книги из ГПНТБ / Ковалев Н.А. Теория механизмов и детали машин крат. курс учебник

чески равны бесконечности и происходит жесткий удар. Поэтому такое профилирование кулачка допустимо лишь для весьма тихоход­ ных механизмов. В случае, представленном па рис. 8-11, б, в точках О и А при выбранном нами профиле активной части, скорость меняется плавно, но имеет место скачкообразное изменение ускорения. С таким явлением мы уже встречались в мальтийском механизме, это так назы­ ваемый мягкий удар. Хотя в этом случае силы инерции имеют конечную величину, но возникают они внезапно, что возбуждает вибрацию в упругих звеньях механизма, и поэтому мягкий удар также нежела­ телен.

Целесообразный характер движения на активной части профиля кулачка представлен на рис. 8-12, б. Здесь обеспечивается безудар­ ная работа механизма, так как ускорение постепенно увеличивается до максимума и затем уменьшается до нуля, и наряду с этим дости­ гается достаточно высокая средняя скорость перемещения толкателя.

Все сказанное выше накладывает определенные ограничения на вы­ бор размеров и формы профиля кулачка.

§ 4. ПРОФИЛИРОВАНИЕ КУЛАЧКОВ

Задача о профилировании кулачков может ставиться двояко. В первом случае, который чаще встречается в общем машиностро­ ении, обусловлены лишь положения выстоя, а форма активной части может быть выбрана самим

зированным остовом окончательного вида передаточной функции. Последняя будет полностью определена после того, как конструктор выберет форму активных участков.

Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим пример построения пере­ даточной функции для движения толкателя, управляющего одним из

140

распределительных клапанов четырехтактного дизеля. Итак, нас интересует вид функции у — у (ср), где у — подъем клапана, а ср — угол поворота распределительного вала. Прежде всего заметим, что рабочий цикл дизеля соответствует двум полным оборотам криво­ шипа. Поэтому распределительный вал должен вращаться вдвое мед­ леннее коленчатого.

На рис. 8-13, а представлена циклограмма, характеризующая работу всасывающего и выхлопного клапанов, на которой указаны перемещения клапанов и продолжительности выстоев в градусах угла поворота коленчатого вала и в долях от общей продолжительности цикла. Эта диаграмма позволяет определить положение выступа ку­ лачка относительно кривошипа главного вала. Соответствующий кулачок имел бы вид, показанный па рис. 8-13, б. Очевидно, такой кулачок работать не может, так как у пего у — 90° и он немедленно поломал бы толкатель. Выбрав вид функциональной зависимости у = у (ср)

для активных участков (так, чтобы избежать ударов) и определив их от­ носительную длину (так, чтобы не применять слишком мощной пружи­ ны), можно закончить конструирова­ ние профиля кулачка. Окончательный

найти соответствующий профиль кулачка. Такая задача чаще всего встречается в приборостроении, счетно-решающих и моделирующих устройствах. При этом далеко не всегда передаточная функция совпадает с уравнением профиля, как это было в рассмотренных выше простейших случаях. Для примера разберем способ профилирования плоских нецентральных кулачков, (см. рис. 8 -6 , б), обеспечивающий перемещение толкателя согласно заданной зависимости у — у (ср).

На рис. 8-14 представлен профиль AB кулачка 1 в начальном поло­

определенными. После поворота кулачка на угол ф точка профиля В перейдет в положение В '. Из рисунка видно, что

141

где

а — arctg

а У = у (ф). Тогда окончательно

к увеличению размеров всего кулачка и поэтому нежелательно. Это и побуждает использовать второй параметр е, чтобы, не увеличивая размеров кулачка, сохранить угол давления в заданных пределах. Разумеется, этот способ применим только для нереверсивных кулач­ ковых механизмов.

Определение текущего значения угла давления у для вращающихся плоских кулачков сложнее, чем для цилиндрических и движущихся

центрального кулачка, выполненный по логарифмической спирали, обеспечивает постоянство угла давления.

Из этих примеров ясно, что если находить свободные параметры кулачков и профили их активных участков, исходя из заранее выбран­ ных наиболее целесообразных зависимостей, то это приводит к довольно кропотливым расчетам.

