книги из ГПНТБ / Крылов Н.В. Организация и планирование кислородного производства [учеб. пособие]

ке 8%. При допущении брака одновременно на отдельных стадиях изготов­

3. Статистические показатели

Практика планирования и задачи экономического анализа требуют статистического обобщения. Наибольшее практиче­ ское применение имеют такие средние величины, выводимые в результате выборочного иля сплошного обследования, как про­ стая среднеарифметическая, средняя взвешенная, средняя гео­ метрическая, средняя гармоническая, мода, медиана и др. Во многих случаях (при определении выработки на 1 рабочего, 1 работающего, расчетах производственной мощности, сниже­ нии себестоимости и др.) используются среднеарифметические и средневзвешенные величины. Выборочная среднеарифметиче­ ская определяется по формуле:

180

ний, например, темпов роста объема продукции, повышения производитель­ ности труда, заработной платы и т. п., следует применять среднюю геометри­

ческую х Т, которая определяется по формуле:

При расчете среднеарифметической, которая составила бы 1,25%, получим завышенную величину среднеквартального снижения себестоимости про­ дукции.

Если темпы производства изменяются равномерно, возможно использо­ вание такой формулы для исчисления среднегеометрической величины:

где Xt — начальный уровень, х п — конечный уровень. В ряде расчетов (опре­ деление размера незавершенного производства, списочной или фактической численности рабочих на первые числа месяцев, стоимости основных и обо­ ротных фондов и др.) целесообразно применять среднюю хронологическую величину:

При планировании производства продукции, производительности труда, определении себестоимости продукции можно применять среднюю гармони­ ческую:

ляет: 0,7 ч/т; 0,3 ч/т; 0,35 ч/т; 0,25 ч/т. Среднее арифметическое время со­ ставит:

181

Другими средними величинами, которые могут быть исполь­ зованы в экономических расчетах и при анализе (анализ каче­ ства продукции, и в частности оценка размеров отклонений от среднего уровня вырабатываемой продукции, анализ заработ­

ляет все варианты с различными признаками на две равные части, одна из которых превышает значение средней, а другая

меньше ее.

Для самого простого случая с нечетным количеством вари­ антов, расположенных в убывающем или возрастающем поряд­

Количество компрессоров, шт. 3800 8600 4500 9500 4050 3800 9100

В этом ряду медианой будет вариант, при котором срок служ­ бы компрессоров составляет 10 лет.

Мода — наиболее часто встречающаяся величина, которая является дополнительным показателем к медиане. Если дан­ ные представлены в виде ряда распределения, то мода будет тем значением х, которое соответствует наибольшей частоте. Большие значения Хі не влияют на моду. Медиана же не так сильно зависит от крайних значений хі} как средняя.

Другой важной характеристикой случайной переменной яв­ ляется ее рассеяние, или вариация. Наиболее часто в качестве показателей вариации используется 'Среднеквадратичное откло­ нение и размах. Формула для вычисления среднеквадратичного отклонения а для несгруппироваяных данных имеет вид:

При расчете среднеквадратичного отклонения по методу сред­ невзвешенной формула примет вид:

182

Величина а2 называется дисперсией. Сущность метода диспер­ сии заключается в расчете средней арифметической из квадра­ тов отклонений вариантов от их средней величины по формуле:

а2 _ Zj ixi х )

П

При практических расчетах во многих случаях удобнее пользо­ ваться такой формулой:

П

Дисперсия будет равна 1,12 = 1,21.

Другой мерой вариации является выборочный размах. По­

этом случае он мало эффективен. Однако для малых выборок из-за легкости его вычисления он может быть очень полезен, например, для контроля качества, анализа производительности труда отдельных групп рабочих по профессиям, уровня зара­ ботной платы, снижения себестоимости продукции, рентабель­ ности, где размер выборки может быть малым. Более широкое применение находит исчисление размаха средних линейных от-

183

клонешш путем расчета средней арифметической из абсолют­ ных отклонений всех элементов статистического ряда. Среднее линейное отклонение может быть определено по формуле:

ний важно определить объем выборки. Для решения этой зада­ чи необходимо знать: а) затраты на проведение выборочного обследования, б) затраты на получение приближенных оценок, в) степень изменчивости процесса, г) степень надежности ре­ зультатов выборочного обследования. Не принимая во внима­

