книги из ГПНТБ / Ковалев Н.А. Теория механизмов и детали машин крат. курс учебник

рианты четырехзвешюй кинематической цепи, имеющей только одни низшие пары. Они отличаются от схемы рис. 3-7, г только тем, что

Рис. 3-8

некоторые пары вращения заменены поступательными. Легко убе­ диться, что во всех этих случаях W — 1.

На рис. 3-9 представлена трехзвенная кинематическая цепь с одними поступательными парами. В этом случае по формуле (3.1) при у = О

получаем W — 0, что неверно, так как опытным путем легко устано­ вить, что цепь имеет одну степень свободы. Ошибка объясняется тем, что в данном случае одно из уравнений связи является следствием других. Действительно, в паре 31 имеем условие срх = ф3. Соответст­ венно в паре 32 — ф.2 = ф3, а в паре 12 — — ф2. Очевидно, что последнее соотношение является следствием двух предыдущих. Связи,

50

являющиеся следствием других связей, называют лишними. Их не следует учитывать при определении W\ поэтому в формулу (3.1) введен поправочный член у, означающий число лишних, или пассивных, связей. Заметим, что далеко не всегда бывает также легко обнаружить пассивные связи, как это удалось в рассмотренном примере.

На рис. 3-10 изображен механизм пантографа, используемый для перечерчивания плоских кривых в увеличенном масштабе. При опре­ делении W нужно помнить, что в точке А совмещено две кинемати­ ческие пары вращения 12 и 25 (или 15 и 25). Тогда W = 3 -4—2 -5 = 2. Это и позволяет точке Е двигаться вдоль произвольной плоской кривой, положение каждой точки которой задают две независимые координаты. Вследствие подобия треугольников АВС и ADE точка С воспроизводит координаты точки Е с постоянным увеличением (масштаб равен AB : DE). Легко видеть, что пантограф действительно имеет две сте­ пени свободы. Например, его можно повернуть как жесткое тело вокруг шарнира А и затем растянуть по направлению АС.

поверхностей высшей пары в точке касания.

Таким образом, структурный анализ кинематической цепи дает возможность определить число ее степеней свободы, а в отношении звеньев, примыкающих к стойке, с помощью низших пар — и вид их движения. Так, например, на рис. 3-11, а видно, что звено 2 может двигаться только поступательно, а звено 1 — только вращательно. В то же время оба звена / и 2 на рис. 3-11, б могут только вращаться. Таким образом, трехзвенные механизмы непригодны для осуществле­ ния движения рабочего органа по сложной траектории. Напротив, среднее звено 2 четырехзвенного механизма на рис. 3-7, г имеет слож­ ное движение — результат сложения вращательного и поступатель­ ного движений, и различные точки этого звена движутся по разным траекториям, имеющим переменную кривизну.

Следует заметить, что движение рабочего органа по сложной траек­ тории может быть осуществлено и путем суммирования переносного и относительного движений, совершающихся по различным простым траекториям, если только скорости этих движений надлежащим обра­ зом согласованы. Именно так ведется обточка фасонных поверхностей на токарном станке, когда движение резца является результатом сум­ мирования движений подачи и хода суппорта.

51

§ 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ а н а л и з

Целью кинематического анализа является определение положений, скоростей и ускорений рабочего звена, а иногда и всех промежуточных звеньев в зависимости от положения и скорости ведущего звена. Эта задача решается средствами одной кинематики только для кинемати­ ческих цепей с одной степенью свободы, так как только у таких цепей положение ведущего звена определяет положение любого другого независимо от величины приложенных сил. Ниже для простоты огра­ ничимся плоскими механизмами с низшими парами, имеющими W — 1.

П е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я . Итак, первая наша задача состоит в отыскании функции <рт = <рт (срг), передаточной функции кинематической цепи или уравнения связи. Здесь индексом 1 отмечено ведущее звено, а индексом т — звено номер т.

В тех случаях когда кинематическое исследование может быть выполнено аналитически, для определения ц>т на структурной схеме

следует нанести все те линейные и угловые размеры, которые влияют на относительное положение звеньев. Например, в случае кинемати­ ческих цепей, изображенных на рис. 3-7 и 3-8, необходимо указать расстояния между центрами всех шарниров, т. е. длину стержней, изображающих соответствующие звенья. По этой причине механизмы, имеющие цепи согласно рис. 3-7 и 3-8, иногда называют стержневыми.

