книги из ГПНТБ / Ковалев Н.А. Теория механизмов и детали машин крат. курс учебник

рис. 4-6, в — характеристика воздушного вентилятора. Все эти харак­ теристики относятся к типу М -- М (со).

Примером сил сопротивления, зависящих как от скорости ѵ, так и от пути s, может служить сила сопротивления движению автомобиля. Одна слагаемая этого сопротивления — воздушное сопротивление —

В тех случаях, когда сложная кинематическая цепь образована последовательным или параллельным соединением нескольких меха­ низмов, можно искать закон движения, рассматривая какой-либо один из этих механизмов изолированно. При этом необходимо заменить действие соседних механизмов соответствующими силами, приложен­ ными к тем звеньям, посредством которых рассматриваемый механизм был к ним присоединен. Так, например, чтобы получить закон дви­ жения грохота, изображенного на рис. 3-23, можно рассматривать только кривошипно-ползунный механизм 3, 4, 5, 6, заменив действие звена 2 моментом, приложенным к коромыслу 3.

Очевидно, силы и моменты, выражающие действие соседних меха­ низмов на рассматриваемый, также делятся по знаку производимой ими работы на движущие и полезных сопротивлений. Здесь важно заметить, что силы трения, возникающие между звеньями рассматри­ ваемого механизма и звеньями отброшенных соседних механизмов, по отношению к движению рассматриваемого механизма, являются или движущими, или силами полезных сопротивлений, но не вредными сопротивлениями. Напротив, силы трения в кинематических парах самого рассматриваемого механизма всегда есть силы вредных сопро­

Основные динамические свойства механизмов могут быть обнару­ жены уже на примере простейшего двухзвенного механизма (см. рис. 3-7, а). Начнем с отыскания его закона движения. В качестве такого механизма рассмотрим комнатный вентилятор, имеющий только одно подвижное звено — вращающийся вал с ротором двигателя и лопастями вентилятора.

Так как пара вращения нагружена только постоянной силой тя­

70

только от со. Следовательно, в рассматриваемом примере М — М (со). Замечая, что е = ^.-, можем преобразовать (4.5) к виду: / du>

и решение сводится к квадратурам. Получив со = со (т), повторным интегрированием найдем ср = ср (т). В большинстве случаев механи­ ческие характеристики даются в форме графика и аналитического выражения не имеют. Поэтому решение уравнения (4.5) в случае М = М (со) приходится выполнять численным или графическим ме­ тодом.

Ф а з ы д в и ж е н и я м а ш и н н о г о а г р е г а т а . Из при­ веденного выше примера можно сделать важные заключения и не

Рис. 4-8

скорость со растет. С увеличением скорости избыточный момент уменьшается и в точке В становится равным нулю. Изменение скоро­ сти также прекращается и дальнейшее движение может совершаться только с постоянной скоростью сос. В нужный момент выклю­ чают двигатель и тогда под действием отрицательного момента сил сопротивлений произойдет остановка вентилятора. Таким образом, полный цикл работы, представленный на рис. 4-8, складывается из трех частей: разгона, когда в течение времени тр скорость увеличи­ вается; установившегося движения в течение времени тс с равновесной установившейся скоростью шс (это состояние не может прекратиться самопроизвольно, без ■вмешательства управляющей аппаратуры) и, наконец, выбега, при котором скорость в течение времени тв посте­ пенно уменьшается до нуля. Иногда для сокращения времени выбега приводятся в действие тормоза, создающие дополнительное сопротив­ ление.

Легко видеть, что если в начальный момент скорость выше со, то она будет уменьшаться, пока не достигнет сос. Таким образом, уста­ новившееся движение или состояние покоя представляют собой те состояния, к которым стремится каждое неустановившееся движение. В этом смысле они подобны состояниям устойчивого равновесия, поэтому скорость сос называют равновесной.

71

Рассмотрим теперь тот случай, когда правая часть равенства (4.5) есть функция только <р. Представив это равенство в виде

/со dx = М d(pdx ’

после сокращения на dx нетрудно получить, его первый интеграл — уравнение кинетической энергии

Mdy. (4.6)

о

Так как в данном случае М — М (ф), то этот интеграл является функцией от ф, т. е. равен Ф (ф). Теперь переменные разделяются и нетрудно найти т = т(ф).