мосвязаны, т. е. каждый фактор находится под воздействием других факторов и в свою очередь влияет на остальные. Эта связь может быть в самой общей форме выражена в следую­ щих уравнениях:

где Рп — объем вырабатываемой продукции; Ап— ассортимент

Фактически экономические зависимости и связи между эле­ ментами производства в газоразделении еще более многообраз­ ны и сложны. Так, эффективность производства газов из воз­ духа зависит от применяемых методов очистки и осушки газов, источников энергоснабжения, типа применяемого оборудования, холодильного цикла, изоляции, номенклатуры вырабатываемых газов, производительности установок, уровня механизации и автоматизации, надежности и ремонтопригодности оборудова­ ния, квалификации обслуживающего персонала, трудоемкости

184

изготовления продукции, КПД оборудования, степени его ис­ пользования и т. д. Экономичность оборудования для газоразделения зависит от качества и стоимости металлов и их спла­ вов, изоляционных материалов и др.

Сложные зависимости между элементами производства за­ трудняют разработку методики решения экономических задач путем количественных расчетов. Поэтому для получения досто­ верной информации о величине, которая трудно поддается из­ мерению, измеряется другая величина, связанная с ней и легче измеряемая. В других случаях информация об одной величине может быть легко доступна, а о другой, необходимой при пла­ нировании, информации нет. Например, при решении таких во­ просов, как велики косвенные затраты труда на производство 10, 100 или 1000 единиц продукции, каково соотношение между расчетным и фактическим временем изготовления продукции, требуется выявление соотношений между двумя или более пе­ ременными. Для этой цели применяется метод регрессии, ко­ торый основан на методе наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов представляет собою метод построения кривой по выборке, каждая точка которой харак­ теризуется парой переменных величин. Одна из величин яв­ ляется независимой переменной, а другая зависимой перемен­ ной. Общая форма зависимости переменных величий''часто мо­ жет быть принята линейной-и имеет вид: у — а' + Ь'х, где у — зависимая переменная, х — независимая переменная, а', Ь'— по­ стоянные, значения которых определяются методом наимень­ ших квадратов.

а' — соответствует отрезку, отсекаемому прямой на оси ор­ динат; Ь' — называется угловым коэффициентом, который ра­ вен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс.

Метод наименьших квадратов сводится к минимизации вы­ ражения:

2 (.У /--Ѵ ь

где yR = a + bx — уравнение прямой (линии регрессии), которая должна быть построена по точкам, представляющим результа­

точки (0) в точку (х, у), что приводит к сокращению вычисле­ ний. Для возвращения в начало координат изменяется а при не­ изменном Ь. В этом случае а определяется из выражения

а = у —Ьх. Найденные значения а и b определяют прямую, ко­

185

торой соответствует минимальная сумма квадратов отклонений фактических’ значений зависимой переменной от этой прямой, характеризующей искомую связь между у и х. Так как диспер­ сия нормального распределения отклонений от линии регрес­ сии принята постоянной для всех значений х, то она опреде­ ляется по формуле:

Квадратный корень из этого выражения называется стандарт­

Ъуі2= Ъу)— пу2.

Эти формулы позволяют использовать только исходные данные и располагать вычисления в следующем порядке:

столбцу 3.

Для установления величины связи между переменными при­ меняется метод корреляции. Величина, измеряющая эту связь, называется коэффициентом корреляции.

Необходимо отметить, что в экономике чаще всего встреча­ ются корреляционные зависимости. В газоразделении примером корреляционной зависимости может служить зависимость себе­ стоимости газов и производительности труда от мощности цеха разделения, агрегатного состояния и номенклатуры вырабаты­ ваемых газов, длительности кампании, производительности и типа применяемого оборудования и др.

Коэффициент корреляции по результатам выборочного на­ блюдения и предварительному анализу регрессии можно опре­ делить по формуле:

\186

Rh характеризует меру вариации в значении у, которая объяс­ няется изменениями х и служит измерителем тесноты связи между переменными, и всегда заключен между —1 и +1. Если Rk>-0, то у возрастает с увеличением х. Если R k < 0, у умень­ шается с увеличением х. R —1 означает, что у всецело зависит от X . В этом случае корреляционная зависимость совпадает с функциональной.

