книги из ГПНТБ / Крылов Н.В. Организация и планирование кислородного производства [учеб. пособие]

жать самое большее 1 кг вещества А. Ограничение, что готовая смесь должна содержать 2 кг вещества В, выражается равен­ ством В —2 кг и изображается линией в. Неравенство вещества В 2 кг на рис. 16 заштриховано площадью над линией в. Область (площадь затушевана и заштрихована), одновременно удовлетворяющая двум отдельным условиям, и называется об­ ластью допустимых решений. В этой области каждая точка со­ ответствует не менее 1 кг вещества Л и 2 кг вещества В. В точ­ ке пересечения линий а и в одновременно удовлетворяются оба равенства (Л = 1 кг, В = 2 кг).

В линейном программировании применяются линейные огра­ ничения, которые изображаются прямыми линиями или полу­ плоскостями, ограниченными прямыми. Область допустимых решений может ограничиваться прямыми линиями. Область является выпуклой, т. е. она ограничена таким образом, что всякая прямая линия, вышедшая за границы этой области, никогда в нее не возвращается. Наконец, область допустимых' решений характеризуется вершиной, образуемой пересечением прямых.

Рассмотрим пример линейного программирования, включаю­ щий в себя два ограничения и три переменные. Ставится зада­ ча составления смеси, которая приготовляется из двух компо­ нентов (переменные величины). Ограничения задачи состоят в том, что готовая смесь должна содержать не менее 2 кг ве­ щества В и 1 кг вещества А. Требуется при соблюдении этих ограничений получить смесь, имеющую минимальную стои­ мость.

При решении задачи можно использовать следующие три утверждения (постулата), которые будут справедливыми:

1. Наибольшее число компонентов, которое может быть ис­ пользовано, равно числу ограничений. В нашем примере с дву­ мя ограничениями будет использовано не более двух компо­ нентов, хотя выбор компонентов и может быть расширен.

189

2.При оптимальном решении задачи с двумя компонентами необходимо проверить не существует ли другой компонент, использование которого дает больший выигрыш и который сле­ дует включить в смесь вместо другого компонента. <

3.Отрицательные количества компонента недопустимы и

указывают, что область допустимых решений содержит только

в смеси будет 5 кг компонента I или 4 кг компонента II. Соеди­ нив точки с координатами (5) и (4), а также точки с координа­ тами (3) и (5), получим две прямые. Линия ch и область пра­ вее ее удовлетворяют требованию о содержании в готовой сме­ си не менее 1 кг вещества А, а линия fe и область правее ее удовлетворяют требованию о содержании в готовой смеси не менее 2 кг вещества В. В обеих этих областях лежат допусти­ мые решения. На рис. 18 рассмотрены оба ограничения. Общее решение задачи должно удовлетворять обоим ограничениям одновременно. При этом точка, соответствующая решению за­ дачи, может находиться справа от обеих линий или на одной из них и быть при этом справа от другой или на пересечении двух линий. Вся эта область (частично заштрихована на гра­ фике) является областью допустимых решений. В нашем слу­ чае она представляет собой выпуклую многоугольную фигуру, некоторые стороны которой уходят в бесконечность. В общем случае область допустимых решений является выпуклым мно­ гогранником.

Одна из теорем линейного программирования утверждает, что в задачах минимизации или максимизации оптимальное ре­ шение соответствует одной из вершин выпуклого многогранни-

190

ка. Применительно к рассматриваемой задаче это означает, что точка, соответствующая ее оптимальному решению (наимень­ шая стоимость смеси), лежит в вершинах с, d или е. Для слу­ чая, когда оптимальному решению отвечают две соседние вер­

многоугольника или в крайнем случае на границе с заштрихо­ ванной областью. Это обстоятельство указывает на то, что для решения задачи мы должны просмотреть только три вершины (точки) и выбрать ту, которая соответствует наименьшей стои­ мости смеси.

Произведем оценку трех вершин. Вершина с указывает, что в решении не используется компонент II, а принимается 5 кг компонента I. Килограмм компонента I стоит 2 руб. Следова­ тельно, общая стоимость смеси составит 5X 2=10 руб. Верши­ на е соответствует решению, в котором предусматривается ис­ пользование компонента II в количестве 5 кг. Отсюда при стоимости 1 кг компонента 1,5 руб. общая стоимость смеси со­ ставит 7,5 руб. Вершина d изображает смесь I и II компонен­ тов. Для расчета в точке d количества компонентов I и II, используемых для приготовления смеси, решим систему двух уравнений, определяющих координаты точки пересечения. Каж­

дое уравнение имеет вид: у — ах + Ъили г/= — (ограниче-

вершинах, поэтому точка d соответствует оптимальному реше­

мого состава могли быть использованы и другие компоненты. Для решения задачи при п компонентах, если заданы т огра­ ничений, целесообразно применить симплексный метод. Он позволяет находить допускаемое решение и осуществлять по­ следующие систематические переходы к другим допустимым ре­ шениям, предусматривающим меньшую стоимость. При этом необходимо установить, является ли данное решение оптималь­ ным и каким образом следует производить переходы от одной точки к другой, чтобы уменьшить стоимость требуемой смеси. Симплекс метод дает ответы на эти вопросы, и решение будет оптимальным, если какой-либо использованный компонент дает чистый выигрыш.