Часто аналитическое решение оказывается слишком громоздким и фт = фт (ф,) легче, хотя и менее точно, может быть найдено гра­ фически. Для этого схема механизма должна быть вычерчена в мас­ штабе для .ряда последовательных положений ведущего звена. Это позволяет графически найти соответствующие положения ведомого звена и тем определить вид передаточной функции.

Схемы, имеющие достаточно данных для построения передаточной функции, называют кинематическими. С их помощью выполняется кинематический анализ цепи.

На рис. 3-12 представлена кинематическая схема синусного меха­ низма. Здесь ведущий кривошип 1 определяет положение поступательно движущейся кулисы 3. Выражение передаточной функции может быть

откуда понятен смысл названия механизма.

52

На рис. 3-13 представлена кинематическая схема кривошипнопощнного механизма. Ведущим звеном является кривошип 1, ведо­ мым — ползун 3. Проектируя треугольник, образованный отрезками R, L, х3 один раз на горизонталь, другой — на вертикаль, получим

виде графика (рис. 3-14, б).

В рассмотренных примерах после полного оборота ведущего кривошипа все звенья кинематической цепи возвращаются в исходное положение. Поэтому, очевидно, функция Фт = срт (Фі) имеет период 2я. Это свойство периодичности присуще всем механизмам, у которых ведущее звено делает полный оборот или колеблется между заданными крайними положениями. В общем случае период равен k оборотам ведущего кривошипа, так что

ведомого звена ы,„ может быть получена по правилу дифференцирова­ ния сложных функций, а именно:

53

Отношение скоростей o)1/com называется передаточным отношением между первым и т-м звеньями и обозначается і1т. Пользуясь преды­ дущим равенством, получим

или постоянная величина. Например, в случае синусного механизма,

Из последнего выражения видно, что в общем случае передаточное отношение есть величина размерная. Оно оказывается безразмерной величиной лишь тогда, когда обе скорости, образующие дробь (3.5), имеют одинаковую размерность. Например: кф и сот или ѵ1 и ѵт.

Возвращаюсь снова к синусному механизму, замечаем, что при Фх = kn величина г13 обращается в бесконечность. Если закон дви­ жения кривошипа фх == сорт, где (Oj =--■const, то в положениях, когда Фх = kn, (Ох : ѵ3 — і13 = оо и величина ѵ3 = 0. Из рис. -3-І2 видно, что при этом кулиса 3 находится или в крайнем правом, или в левом положении, где, очевидно, ее мгновенная скорость равна нулю, так как меняется направление движения. В дальнейшем узнаем, что когда движущим звеном является кулиса 3, механизм не может начать свое движение из таких крайних положений, в которых передаточное отношение /31 = 1/г13 становится равным нулю. Такие положения механизма, из которых он не может начать свое движение, называют мертвыми. Движение, которое совершает кулиса 3, называется воз- вратно-поступательным.

О п р е д е л е н и е с к о р о с т е й . Если передаточная функция найдена и закон движения ведущего звена задан, то путем последова­ тельных дифференцирований можно найти скорость и ускорение любого звена. Однако во многих случаях определение промежуточных положений механизма не представляет интереса и целью, кинематиче­ ского анализа является только определение скоростей и ускорений. Так как определение передаточной функции часто является делом тру­ доемким, желательно уметь находить функции і1т — і1т (ф2) непо­ средственно, без дифференцирования передаточной функции.

Покажем на примере плоских кинематических цепей, как это можно сделать. Для этого рассмотрим шарнирный четырехзвенник, который изображен на рис. 3-14. Очевидно, скорость центра шарнира В (т. е. центра пары вращения) есть цв = co2 -AB, а скорость центра шарнира С есть t><C) = щ -DC. Так как точки В и С связаны жестким звеном 2, расстояние между ними не может меняться и, сле­ довательно, проекции скоростей и<В) и о<с,на ось шатуна 2 должны

54

быть равны друг другу. Легко понять, что эти проекции есть оц -AN и о), -DM соответственно. Таким образом, «Vсо3 = DM!AN или из подобия треугольников AN О и DMO:

Итак, видим, что скорости coj и <в3 обратно пропорциональны рас­ стояниям шарниров А и D от полюса О. Полюсом О названа точка пересечения оси шатуна 2 с линией центров AD, которая является мгновенным центром поворота звена 3 при его движении относительно звена /, как это пояснено ниже.

