книги из ГПНТБ / Ковалев Н.А. Теория механизмов и детали машин крат. курс учебник

Элементарные силы давления первого колеса на второе, распределен­ ные по длине контактных линий, направлены по общей нормали сопри­ касающихся поверхностей и потому лежат в плоскости поля зацепле­

(рис. 9-19). Первый из них — окружное усилие Рк — лежит в плоскости вращения и направлен по касательной к делительной окружности; второй — радиальная, или распорная, сила PR — лежит в той же плоскости и направлен по линии центров, третий — осевая сила Ра —- направлен вдоль образующей делительного цилиндра.

Рис. 9-20

Из всех этих компонентов только окружная сила создает момент, уравновешивающий внешний момент М. Имея это в виду, получим

где дварпоследних соотношения следуют из рис. 9-18 или 9-19, так как

Ра = LUb (Л£tgßo. а согласно выражению (9.16) tg ß0/cos as = tg ßd. Индексы / и 2 при M и dd в соотношении (9.19) опущены потому, что

В частном случае, когда зубья прямые, в выражениях (9.19) и (9.20) следует положить ßâ = 0 .

К о м п о н е н т ы с и л ы д а в л е н и я в з а ц е п л е н и и п р я м о з у б ы х к о н и ч е с к и х к о л е с . Подобным же обра­ зом можно найти ортогональные компоненты равнодействующей рас­ пределенного контактного давления в коническом зацеплении. На рис. 9-20 представлены соответствующие построения для прямозубых конических колес. Расположив равнодействующую давлений на сере-

160

дине ширины колеса в полюсе 0С, найдем окружную силу как Р к21.=

— Mj/rlc. Из чертежа видно, что если конусное расстояние Ld, то

Проведем через Ос сечение ЛЛ, нормальное к образующей 00'. Совместив это сечение с плоскостью чертежа (см. левый нижний угол рис. 9-20), можем разложить равнодействующую PN 2 1 распределенных нормальных давлений, лежащую в этой плоскости, на окружную силу Рк 2 1 и ортогональную к ней вспомогательную составляющую Р '. Эта составляющая проектируется в натуральную величину на основную

Рис. 9-21

проекцию (см. рис. 9-20), где она в свою очередь может быть разложена на компоненты РА 2 1 и PR2 I -

Теперь из рис. 9-20 найдем:

а в конических колесах даже при прямых зубьях, в зацеплении возни­ кает осевая составляющая РАсилы давления. Чтобы избежать чрезмер­ ной осевой нагрузки на подшипники, угол наклона зуба ßö в косозу­ бых цилиндрических колесах обычно выбирают ^ 15°. В шевронных, колесах осевые нагрузки на оба полушеврона должны уравновеши­ ваться, и поэтому осевая нагрузка на подшипнике в этом случае отсутствует. Однако при неправильной конструкции опор этого урав­ новешивания может и не произойти. Действительно, чтобы погреш­ ности производства не вызывали неравномерной нагрузки полушевронов, подшипники одного из колес передачи не должны препятствовать его осевому смещению (на рис. 9-21, б это колесо 1). Тогда положение обоих колес передачи в осевом направлении фиксируется подшипни­

ками только второго колеса (колеса 2 на рис. 9-21, б), а в случае косо­ зубых, прямозубых и конических колес каждое из них должно удер­ живаться от осевого смещения своими подшипниками (см. рис. 9-21, о).

П о т е р и в з у б ч а т ы х п е р е д а ч а х . У с л о в н ы й с и л о в о й п о л ю с з а ц е п л е н и я . Потери энергии в зубча­ том зацеплении вызываются относительным качением и скольжением зацепляющихся зубьев. Так как при этом плечо F0, силы трения /PW (рис. 9-22, а) относительно оси вращения колеса 1 мало (F0t т г sin а),

(0,96 -г-- 0,99). Вследствие перемещения точки контак­ та С по линии зацепления плечо силы трения в каж­ дый момент зацепления различно. Поэтому к. п. д. зубчатой передачи харак­ теризует лишь среднюю за цикл зацепления величину потерь. Различно в разные моменты и положение точ­

пересекает линию центров 0,02. Назовем силовым передаточным отно­ шением і[^ величину

Так как по определению к. п. д.