Пусть, например,, гиревой привод преодолевает сопротивление пружины с жесткостью с (величина, обратная податливости). Тогда равенство (4.5) получает вид /е = М0— сф, что представляет собой уравнение гармонических колебаний относительно положения равно­ весия, определяемого значением координаты

Так как в действительности всегда существуют сопротивления трения, то в конечном итоге эти колебания затухнут и механизм остановится

вположении равновесия. Разумеется, этот результат относится только

кданному частному виду правой части.

К о л е б а т е л ь н о е у с т а н о в и в ш е е с я д в и ж е н и е . Так как обычно машины-двигатели и машины-орудия имеют различные механические характеристики, то весьма часто правая часть уравнения (4.5) представляет собой функцию от ф и со, т. е. имеет вид М = = М (ф, со). При этом решение уравнения (4.5) выполняется не так просто. Можно, однако, показать,что если М (со, ф + 2nk) = М (со, ф), где k — целое число, т. е. если М является функцией периодической относительно ф, то существует установившееся движение, которое наступает по истечении времени тр переходного неустановившегося движения.

Закон изменения скорости при установившемся движении представ­ ляет собой периодическую функцию времени, описывающую колебание, при котором одинаковые циклы чередуются с постоянным периодом Т. Среднее значение скорости за период Т остается неизменным для всех циклов и называется установившейся средней скоростью движения сос. Этот случай представлен на рис. 4-9, где изображено изменение скоро­ сти (а) и изменение координаты ф (б).

Так как звенья механизма занимают повторяющиеся по истечении каждого периода Т положения, в которых кинетическая энергия меха­ низма имеет одно и то же значение, то из уравнения (4.6) следует

где N — текущее значение мощности.

72

Таким образом, установившееся движение характеризуется равен­ ством работы движущих сил и сил сопротивления за цикл колебания скорости:

■ о

При этом на одной части цикла движущий момент превосходит момент сил сопротивления и скорость увеличивается. На другой части цикла, напротив, момент сопротивлений превышает движущий

Мо щ н о с т ь и к. п. д. При постоянной установившейся скорости, т. е. при равновесной скорости, мощность двигателя равна мощности

и вектора скорости и той точки звена, к которой приложена эта сила Р. Если момент измеряется в кге-м, а угловая скорость в об!мин, то

73

Мощностью при колебательном установившемся движении назы­ вают ее среднее значение за период Т. Таким образом, мощность полезной нагрузки

Разность Ne — N„ представляет собой мощность Np, потерянную на преодоление вредных сопротивлений. Пригодность механизма для выполнения полезной механической работы зависит от величины потерь энергии на преодоление вредных сопротивлений. Было бы неэкономно строить машину, которая большую часть энергии дви­ гателя расходовала бы не для выполнения полезной работы, а на преодоление вредных сопротивлений. Величину вредных потерь при всяком установившемся движении оценивают механическим коэффи­ циентом полезного действия (к. п. д.):

являющимся важнейшей характеристикой всякой машины. Значительно реже пользуются понятием к. п. д. применительно

к неустановившемуся движению. В последнем случае можно говорить только о мгновенном, текущем значении к. п. д. Кроме того, поскольку мощность двигателя расходуется не только на преодоление полезных

ивредных сопротивлений, но и на увеличение кинетической энергии механизма, меняется само понятие к. п. д.

Некоторые механизмы работают преимущественно при установив­ шемся движении (конвейеры, транспортеры, металлорежущие станки

ипр.), другие же, наоборот, главным образом при неустановившемся движении (сервомоторы приборов автоматического управления, меха­ низмы регуляторов, выключателей, реле и т. п.). Однако исследование

неустановившегося движения необходимо для любого механизма, так как во всех случаях важно знать продолжительность разгона и выбега. Кроме того, обычно именно этой фазе движения сопутствуют максимальные значения сил инерции и нагрузок на звенья механизма и поверхности их соприкосновения, по которым и должна быть про­ верена их прочность и работоспособность.