Если произвольно выбрать на твердом теле точку А, то его плоское движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью точки А, т. е. ѵА, и вращательного вокруг точки А (так как в твердом теле расстояние между любыми двумя его точками неизменно). Тогда скорость любой другой точки В есть векторная

или радиус окружности, по которой движется точка В относительно точки А (ѵВА \ AB). Можно, в частности, выбрать точку А так, чтобы ѵА — 0. В этом случае она называется мгновенным центром (полюсом) поворота и движение тела в данный момент есть вращение вокруг этой неподвижной точки. В следующий момент мгновенный центр поворота уже не будет совпадать с данной точкой твердого тела и пере­ местится в другую его точку. Если известны направления скоростей ѵА, Ѵц каких-либо двух точек тела А и В, то мгновенный центр пово­ рота О, очевидно, лежит в пересечении перпендикуляров, проведенных из А и В к направлениям ѵА и ѵв.

Этим можно воспользоваться для определения передаточного отношения. Например, для шарнирного четырехзвешшка, изображен­ ного на рис. 3-14, передаточное отношение со1/оз3 может быть найдено путем следующих рассуждений. Рассмотрим движение звена 3 отно­ сительно звена 1. Для этого положим, что звено 1 есть стойка. Тогда звенья 2 я 4 будут вращаться вокруг центров шарниров А и В, а центры шарниров С и D будут двигаться по круговым траекториям, имеющим центры в В и А. Следовательно, векторы скоростей центров шарниров С и D будут перпендикулярны к осям стержней 2 и 4. Так как эти скорости по свойству пары вращения есть также скорости соответственных точек звена' 3, то его мгновенный центр поворота в движении относительно звена 1 будет лежать в пересечении осей звеньев 2 и 4, т. е. в точке О (ВС J_ öCß, AD _L vDA).

Вернемся теперь к тому движению, при котором звено 4 является стойкой. Скорость точки О, рассматриваемой как точка тела 1, равна coj -ОА и перпендикулярна к ОА. Скорость той же точки О, принадле­ жащей телу 3, равна й)3-0D и перпендикулярна к 0D. Но О является мгновенным центром поворота звена 3 в его движении относительно звена 1. Когда рассматривается это относительное движение, звено 1 считается неподвижным. Неподвижна, следовательно, и точка О, принадлежащая звену 3 при его движении относительно звена 1.

55

Эго означает, что в движении, при котором стойкой является звено 4, скорости точки О, рассматриваемой один раз как точка звена 1 и дру­ гой раз как точка звена 3, должны быть одинаковыми по величине и

Это (как было видно на примере синусного механизма) указывает, что'-, ведомое звено находится в крайнем положении, где его скорость меняет свой знак. Чтобы найти крайние положения шарнира С, на

оборот (двухкривошипный механизм) или, напротив, только покачи­ ваться (двухкоромысловый). Таким образом, видим, что механизмы с одной структурной схемой могут обладать резко различающимися кинематическими свойствами, что обнаруживается только при анализе кинематической схемы.

Если в рассмотренном выше кривошипно-коромысловом механизме (см. рис. 3-15) кривошип вращается равномерно, то прямое и обратное качание коромысла происходит с различной средней скоростью. Время движения коромысла от С к С' равно времени перемещения шарнира В в положение В '. Время возвратного движения из С' в С равно времени движения из В' в В. А так как кривошип вращается равномерно, то отношение длины дуг ВЕВ’ и B'FB равно отношению соответствующих отрезков времени. Поэтому коэффициент увеличения, средней скорости ky„, равный отношению большей средней скорости качания к меньшей, будет

Такая неравномерность прямого и обратного ходов бывает полезна для увеличения производительности некоторых рабочих машин,

55

где прямой ход используется для выполнения необходимой работы, а обратный является холостым и может быть более быстрым. На рис. 3-16 показаны некоторые технические применения шарнирного четырехзвенника: а — механизм тестомешалки, б — механизм щековой камнедробилки и в — ножной привод швейной машины.