Мчсо2 — ЛТіСо1т|12, то г£)/1 2 т) 1 2 = 1 ,

і[? = 1 •' (бгіііг)-

Теперь можно условно истолковать равенство (9.22), помещая окружную силу Рк в «силовом» полюсе зацепления 0<С), смещенном относительно кинематического полюса О (рис. 9-22, б) в сторону центра вращения ведомого колеса. При этом

На рис. 9-22 передача изображена в тот момент, когда мгновенное положение полюса 0 [!р совпадает с его «средним» положением СКС). Такое представление оказывается удобным при исследовании передач с подвижными осями вращения колес. При работе передачи мгновен­ ный силовой полюс зацепления колеблется около своего среднего положения.

162

§ 4. НАГРУЗОЧНАЯ СПОСОБНОСТЬ ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Р а с ч е т н а я н а г р у з к а . При оценке работоспособности зуб­ чатого зацепления нужно исходить из действительной, а не из усред­ ненной величины давления, распределенного по длине контактных линий. Эта величина зависит не только от передаваемого момента, но и от возможной неравномерности распределения давления по длине контактных линий, оцениваемой корректирующим коэффициентом Кир = PN макс : PN ср> а также от действия инерционных сил, возникаю­ щих вследствие неравномерности вращения колес, связанной с погреш­ ностями изготовления. Эти инерционные силы принимают пропорцио­ нальными номинальной окружной силе Р к = 2Mldd. Их влияние оценивается корректирующим коэффициентом динамичности Кд. Таким образом, при проверке прочности зацепления расчетную интенсивность распределенной нагрузки считают равной

Коэффициент Кир зависит от расположения колес относительно опор, а Кд — от степени точности изготовления и величины окруж­ ной скорости. Величины коэффициентов Кнр и Кд приводятся в спра­ вочниках.

В и д ы п о в р е ж д е н и й з у б ч а т о г о з а ц е п л е н и я и к р и т е р и и н а г р у з о ч н о й с п о с о б н о с т и . Нагрузоч­ ная способность зацепления лимитируется двумя видами поврежде­ ний: поломкой зубьев и разрушением их боковой (рабочей) поверх­ ности. Соответственно двум этим видам повреждений о прочности судят по величине напряжения изгиба аи у корня зуба и контактного напря­ жения ак на боковой его поверхности. Так как допускаемые значения |сги] и [ок] определяют экспериментально на некоторой эталонной пере- -даче, точность расчета зависит от степени подобия конструкции и условий работы рассчитываемой и эталонной передач. Абсолютные значения величин |о„] и [ак] действительны только в тех пределах, где существует это подобие.

Рассмотрим критерий нагрузочной* способности по изгибу зубьев. В случае прямозубых цилиндрических колес при определении расчет­ ной величины о„ зуб рассматривают как заделанную одним концом балку и находят напряжение о„ в сечении у заделки без учета концент­ рации. При этом предполагается, что погрешности изготовления настолько велики, что в зацеплении участвует только одна пара зубьев. Тогда расчетным случаем будет тот, когда вся расчетная сила Рлграсч = = KPN приложена к вершине зуба, как показано на рис. 9-23. Оче­ видно, плечо, на котором действует сила, и высота рассчитываемого сечения при неизменном числе зубьев г и том же коэффициенте коррек­ ции I пропорциональны модулю, т. е. равны g-m и h-m — соответ­

ственно (где g и h — коэффициенты пропорциональности). Тогда при ширине колеса В

зуба, обозначается у. Значения величины у в зависимости от числа зубьев г и коэффициента коррекции £, определяющих форму зуба, указываются в справочниках (для нулевых колес | = 0). Принимая все это во внимание, можно окончательно пред­

ставить предыдущее соотношение в виде

Аналогично, для прямозубых конических колес можно получить

а значения у3 берут по таблицам (или графикам) Коэффициентов формы зуба, составленным для цилиндрических прямозубых колес, но для экви­ валентного числа зубьев гэ = z/cos ф, так как

форма нормального сечения зуба конического колеса близка к форме зуба цилиндрического колеса того же модуля, но имеющего увели­ ченное число зубьев, равное гэ.

Прочность косых зубьев выше, чем прямых вследствие большейсуммарной длины контактных линий 2 (к, а также вследствие наклон­ ного положения этих линий, при котором опасное сечение проходит не по корню зуба, а наискось. Приближенно

зуба; тп — нормальный модуль.

Значения уэ берут по тем же таблицам, что и для прямозубых ко­ лес, но для эквивалентного числа зубьев, равного в этом случае 2 Э— = г/cos3 ßö. Так поступают потому, что форма нормального сечения косого зуба близка к форме сечения зуба прямозубого колеса, имеющего тот же нормальный шаг, но увеличенное число зубьев, равное гэ.