В конструкторской практике обычно ведут работу в обратном порядке. Назначают размеры и профиль кулачка в соответствии с цик­ лограммой, а потом находят значения углов давления, закон движения, силы инерции и необходимое нажатие пружины. Проверив эти вели­ чины и контактное напряжение на рабочих поверхностях профиля кулачка и толкателя, можно убедиться в пригодности или непригод­ ности намеченного конструктивного решения и при необходимости рассмотреть следующий вариант. В некоторых случаях не только само конструирование, но и некоторые из перечисленных расчетов выполняют графически. Точность, с которой определяются углы дав­ ления графическими методами, невысока. Однако большей для прак­ тических целей и не требуется.

Г л а в а IX

ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ [зубчатые механизмы]

§ 1. ГЕОМЕТРИЯ И КИНЕМАТИКА ПЛОСКОГО ЗУБЧАТОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Все ранее рассмотренные механизмы были не пригодны для осуще­ ствления простейшего кинематического преобразования — измене­ ния угловой скорости с постоянным передаточным отношением. Между тем именно такая задача должна быть решена для согласования опти­ мального значения угловых скоростей машин-двигателей и рабочих машин. Этот пробел восполняют зубчатые механизмы, или зубчатые передачи. Они относятся к группе трехзвенных механизмов, имеющих две низшие и одну высшую пару. Два подвижных звена такого механиз­ ма выполнены в виде зубчатых колес. На каж­

дрическими прямозубыми колесами (рис. 9-1).

Любое сечение таких колес плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, совпадает с их торцовым сечением. Поэтому для изучения кинематики такой передачи достаточно рассматривать зацепление соответствующих плоских шаблонов.

Принцип действия зубчатой передачи состоит в сочетании принципа действия кулачково-коромыслового механизма, преобразующего вра­ щение кулачка во вращение коромысла, с переносом контакта с одной пары соприкасающихся поверхностей на другую, с чем мы уже встре­ чались в мальтийском механизме. В отличие от пары кулачок-толка­ тель соприкасающиеся поверхности зубьев на обоих колесах передачи имеют переменную кривизну. Зацепление двух зубьев колес передачи подобно контакту двух кулачков (см. рис. 3-11,6).

У с л о в и е н е п р е р ы в н о с т и р а б о т ы п е р е д а ч и . Рассмотрим вопрос о непрерывности передачи движения (рис. 9-2). При вращении колес точка С касания или контакта зубьев перемеща­ ется по высоте последних как в результате скольжения профилей,

143

так и в результате их перекатывания друг по другу при относительном повороте колес. Перемещаясь в неподвижной плоскости вращения, эта точка описывает линию, называемую линией зацепления. Практически осуществимый так называемый активный участок этой линии распо­ ложен между точками ее пересечения с окружностями выступов радиу­ сов Rrl и /?с2, ограничивающих высоту рабочих профилей зубьев. Вне этого участка один из профилей отсутствует и зацепление (кон­ такт) данной пары зубьев невозможно.

Для непрерывной передачи вращения каждая следующая пара зубьев должна прийти в соприкосновение прежде, чем предыдущая пара выйдет из пределов активного участка линии зацепления. Таким

чатых колес. Если произвольно выбрать форму профиля зуба одного колеса, то для сохранения постоянства отношения углов поворота зацепляющихся колес форма профиля зуба второго колеса должна быть вполне определенной. Такие профили зубьев, зацепление которых обеспечивает выполнение условия і1 2 = const, называют сопряжен­ ными.

Точка контакта С принадлежит одновременно обоим соприкасаю­ щимся профилям. В этой точке (рис. 9-3) выполняется общее для всех высших кинематических пар требование

(9.1)

Здесь vt-fp — составляющая скорости точки С, которая рассматри­

вается как точка первого колеса, по направлению общей нормали со­ прикасающихся профилей Л/'1 Л/'2; — составляющая скорости той же

точки С, которая рассматривается как точка второго колеса, по тому же направлению.

144

Опустим перпендикуляры 0 XNXи 02N2 из центров вращения на на­ правление NXN2. Все точки, лежащие на линии УѴ,УѴ2, имеют одинако­ вую скорость вдоль этой линии, так как иначе имело бы место сжатие или растяжение твердого тела. Поэтому из условия (9.1) следует:

люс О, называются начальными. На этих окружностях окружная

как это следует из соотношения (б).

