Отсюда
Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,
где
-
постоянная величина, что и требовалось
доказать.
Основное свойство
первообразных: если
является первообразной функции
на некотором промежутке, то все
первообразные функции
имеют вид
,
гдеС
– постоянная.
Неопределенным
интегралом от непрерывной функции
называется множество всех ее первообразных.
Неопределенный интеграл функции
обозначается
и, исходя из определения.
.
В этом равенстве
называют подынтегральной функцией,
выражение
- подынтегральным выражением, переменнуюх
– переменной интегрирования, а слагаемое
С – постоянной
интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
,
.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
Для доказательства данного равенства найдем производные от левой и правой частей:
Производные от правой и левой частей равны, следовательно разность двух любых функций ,стоящих слева и справа ,есть постоянная. В этом смысле и следует понимать данное равенство.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенныx интегралов от слагаемых:
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.
Если
то
Если
то
Если
то
§ 2. Таблица основных интегралов.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
§ 3. Интегрирование разложением.
Метод разложения
основан на свойстве 4 неопределенного
интеграла. Если
,
то
Пример 1.
Найти интеграл
.
Решение. Применяя
формулу 1 § 2 для случая
.
В соответствии с этой формулой получаем
.
Пример 2.
Найти интеграл
.
Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель, пользуясь свойствами 3 и 4 и формулами 1, 3 § 2, находим
.
Пример 3.
Найти интеграл
.
Решение. Раскроем
скобки
.
.
Пример 4.
Найти интеграл
.
Решение.
.
Пример 5.
Найти интеграл
.
Решение.
.
Задачи. Найти неопределенные интегралы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