164

Прочность зубьев считается достаточной, если в результате рас­ чета ан |а„].

Перейдем теперь к критериям нагрузочной способности боковых поверхностей зубьев. При вращении колес точка контакта переме­ щается по линии зацепления, а следовательно, и по высоте профиля зуба. Контактное напряжение в точке касания зубьев зависит от того, какое она занимает положение на профиле зуба. В качестве критерия контактной прочности принимают величину контактного напряжения, подсчитанного для случая, когда точка контакта совпадает с полюсом зацепления. Это отчасти обосновывается тем, что при таком ее поло­ жении в зацеплении находится лишь одна пара зубьев. Такой расчет представляет собой расчет по ме­ тоду подобия.

Применительно к прямозубым цилиндрическим колесам внешнего и внутреннего зацепления, поль­ зуясь формулой Герца и заменяя мысленно боковые поверхности зубьев цилиндрическими той же кривизны, в момент, когда точка контакта С совпадает с полюсом О,

зацеплению. Подставляя соотношения (б) и (в) в формулу (а), получим

Критерием поверхностной прочности является условие

Ок^ІСТк]-

Из формулы (9.29) видно, что контактная прочность зацепления зави­ сит от размеров обоих колес (от /12). Поэтому одно и то же колесо, зацепляясь с разными колесами, окажется не одинаково работоспо­ собным. Появление выкрашивания на боковых поверхностях зубьев не связано с опасностью немедленного разрушения. Это позволяет вести проектирование практически без всякого запаса прочности (при па = 1 ), т. е. принимать [ак] равным {сгк}.

Вследствие непропорциональности напряжения ак нагрузке Рк правильнее судить о степени недогруженное™ зацепления, сравнивая

1G5

фактическое окружное усилие Рк с допускаемым [Рк1, чем сравнивая ак с [ок]. Поэтому, определяя Рк из формулы (9.29), расчетным формулам удобно придать такой вид:

Выражение в круглых скобках называют коэффициентом контакт­ ных напряжений и обозначают Ск. Тогда

Подобным же образом для прямозубых конических колес, вычисляя приведенную кривизну в среднем сечении зацепляющихся зубьев, можно найти:

Косозубые колеса прочнее прямозубых, так как суммарная длина контактных линий у них больше, а влияние погрешностей шага меньше. Для косозубых цилиндрических колес

Колеса имеют достаточную контактную прочность, если действующее в зацеплении окружное усилие меньше допускаемого, т. е. критерий для нагрузочной способности выражен соотношением

Д о п у с к а е м ы е н а п р я ж е н и я на и з г и б . Зубчатые колеса обычно изготовляют из стали 35Л, 50Л, 40, 45, 50, 40Х, 40ХН и др. В большинстве случаев до нарезания колес материал их улуч­ шают до заданной твердости НВ. Если же необходимо получить повы­ шенную прочность, то колесо изготовляют из высокоуглеродистой стали и после нарезания зубьев закаливают. В этом случае полезно последующее шлифование зубьев. Для получения особо высокой по­ верхностной твердости при сохранении пластичной сердцевины при­ меняют поверхностную закалку или цементацию с последующей за­ калкой. В последнем случае материалом служит малоуглеродистая цементируемая сталь.

В зависимости от характеристик прочности материала устанавли­ вают величину допускаемого напряжения изгиба для зубьев колеса

где 1,4а — предел выносливости при пульсирующем цикле нагру­ жения (а_х — предел выносливости при знакопеременном цикле); па — коэффициент запаса по напряжениям изгиба (п = 2 -ь 3 в за­ висимости от рода материала); І\ 0 — эффективный коэффициент кон­

166

центрации у выкружки в месте перехода боковой поверхности зуба

О Г JQ7

к дну впадины {Ка = 1,4 -ь 1,8); Кри= '|/ N - — коэффициент, кор­

ректирующий величину допускаемого напряжения изгиба в том слу­ чае, когда передача предназначена для работы в течение ограничен­ ного срока службы (ІѴЦ■— число циклов нагружения за весь расчет­ ный срок службы). Если А^ц > ІО7, то для незакаленных колес следует принимать Кт — 1 .

Д о п у с к а е м ы е к о н т а к т н ы е н а п р я ж е н и я . Ха­ рактер повреждения боковых поверхностей зубьев открытых зубчатых передач с бедной консистентной смазкой и закрытых, помещенных в картер и имеющих обильную жидкую смазку окунанием колес или поливанием, весьма различен. В первом случае имеет место интен­ сивный износ поверхности и выбор величины ак может лишь несколько изменить его темп (но нельзя выбрать ак таким, чтобы износ вообще прекратился). Поэтому вследствие некоторой неопределенности вели­ чины 1 ак] эти передачи проектируют только по условиям необходимой прочности зубьев на изгиб.