§3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАШИННОГО АГРЕГАТА

Впредыдущем параграфе рассматривались основные понятия динамики механизмов на простейшем примере, когда механизм имел только одно подвижное звено. Перейдем теперь к изучению движения машинного агрегата с одной степенью свободы в случае плоского

74

многозвенного механизма. Воспользуемся для этого уравнением кинетической энергии.

У р а в н е н и е к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и . Обозначим мгновенную угловую скорость /-го звена соу, а линейную скорость его центра тяжести Vj. Если /у — центральный момент инерции, а rtij — масса звена, то его кинетическая энергия равна

ай V-; т = / • —' А-т-- ■

Пусть совокупность всех сил, приложенных к /-му звену, кроме равнодействующих нормальных давлений на поверхностях соприка­ сания с соседними звеньями *, заменена главным вектором Ру, при­ ложенным к центру тяжести /-го звена, и главным моментом Л4у. Если уу есть угол между бу и Ру, то мгновенная мощность сил, дей­ ствующих на /-е звено,

Nj = (ОуМу + VjPj cos Yy.

Теперь можно составить уравнение кинетической энергии для всей совокупности подвижных звеньев механизма в виде

где Т0у — кинетическая энергия /-го звена в начальный момент. Представим себе, что все координаты всех звеньев выражены через координату фх первого звена, имеющего вращательное движение. Помня об этом, преобразуем .уравнение (4.10) следующим образом:

Суммы в левой части равенства имеют размерность момента инер­ ции, а в правой — вращающего момента. Назовем приведенным мо­ ментом инерции механизма сумму

ПП

(4.11)

1 1

Соответственно, назовем приведенным моментом сил сумму

В предыдущей главе было показано, что передаточные отношения сог/соу и соJvj в общем случае являются функциями координаты ер!.

* Нормальные давления на поверхностях кинематических пар не совершают работы при движении механизма и поэтому из рассмотрения исключаются.

75

Следовательно, приведенный момент инерции в общем случае тоже является функцией фх'. Приведенный момент инерции в начальный

Это уравнение называют уравнением кинетической энергии для машинного агрегата. По внешнему виду оно не отличается от уравне­ ния (4.5). Однако существенное отличие заключается в том, что здесь /(пр) в общем случае есть функция от фх.

Величины /<пр>и ЛВпр) зависят также и от того, какое звено выбрано в качестве звена приведения. Координаты всех звеньев механизма с одной степенью свободы могут быть выражены через обобщенную координату, определяющую положение любого /-го звена. Таким образом, любое звено может быть звеном приведения. Однако чаще всего приведение делают или к движущему 1, или к рабочему п звену механизма. Легко убедиться, что

Звено приведения обычно называют главным, валом.

Таким образом, движение изолированного звена приведения, имеющего приведенный момент инерции и находящегося под действием приведенного^момента, совпадает с его движением в системе звеньев многозвенного механизма.

Если в качестве звена приведения выбрано звено с поступательным

Пример.

Поясним сказанное примером. Пусть электродвигатель через зуб­ чатую передачу (рис. 4-10) вращает барабан, на который наматывается канат. На конце каната укреплен груз весом G. Устройство называется лебедкой и служит для поднятия этого груза. Передаточное отношение

76

Если в качестве звена приведения выбрать поступательно движущийся груз, то значения передаточных отношений изме­ нятся на обратные:

оказывают звенья, имеющие большую ско­ рость. Влияние их моментов инерции на общую сумму усиливается квадратом пере­ даточного отношения.

Очевидно уравнение (4.13) может быть применено к любой группе последовательно или параллельно соединенных механизмов, если только эта группа имеет одну степень свободы.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д в и ж е н и я . Вернемся к уравнению (4.13).: Дифференцируем его по времени, прини­ мая во внимание, что /<пр) является функцией координаты фх. Тогда

где 1 — индекс звена приведения.

Полученное выражение называют дифференциальным уравнением движения машинного агрегата: Уравнение кинетической энергии явля­ ется его первым интегралом. Второй интеграл — искомый закон дви­ жения механизма.