Для того чтобы представить себе относительное движение колес, сообщим всей системе вращение вокруг центра О со скоростью (іц в направлении, обратном действительному вращению первого колеса. Тогда первое колесо станет неподвижным, а второе получит сложное

штриховыми стрелками показана новая угловая скорость колеса 2,

ния начальных окружностей первого и второго колес будет мгновен­ но

ным полюсом поворота второго колеса. Действительно, в рассматри­ ваемом случае скорость точки О, принадлежащей колесу 2, равна

При этом начальная окружность второго колеса будет катиться без скольжения по начальной окружности первого колеса. .Подобным же приемом можно было остановить второе колесо, а катилась бы началь­ ная окружность первого.

Таким образом, начальные окружности есть геометрические места мгновенных центров поворота колес 1 и 2 в их относительном движе­ нии. Как известно из курса механики, такие линии называются центро­ идами. Из условия (9.2) следует, что при постоянном передаточном отно­ шении центроиды должны быть окружностями.

О к р у ж н о й ша г . Расстояние между одноименными (правыми или левыми) профилями соседних'зубьев, измеренное по дуге окруж­ ности с центром на оси вращения колеса, называют окружным шагом. Очевидно, окружной шаг меняется вместе с диаметром окружности, на которой его измеряют.

Пусть точка контакта пары зубьев в данный момент совпадает с по­ люсом зацепления. По истечении определенного времени место этой пары займет следующая. При этом каждый из двух зацепляющихся зубьев первой пары переместится по своей начальной окружности на шаг txи / 2 соответственно. Из равенства окружных скоростей на обеих начальных окружностях (формула 9.3) следует, что tx = tz, т. е., что

шаг t по начальной окружности для обоих зацепляющихся колес должен быть одинаков. В любой момент, если вести отсчет по начальным окруж­ ностям, сопряженные профили должны быть удалены от полюса за­ цепления на одно и то же расстояние. Иначе они не смогли бы после соответствующего поворота колес прийти в соприкосновение без зазора

то это колесо превратится в поступательно движущуюся зубчатую рейку. Передача, образованная колесом и рейкой, называется реечной.

Н а р е з а н и е з у б ь е в . Наиболее просто и точно профиль зуба, сопряженный заданному, получается при нарезании зубчатых колес на зубофрезерных и зубодолбежных станках, работающих по методу обкатывания.

Коротко (не рассматривая движение подачи инструмента) этот метод состоит в следующем. Режущий инструмент, имеющий форму зубча­ того колеса (рис. 9-4), снимает стружку, перемещаясь параллельно образующей цилиндрической заготовки. После обратного хода инстру­ мент и заготовка поворачиваются вокруг своих осей на малые углы,

146

обратно пропорциональные числам их зубьев, как если бы они были за­ цепляющимися колесами. При новом режущем ходе инструмента из­ лишний против требуемой формы зуба материал заготовки срезается и т. д. При этом зубья инструмента формируют впадины между зубьями заготовки. Все эти движения могут происходить и непрерывно. В ре­ зультате зуб колеса получается близким к точному профилю, который представляет собой огибающую последовательных положений зуба инструмента относительно заготовки. Этот же процесс происходит и в том случае, когда инструмент имеет форму червячной фрезы или

форму рейки, поскольку* рейку можно рассматривать как зубчатое ко­ лесо с бесконечно большим числом зубьев.

С е р и я с о п р я ж е н н ы х к о л е с . Если зубьям рейкиинструмента придать трапецеидальный профиль, то зубья всех колес, нарезанных одной и той же рейкой, будут сопряженными и каждая пара таких колес сможет образовать зубчатую передачу. Действительно, на рис. 9-5, а колесо 1 находится в зацеплении с рейкой-инструмен­ том 2. На рис. 9-5, б колесо 3 нарезаетсй рейкой 4. Если сложить рейки 2 и 4, то они будут соприкасаться по ломаной abb'd. Вообразим, что колеса 1 я 3 зацепляются не с реальными рейками, а с ломаной ли­ нией abb'd, разграничивающей обе рейки (рис. 9-5, б). Очевидно, профиль зуба каждого из колес со своей стороны сопряжен профилю контура abb'd, но так как ломаная abed есть воображаемая линия, то в действительности на рис. 9-5, в зуб первого колеса находится в за­ цеплении с зубом второго колеса , и профили их сопряжены между собой. Действительно, если профили зубьев колеса 1 и рейки 2 сопря­ жены, то скорость рейки и2 = і21оі1. Соответственно, п4 = і4 3 со3, где

147

in и г4 3 — константы. Если рейки 2 и 4 совмещены, то = п4 и, сле­ довательно,

Ясно, что рейка 4 это та же рейка 2, но только изображенная в пере­ вернутом положении. Поэтому профили зубьев всех колес, нарезан­ ных одной рейкой-инструментом, сопряжены друг с другом.- Можно показать, что это будет справедливо и при некоторых более широких предположениях относительно профиля зубьев реечного инструмента,, а не только при трапецеидальном профиле. Совокупность таких колес образует серию сопряженных колес.