Выше'было получено выражение передаточного отношения шар­ нирного четырехзвенника, исходя из очевидных зависимостей. Пока­ жем, что соотношения между скоростями соседних звеньев вытекают из соотношений между их координатами, установленных уравнениями связи. Например, пара вращения накладывает связь, выраженную

уравнениями: ■4А>==-4+1; У[А) — Ун+ѵ где веРхний индекс (Л) ука­ зывает, что имеется в виду координата оси вращения шарнира А. Дифференцируя уравнения связи, получим

(Мы уже пользовались этим равенством при анализе шарнирного четырехзвенника.)

В случае высшей пары соотношёние между скоростями будет

где индексом N обозначена составляющая полной скорости ѵ, направ­ ленная по общей нормали соприкасающихся поверхностей соседних звеньев. Это соотношение имеет общий характер. Оно необходимо, так как в противном случае в момент касания происходило бы или взаим­ ное внедрение, или разъединение соприкасающихся поверхностей, чего при сохранении силового замыкания в случае идеально твердых тел быть не может. Из соотношения (3.9) могут быть получены все уравнения связи между скоростями, накладываемые различными кинематическими парами.

Например, в случае шарнира, применяя соотношение (3.9) к двум взаимно перпендикулярным направлениям х и у, получим равеи-

57

Эти равенства можно получить и непосредственным дифференцирова­ нием соответствующих .уравнений связи. Обратно, путем интегрирова­

где ц21 — скорость звена 2 относительно звена 1, т. е. скорость сколь­ жения, а со21 = со2 — соц — общая угловая скорость связанных посту­ пательной парой звеньев. Индекс N означает, что равенство составлено для компонента ускорения, нормального к скорости скольжения.

Перед вторым слагаемым в формуле (3.12) берется знак плюс, если направление нормального к поверхности соприкосновения ком­ понента линейной скорости звена 1 совпадает с направлением ускоре­ ния wNl и если в результате скольжения звена 2 по звену 1 скорость звена 2, нормальная к поверхности соприкосновения, увеличивается.

Ускорение любой точки В твердого тела можно найти, представляя движение тела как сумму поступательного движения вместе с некото­ рой произвольно выбранной его точкой А и вращательного движения

г-AB, где е — угловое ускорение, направление вектора г-AB перпен­ дикулярно к AB, и центростремительного ускорения, появляющегося

с отрезком AB.

58

Для лучшего уяснения описанных приемов рассмотрим несколько примеров кинематического анализа.

К и н е м а т и к а к р и в о ш и п н о - п о л з у н н о г о м е х а ­ н и з м а . Пусть кривошип 1 (рис. 3-18) вращается с постоянной скоростью (Oj. Тогда линейная скорость центра шарнира В, равная Ѵ(В) — сог/?, направлена под углом я/2 к оси кривошипа. На основании равенства (3.8) она является в то же время скоростью точки В шатуна 2. Так как звено 4 неподвижно, скорость цу для поступательной пары 34 равна нулю. Поэтому полная скорость ѵіС) ползуна 3 направлена параллельно оси х. Эта скорость в то же время является полной

скоростью точки С, принадлежащей шатуну 2. Зная направления скоростей ѵ{В), ѵ{С), найдем положение мгновенного полюса поворота шатуна 2 в точке О на пересечении оси AB с перпендикуляром к оси х, проведенным из точки С. При этом мгновенная скорость равна со2 =

— ѵ{В)!ВО. Тогда

ѵ3 ~~ ОС Я

Тот же результат можно было получить и приравнивая проекции скоростей ѵ{В) и ѵ(С) на ось шатуна ВС. При фх = kn отрезок ОС — О

иг13 = оо (ползун находится в своих крайних положениях). Чтобы найти ускорение ш(С) точки С и угловое ускорение е2 =

=~ , заметим, что центростремительное ускорение w{B) точки В,

59