Успешная работа предприятия, в частности ритмичность его

191

работы, во многом зависит от качества планирования. Улучше­ нию качества плана способствует применение математического анализа при планировании. Линейное программирование позво­ ляет учесть все возможные варианты планов и выбрать наилуч­ ший (при решении относительно несложных задач с помощью обычных счетных машин, а более сложных с использованием электронных счетных машин).

Составление производственных планов — это важная об­ ласть применения линейного программирования, где оптимум определяется с учетом целого ряда факторов, основным из ко­ торых является обеспечение максимального чистого дохода при минимальных затратах.

Для уяснения сущности линейного программирования, ис­ пользуемого при планировании, разберем простейший пример. Положим, что заводу по плану необходимо выпустить продук­ ции Л = 250 т, продукции ß = 150 т, продукции С= 225 т. Про­ дукция изготовляется аппаратами I и II, каждый из которых, имея разную производительность, способен изготовлять все три вида продукции. Время, полезно затрачиваемое каждым аппа­ ратом, составляет 1250 мин. В табл. 22 даны затраты времени на изготовление единицы продукции каждым аппаратом.

Необходимо составить план загрузки аппаратов, выполне­ ние которого требует наименьших затрат времени.

Допустим, что аппарат I выполняет программу по продук­ ции А. Ее выполнение требует 250X2 = 500 мин рабочего вре­ мени. Оставшиеся 1250—500=750 мин можно использовать для

Полученный результат может быть существенным образом изменен, если распределение загрузки провести так, как это показано в табл. 23.

Из таблицы видно, что не хватает производственной мощ­ ности на изготовление только 225—(150—65) = 10 ед. продук­ ции С. Значит, при новом распределении и неизменных произ­ водственных мощностях аппаратов получен более эффективный

192

Таблица 23

Загрузка аппаратов по II варианту

план производства продукции. Но и он не является окончатель­ ным. Оказывается при данных условиях наилучшим планом будет следующий (табл. 24):

Т а б л и ц а 24

Оптимальный вариант загрузки аппаратов

разом, остается еще недоиспользуемая мощность, т. е. оборудо­ вание можно дополнительно загрузить в течение 2500—2413 = = 87 мин.

Очевидно, что для такой простой задачи нахождение опти­ мального варианта дело не сложное, однако для многих произ­ водственных заданий оно связано с большой трудоемкостью решения. В этом случае получение благоприятных результатов возможно только с помощью математического анализа, приме­ няя метод линейного программирования, теоретические основы которого даются на примере определения оптимальной произ­ водственной программы при заданной технологии производства.

Положим, что на заводе имеется т групп установок. Каж­ дая группа включает в себя ряд взаимозаменяемых установок.

ции ß-ro наименования (ß = l, 2, 3, ..., п) по всем технологиче­ ским операциям, выполняемым на і-й группе установок, обозна­ чим через Гр,. Требуется найти такие значения выпуска про­ дукции каждого наименования Pp (Рр!>0), которые позволили

п\

п

Т ф і - ^ Р ѵ - т ^ о .

Учет цены установок необходим для того, чтобы при отыска­ нии оптимального варианта добиться наиболее полного исполь­ зования дорогостоящих установок.

В конечном итоге отыскивается вариант, при котором до­ стигается минимальная недогрузка установок и минимум себе­ стоимости продукции каждого наименования в течение всего периода времени.

При неравномерном выпуске продукции в отдельные проме­

готовление единицы продукции ß-ro наименования на і-й груп­ пе установок в б-й отрезок времени.

Искомые значения выпуска по каждому виду продукции в

•отдельные промежутки времени также должны быть неотрица­ тельными величинами:

п

P ß > 0 и п , - 2 ^ Р * > 0 .

Общий выпуск продукции ß-ro наименования за весь период

времени равен Pß = ^ Р[| > 0.