Э в о л ь в е н т н ы е к о л е с а . Технологические преимущества трапецеидального профиля зубьев рейки-инструмента обеспечили си­ стеме зубчатых колес, нарезанных таким инструментом, широкое рас­ пространение. Однако нужно отметить, что все большее применение на­ ходят и другие системы зубчатых зацеплений.

Профиль зуба колеса, нарезанного рейкой с трапецеидальным про­ филем зуба, оказывается очерченным по эвольвенте (об этом подробнее будет сказано ниже), благодаря чему такие колеса получили название эвольвентных. Элементы трапецеидального профиля abb'd стандарти­ зованы. Любые два колеса, нарезанные рейками равного тага, где бы они ни были изготовлены, будут иметь сопряженные профили зубьев и могут образовать зубчатую передачу.

Д е л и т е л ь н а я о к р у ж н о с т ь . В процессе нарезания по методу обкатывания как бы происходит зацепление рейки инстру­ мента с нарезаемым колесом. При этом рейка как часть обода колеса бесконечно большого радиуса движется поступательно вдоль самой себя (см. рис. 9-5, а) с некоторой скоростью ѵр, а заготовка вращается с уг­

ловой скоростью о>. На какой-то окружности диаметра dâ окружная ЛИ-

ШІІЗ пенная скорость заготовки -у- будет равна ѵр. Поэтому шаг зубьев на

этой окружности окажется равным шагу зубьев рейки tp. Очевидно, эта окружность есть начальная окружность или центроида колеса в процессе его нарезания по методу обкатывания. Шаг tp должен укла­ дываться на длине указанной окружности ровно г раз, если г — число зубьев колеса. Эта окружность называется делительной. Она явля­ ется основным геометрическим элементом, неизменным для каждого данного колеса. Таким образом,

где d — диаметр делительной окружности.

Для нарезания на колесе требуемого числа зубьев скорость враще­ ния заготовки должна быть согласована с ѵр так, чтобы

148

М о д у л ь . Было бы неудобно назначать стандартные значения шага рейки из ряда нормальных чисел, так как при этом диаметры-де­ лительных окружностей колес оказались бы величинами иррациональ­ ными. Поэтому вводится параметр

(где tv — шаг рейки в миллиметрах), называемый модулем, значения которого стандартизованы. Модули выше 1 мм образуют ряд: 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 3; 3,5; 4; 4,5; 5 мм и т. д. Теперь формуле (9.5) можно придать вид

П р о п о р ц и и з у б а . Несколько упрощенный стандартный профиль реечного инструмента показан на рис. 9-6. На средней линии,

Инструмент

или модульной прямой, реечного инструмента толщина зуба равна ширине впадины. Выше этой линии располагается головка зуба, ниже, в сторону центра колеса, — ножка. Высота головки равна т, а ножки— 1,25т. Таким образом, полная высота зуба равна 2,25 т. Следовательно, при зацеплении колес между вершиной головки зуба одного колеса и дном впадины другого образуется радиальный зазор, равный с = = 0,25 т. Угол наклона стороны трапеции а р составляет 20° и назы­ вается углом профиля.

С в о й с т в а э в о л ь в е н т ы о к р у ж н о с т и . Как было отмечено, в результате нарезания колеса реечным инструментом, имею­ щим трапецеидальный профиль зубьев,, профиль зуба колеса оказыва­ ется очерченным по эвольвенте. Эвольвенту (рис. 9-7) можно предста­ вить себе как след движения конца натянутой нити, сматывающейся с окружности радиуса г0, называемой основной. Две соседние эволь­ венты являются эквидистантами и расстояние между ними, измерен­ ное по общей нормали NC, равно шагу taпо дуге основной окружности. Всякая касательная к основной окружности нормальна к эвольвенте, как это видно из самого способа построения этой кривой. Отсюда сле­ дует, что при зацеплении двух эвольвентных профилей (рис. 9-8) общая

149