В общем случае известны только М д и момент нагрузки Л4П, а мо­ менты Мр зависят от давлений в кинематических парах. Последние

77

можно выразить через М 0, М„, срА, іщ и ех, но тогда степень уравнения повысится. Во многих случаях можно пренебречь влиянием M t , однако и при этом решение нелинейного уравнения второго порядка иногда связано с некоторыми трудностями. Поэтому часто приходится делать различные упрощающие предположения.

В многозвенном механизме колебательный характер установивше­ гося движения зависит не только от вида функции М (ср, со), но и от периодичности /<пр>(ср), являющейся следствием периодичности пере­ даточных отношений. В остальном общие заключения о характере закона движения совпадают со сделанными в предыдущем параграфе. Поэтому для установившегося движения действительны соотношения (4.7) и (4.7').

К. п. д. п о с л е д о в а т е л ь н о й ц е п и м е х а н и з м о в . В том случае, когда кинематическая цепь состоит из ряда последова­ тельно соединенных механизмов, каждый предыдущий является дви­ жущим по отношению к последующему. Если для каждого из них по­ рознь известен к. п. д., то общий к. п. д. всей цепи можно найти следую­ щим образом. Отметим ведущее звено некоторого промежуточного механизма индексом k, а ведомое звено — индексом k +. /. Оно явля­ ется ведущим для последующего механизма. Согласно выражению (4.9)

в движение k-vo звена, г|*, ,!+[ — к. п. д. механизма, образованного звеньями, лежащими между k и k + I звеньями. Обозначим мощность, подводимую к движущему звену первого механизма сложной цепи, Л71, а мощность, расходуемую на ведомом звене последнего механизма, Л'„, получим

Широкое применение в технике получили механизмы, для которых передаточные отношения ац: ю;- и со* : ѵ}- постоянны. Для этих меха­ низмов /<пР) = const.

Часто встречаются последовательные кинематические цепи с по­ стоянным передаточным отношением, все звенья которых имеют вра­ щательное движение, а движущий момент и момент полезной нагрузки приложены к противоположным концам цепи. В этом случае можно учесть потери на трение в кинематических парах и привести уравнение движения к виду

78

где в качестве главного вала (вала приведения) выбран вал двигателя, а h11 и Ц\п— общее передаточное отношение и общий к. п. д. всей цепи. Вывод этой формулы не представляет затруднений.

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ СОПРИКОСНОВЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

Вторая часть исследования динамики состоит в определении давле­ ний на поверхностях соприкосновения соседних звеньев. Для этого, рассматривая каждое звено изолированно, воспользуемся уравнениями, статики, включив в число действующих на звено сил внешние движущие и оказывающие сопротивление силы, реактивные силы в кинематических парах (заменяющие действие отброшенных звеньев) и силы инерции самого звена. Если закон движения найден, то для каждого положения механизма можно определить главный вектор и главный момент сил инерции любого звена. В слу­ чае плоского движения урав­ нения статики в декартовой системе координат имеют вид:

v p w = 0, ѵ р Ы = 0,

V М = 0.

Кр и в о ш и п н о - п о л ­

зу н н ы й м е х а н и з м.

Вкачестве примера произве­

дем динамический анализ ра­ ботающего кривошипно-пол- зунного механизма. С по­ мощью мгновенного центра ускорений (рис. 4.11) нетруд­ но найти ускорение центра тяжести С шатуна 2.

Центростремительное ускорение центра вращательной пары В, равное Wß —со! • AB, направлено вдоль оси кривошипа AB. Ускорение центра пары D, имеющей прямолинейное движение, направлено вдоль линии AD. В предыдущей главе было показано, как в этом случае можно найти угловое ускорение е2 шатуна и его центр ускорений Ow.

Очевидно, ускорение &у(С) по модулю равно w(B) СО и направленб под

углом р к лучу СОш. Тогда сила инерции шатуна 2 (рис. 4-12) равна Ри2 = — т 2да(С), а его момент сил инерции Міі2 = — /2е2. Таким же образом найдем ускорение w3 и силу инерции ползуна Р и3 = m3w3.

Заменив силу Рн2 совокупностью двух ее компонентов pw и РМ

(рис. 4-12), нетрудно составить систему кинетостатических уравнений равновесия.

Для кривошипа уравнение моментов относительно шарнира А будет

79