книги из ГПНТБ / Сафонов А.С. Специальная электротехника учеб. для воен.-мор. команд.-инженер. училищ

Действующие значения этих сил токов определяются по закону Ома:

/і = т- = Уі£/; /2 = #- = у2^

Активные и реактивные составляющие сил токов вет­ вей будут равны:

6

Рис 4.14. Разветвленная цепь и ее диаграмма

/ r 2 - / 2 c o s 9 2 - - f J± = Ii-U = g2U;

Следовательно, проводимости любой k ветви раз­ ветвленной цепи переменного тока в общем случае опре­ деляются следующими соотношениями:

100

Составляющие и полная сила тока неразветвленной части цепи соответственно запишутся:

В выражениях (4.54, 4.55) активная составляющая полной силы тока равна арифметической сумме актив­ ных составляющих сил токов всех ветвей, а реактивная составляющая — алгебраической сумме реактивных со­ ставляющих сил токов ветвей. Соответственно активная проводимость всей цепи равна арифметической сумме проводимостей всех ветвей, а реактивная проводи­ мость— алгебраической сумме проводимостей всех вет­ вей.

§ 4.7. МОЩНОСТИ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

В цепях переменного тока периодические изменения напряжения и тока создают периодические изменения мощности цепей. Периодически изменяющаяся мощ-

101

1

н о с т ь — м а ло удобная величина для характеристики энергетического состояния цепей. В связи с этим в цепях переменного тока вводят несколько понятий мощности: мгновенная, активная, реактивная, полная.

М г н о в е н н а я м о щ н о с т ь ц е п е й

.Под мгновенной мощностью понимается произведение мгновенных значений напряжения и силы тока, т. е.

Рис. 4.15. Графики мгновенных мощностей в цепях переменного тока

В цепи с активным сопротивлением при синусоидаль­

ных значениях ur=Um sin at и i = / m s i n м г н о в е н н а я мощность определяется уравнением

Отсюда видно, что мгновенная мощность в цепи с со­ противлением г, имея независимую от времени постоян­

около среднего значения, равного UI, оставаясь все вре­ мя положительной. С физической точки зрения это озна­

102

цесс преобразования электрической энергии в тепловую или другого вида энергию. Мгновенная мощность опре­ деляет скорость этого процесса.

В цепи с индуктивностью при синусоидальных значе­

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной угловой частотой (рис. 4.15,6), достигая в те­ чение периода два раза положительного и два раза отри­ цательного максимума UI. Это значит, что в течение пе­ риода энергия два раза поступает от источника в цепь и два раза возвращается из цепи обратно к источнику. Другими словами, энергетический процесс в рассматри­ ваемой цепи состоит лишь в обмене энергией между источником и цепью. Энергия же при этом не расхо­ дуется.

В цепи с емкостью при синусоидальных значениях на­ пряжения и тока мгновенная мощность равна

и реактивные параметры, например сопротивление и ин­ дуктивность или сопротивление и емкость, при синусо­ идальных значениях тока и напряжения определяется уравнением

р = иі — Uт sin u>t • Im sin (со/ — <?) =

— 2UI cos 9 sin2 mt — UI Sin <f sin 2®t.

103

Очевидно, что первая составляющая характеризует необ­ ратимое преобразование электрической энергии, а вто­ рая — процесс периодического обмена энергией между источником и цепью. В целом же мгновенная мощность, как следует из графика на рис. 4.16, изменяется перио­ дически как по величине, так и по знаку. В данном част­ ном случае положительная часть кривой имеет большую площадь, чем отрицательная. Это означает, что в цепь от источника поступает больше энергии, чем возвращает­ ся цепью источнику.

Рис. 4.16. Графики мощностей в цепях г, L и г, С

Таким образом, энергия, получаемая активным сопро­ тивлением цепи, расходуется в нем, а энергия, получае­ мая реактивным сопротивлением цепи, не расходуется, а только колеблется с двойной частотой между источником и цепью.

А к т и в н а я и р е а к т и в н а я м о щ н о с т и ц е п е й

Под активной мощностью понимается среднее значе­ ние мгновенной мощности за период

тт

= c7/cos<p — UI cos (2ш/ — cp).

104

Подставляя это значение мгновенной мощности в уравнение (4.57), найдем

тг

р = - L Jpdt = -L j ui cos fdt -

о0

Второй интеграл выражения (4.58) за период равен нулю. Поэтому активная мощность в цепи при синусо­ идальном процессе будет

г

ляющая наибольшую скорость изменения электрического и магнитного полей, т. е.

Среднее значение этой мощности за период равно нулю. Реактивная мощность, учитывая, что U = Iz, zsin9=;t

105

ГЛАВА ПЯТАЯ

СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

идальными функциями времени или геометрических опе­ раций над изображающими их векторами, рассмотрен­ ные в предыдущей главе, громоздки. Поэтому в электро­

тока, основанный на изображении синусоидальных функ­ ций времени комплексными числами. Такое изображение позволяет уравнения для любой цепи, составленные на основании законов Кирхгофа, решать алгебраически, аналогично уравнениям для цепей постоянного тока.

Применение символического метода значительно упро­ щает расчеты цепей переменного тока, особенно сложных цепей. Соотношения, выражающие законы Ома и Кирх­ гофа в символической форме, имеют такой же вид, как и соотношения, выражающие эти законы для цепей по­

для цепей переменного тока, представляют собой ком­ плексы. Поэтому символический метод дает возможность применять для расчета цепей переменного тока не толь­ ко законы Ома и Кирхгофа, но также и все методы рас­ чета сложных цепей, применяемые в цепях постоянного тока, в частности метод контурных токов, метод узловых напряжений и другие методы.

107

Известно, что каждому комплексному числу на ком­ плексной плоскости (рис. 5.1) соответствует точка М, имеющая две координаты — отрезок а на вещественной оси и отрезок b на мнимой оси, или радиус-вектор А, проекции которого на вещественную и мнимую оси явля­ ются координатами комплексного числа,

Рис. 5.1. Изображение комплексного числа век­ тором

Соответственно этим двум изображениям комплекс­ ное число может быть записано в двух основных фор­ мах — алгебраической и тригонометрической:

А = а +;Ъ — A (cos а + у sin а),

Комплексное число может быть записано также в третьей так называемой Эйлеровой, или показательной, форме, а именно

А = Ае>\

где А- модуль комплексного числа; поворотный множитель;

е—основание натуральных логарифмов. Некоторые частные значения поворотного множителя

108

нии отдельных действий обычно выбирается наиболее удобная форма записи комплексного числа. Так, напри­ мер, при сложении и вычитании удобной является алге­ браическая форма, а при умножении и делении — пока­ зательная.

Сложение двух или нескольких комплексных чисел соответствует сложению векторов, т. е. складываются от­ дельно их действительные и мнимые составляющие. Так,

т. е. при умножении аргументы комплексов складывают­ ся, а при делении — вычитаются.

§5.2. СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ПАРАМЕТРОВ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО

ТОКА

Всякая синусоидальная величина, как известно, мо­ жет быть представлена вращающимся вектором, а по­ следний может быть изображен комплексным числом. Следовательно, любая синусоидальная величина может быть представлена в виде соответствующего комплексно­ го числа или комплекса.

Комплексы, изображающие синусоидальные величи­ ны, принято обозначать соответствующими прописными буквами с точкой наверху, например /, Ё, V, Ф, ф и т. д. Все другие комплексные величины, встречающиеся при расчетах цепей синусоидального тока, в частности ком­ плексы сопротивления Z и проводимости У, обозначают­ ся прописными буквами без точек наверху.

109