Во втором случае, если напряжение превышает [crj, то после соответствующего числа циклов нагружения на боковых поверхностях зубьев начинает развиваться выкрашивание подобно тому, как это происходит на беговых дорожках и телах качения шарикоподшипников. Диаметр и число оспинок быстро увеличивается, что приводит пере­ дачу в полную негодность.

Наоборот, если ак <; [стк], а следовательно, коэффициент контакт­ ных напряжений Ск ICJ, то передача может работать в пределах

закрытых зубчатых передач с незакаленными зубьями определяются именно контактной прочностью в отношении выкрашивания.

Допускаемую величину коэффициента контактных напряжений находят в зависимости от твердости боковой поверхности зуба по со­

где С0к — коэффициент контактных напряжений для неограничен­ ного срока службы; Кѵк — множитель, корректирующий величину коэффициента контактных напряжений при расчете на ограниченный срок службы с общим числом циклов нагружения Л1ц. Приближенно, для незакаленных колес при твердости по Бринеллю НВ sc; 350

Для колес с закалкой зубьев до твердости HRC по шкале С Рок­ велла (при НВ 2 s 350)

167

Коэффициент К рк определяется формулой

(9.37)

Вследствие перелома па кривой выносливости для нормализован­ ных и улучшенных колес при Ац > ІО7 следует полагать К/рк = 1 ,0 . Для закаленных зубьев Крк может быть и меньше единицы, но не ме­ нее 0,35. Более точная зависимость величины коэффициента С0к от твердости выражается графически и может быть найдена в справочной литературе.

Р и с . 9-25

На величину допускаемого контактного напряжения влияют шеро­ ховатость поверхности и условия смазки, а также и некоторые другие факторы. Однако методы количественного учета этого влияния разра­ ботаны пока еще недостаточно.

С м а з к а п е р е д а ч . Для смазки зацепления служат масла типа автотракторного АКЮ, АК15 или индустриального 45. При ок­

§5. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

Вкинематических цепях точных приборов, где нагрузка очень мала, но особое значение имеет постоянство и точность передаточного отношения, величина допускаемой угловой погрешности может слу­ жить исходным параметром для выбора размеров зубчатых колес пере­ дачи, так как кинематическая погрешность растет медленнее, чем диа­ метр колес, и следовательно, относительная точность передачи увеличи­ вается вместе с ее размерами.

Размеры зубчатых колес, предназначенных для нагруженных кинематических цепей, определяются только условиями прочности зубьев и их боковых поверхностей. Этим они существенно отличаются от всех ранее рассмотренных механизмов, у которых некоторые глав­ ные размеры определяются условиями, налагаемыми кинематикой или динамикой всей кинематической цепи.

168

при бедной смазке, исходят из необходимости обеспечить достаточную прочность по отношению к изгибу зубьев. Обычно материал меньшего колеса передачи — шестерни выбирают более прочным, чем материал большего — колеса, так как зубья шестерни имеют большее число циклов нагружения, чем зубья колеса. Соответственно [сги1] > [ст1|2 І. Однако это не означает, что зубья шестерни будут прочнее зубьев колеса, так как чаще всего уг < у.,. Поэтому, проектируя передачу по условиям прочности зубьев на изгиб, следует пользоваться меньшим из двух произведений [сти1] •у1 и [сги2] -у2, т. е. вести проектирование по прочности более слабого зуба зубчатой пары. Подставляя в формулу (9.25) значения

где фт — коэффициент ширины зуба по модулю, назначаемый для открытых передач в пределах фт = 8 -ѣ—1 2 и вводя коэффициент у, учитывающий последующее ослабление зуба вследствие износа, полу­ чим

_ 2 М 1К у

~т3у^т’

откуда

Число зубьев некорригированной шестерни выбирают минимально

Для конических колес минимальное число зубьев шестерни некорригированного зацепления по условиям отсутствия подрезания про­

ектировании закрытых передач, заключенных в картер и работающих при обильной смазке, в первую очередь стремятся обеспечить доста­ точную прочность боковых поверхностей зубьев в отношении выкраши­ вания. При этом нужно помнить следующее. Значение коэффициента Сн, соответствующее величине контактного напряжения для обоих сопри­ касающихся зубьев, одинаково, так как одинаково ак (а ои в предыду­

169