5. Линейное программирование

Линейное программирование — один из широко применяе­ мых методов исследования производственно-хозяйственной дея­ тельности предприятий. Слово программирование указывает на целевое назначение метода (применение в планировании), а ли­ нейное— на математическую природу его и на то, что функция имеет первую степень.

Взадачах линейного программирования находит решение идея оптимизации условий эксплуатации производственного оборудования, комплексного использования сырья и материа­ лов, осуществления научной организации снабжения и сбыта, более экономичного проведения ремонта и многих других во­ просов экономики и организации производства.

Подобного рода задачи в математике являются разновид­ ностью экстремальных задач (отыскание минимума или макси­ мума функции).

Взадачах экономического характера достижение оптимума предполагает выбор такого частного решения, которое из всех возможных решений будет наилучшим, а также отвечает глав­

ному экономическому требованию — получение максимальной прибыли при минимальных издержках производства.

Число задач, решаемых методами линейного программиро­ вания, в экономике непрерывно растет. Наиболее типичными из них являются:

1. Составление производственной программы, выполняемой на различном оборудовании. При этом программа составляется так, чтобы наиболее эффективно было использовано время ра­ боты оборудования, минимизированы либо общие затраты вре­ мени, либо общие издержки производства продукции, либо на­ лажен наибольший выпуск количества продукции.

2. Составление оптимального плана транспортировки грузов (материалов, сырья,_готовой продукции), предусматривающее выбор оптимальных транспортных маршрутов с таким расче­ том, чтобы общие транспортные затраты были минимальными.

3. Нахождение оптимальных вариантов размещения пред­ приятий, вырабатывающих определенные виды продукции.

187

4.Составление оптимальной рецептуры смесей, т. е. подбор такой пропорции исходных компонентов, которая обеспечивала бы заданный состав смеси при минимальной стоимости компо­ нентов и смеси в целом.

5.Установление рационального раскроя материалов, увели­ чивающего степень их использования.

6.Разработка оптимального плана с наименьшими затра­

тами.

Общая задача линейного программирования не может быть решена обычными методами классического анализа. Поэтому для ее решения применяются специальные методы, дающие вы­ числительную схему, которая позволяет за конечное число ша­ гов (итераций) найти оптимальное решение. Для решения указанных задач могут быть использованы следующие матема­ тические методы: 1) последовательного улучшения, 2) распре­ делительный, 3) модифицированный распределительный, 4) раз­ решающих множителей, 5) матричный, 6) симплекс метод, 7) индексный, 8) графо-аналитический и др.

Различие в применяемых математических методах опреде­ ляется способами выбора исходного (неоптимального) варианта и дальнейшим доведением его до оптимального. Каждый метод предусматривает определенный алгоритм, т. е. предписание о соблюдении определенного порядка логических действий и вы­ числений, в результате которых отыскивается оптимальный ва­ риант. Строгое обоснование и порядок разработки этих мето­ дов осуществляются с помощью математического аппарата. Практическое же использование их обычно не требует особых знаний, если известен порядок вычислений. Основная труд­ ность— выполнение большого объема вычислений, возрастаю­ щих в сложных моделях до десятков, сотен тысяч и боле<

6. Введение в линейное программирование

Центральное место в задачах линейного программирования отводится функциональным ограничениям, в которых отража­ ются условия задачи. При формулировании задачи эти ограни­ чения выражаются равенствами или неравенствами.

Положим, нам необходимо приготовить смесь, которая дол­ жна содержать два вещества А и В. Утверждение о том, что готовая смесь должна содержать точно 1 кг вещества А, выра­ жается как строгое равенство А = 1 кг.

Утверждение, что готовая смесь должна содержать не менее 1 кг вещества А, записывается неравенством Л^>1 кг. На рис. 15 дается строгое равенство линией а, а на рис. 16 неравенство выражено линией а и затушеванной площадью правее линии а. Вся площадь состоит из точек, каждая из которых соответ­ ствует не менее 1 кг вещества А.

Площадь между линией а и осью ординат, соответствующей О кг вещества А, показывает, что готовая смесь должна содер-

188