Распределение годовой производственной программы по ме­ сяцам заключается в нахождении таких величин выпуска про­ дукции каждого наименования (хрб) по каждому месяцу, при которых загрузка установок соответствующей группы была бы равной среднемесячной величине, т. е. чтобы суммарное сниже­ ние или превышение нагрузки по сравнению со среднемесячной за весь год было бы минимальным:

PßТ\і = rain

194

3. Матричная система обозначений. Вертикальная запись уравнений мо­ жет быть представлена в виде следующей компактной системы обозначений:

Величины стоимости представлены самостоятельной строкой и передви­ нуты в верхнюю часть. В матричных обозначениях задача записывается та­

8. Решение транспортной задачи

Задача состоит в том, чтобы удовлетворить требования отгрузки про­ дукции потребителям’ с минимальными транспортными расходами (например, отгрузка жидкого кислорода с завода нескольким потребителям). Величина транспортных расходов для каждого маршрута перевозки рассчитывается по транспортным тарифам в зависимости от расстояния транспортировки и .типа применяемых транспортных средств. В задаче предусматриваются два допу­ щения:

1.Затраты на транспортировку являются линейными, т. е. затраты на единовременную транспортировку 10 ед. продукции принимаются такими, как

ина десятикратную транспортировку единицы продукции.

2.Общее количество продукции равно общей потребности.

Для облегчения решения задачи исходные данные записываются в таб­ личной форме (табл. 25).

маршрутов неприемлем и не используется, так как стоимость доставки еди­ ницы продукции чрезмерно высока (160 руб.). Для дальнейшего решения за­ дачи необходимо установить начальное распределение. Оно может быть по­ лучено двумя способами: а) если оно сделано опытным аналитиком и работниками транспортной службы, то может быть достаточно близким к оптимуму; б) использованием правила «северо-западного угла».

196

При всех вычислениях в процессе решения задачи всегда следует соблю­ дать такие равенства: сумма чисел в любой строке должна быть равна чис­ лу, записанному в левом столбце этой же-строки, а сумма величин в любом столбце должна равняться числу, приведенному вверху таблицы, над столб­ цом (в верхней клетке столбца).

Таблица 2 6

Матрица первоначального распределения

В табл. 26 представлено распределение доставки продукции потребите­ лям с соблюдением указанных равенств. Возникает вопрос, будет ли это ре­

возок. Например, маршрут с предприятия Р 2 к потребителю М х не был использован. Если по данному маршруту отгрузить одну единицу продукции, то столбец и строка матрицы будут сбалансированы только тогда, когда пе­

увеличить на одну единицу. Транспортировка единицы продукции по марш­ руту Р ^ М ! стоит 8 руб. Изъятие перевозок единицы продукции по маршру­

”

Знак (—) указывает, что использование маршрута Р 2М Х уменьшило транс­ портные расходы на 1 руб. на каждую единицу продукции. Как показывает матрица, не используются маршруты Р 3М Х, Р 3М 2, Р ХМ 3, Р 2М А) Р ХМ А. Исполь­ зование каждого из этих маршрутов приводит к потерям, т. е. по каждому из них конечный результат будет иметь знак ( + ). Например, составляем ре­ шение по маршруту Р ХМ А. Оно требует определенных усилий для сохранения баланса по строкам и столбцам, поскольку включение данного маршрута изменяет объем перевозок по маршрутам Р ХМ А> Р 3М Аі Р 3М 3, Р 2М 3, Р 2М 2, Р ХМ 2. Распределение перевозок по маршрутам при использовании маршрута Р \ М А показано в табл. 28. Конечный результат при использовании маршрута Р \ М А будет 34—6+12—8+ 18—24= 26, т. е. использование данного маршрута дает

197

Т а б л и ц а 2 8

Матрица распределения при введении маршрута РіЛІ4

потери в сумме 26 руб. Маршрутом с наибольшим выигрышем в нашем слу­ чае является Р г М ь По нему в рассматриваемой задаче можно отгрузить две единицы продукции, после чего мы придем к окончательному распределению маршрутов, которое представлено в табл. 29. Конечный результат, опреде-

маршрутах, указывает, что найден оптимальный вариант.

Необходимо отметить, что задача решена за одну итерацию с помощью простой серии вычислений. При использовании обычного метода линейного программирования потребовалось бы по крайней мере шесть итераций. Сле­ довательно, решение транспортной задачи получено с меньшими затратами труда и в более короткое время.

9.Применение математического анализа при решении экономических задач

Ряд экономических задач в области проектирования и экс­ плуатации оборудования, используемого в газоразделении, мо­ жет с успехом решаться обычными методами классического анализа (выбор оптимальной толщины изоляции, оценка срав­ нительной экономической эффективности различных типов теп­ лообменных аппаратов, выбор оптимального размера предприя­ тий и пр.). Приведем пример использования метода математиче­ ского анализа при решении экономической задачи (выбор опти­ мальной толщины изоляции агрегатов глубокого охлаждения).

Выбор основывается на установлении математической свя­ зи капитальных, эксплуатационных и расчетных затрат с

198